القدرة على تحديد حجم الأشكال المكانية مهمة لحل المشكلات الهندسية والعملية. أحد هذه الأشكال هو منشور. سننظر في المقال في ما هو عليه ونوضح كيفية حساب حجم المنشور المائل.
ما هو المنشور في الهندسة؟
هذا متعدد السطوح منتظم (متعدد الوجوه) ، يتكون من قاعدتين متطابقتين تقعان في مستويات متوازية ، وعدة متوازي الأضلاع تربط القواعد المحددة.
يمكن أن تكون قواعد المنشور مضلعات عشوائية ، مثل مثلث ، رباعي الأضلاع ، سباعي الأضلاع ، وما إلى ذلك. علاوة على ذلك ، فإن عدد زوايا (جوانب) المضلع يحدد اسم الشكل.
أي منشور بقاعدة n-gon (n هو عدد الجوانب) يتكون من n + 2 وجه ، 2 × n رؤوس و 3 × n حواف. من الأرقام المعطاة ، يمكن ملاحظة أن عدد عناصر المنشور يتوافق مع نظرية أويلر:
3 × n=2 × n + n + 2 - 2
الصورة أدناه توضح شكل المنشورات المثلثية ورباعية الزوايا المصنوعة من الزجاج.
أنواع الشكل. منشور مائل
لقد سبق أن قيل أعلاه أن اسم المنشور يتحدد بعدد جوانب المضلع في القاعدة. ومع ذلك ، هناك ميزات أخرى في هيكلها تحدد خصائص الشكل. لذلك ، إذا تم تمثيل جميع متوازي الأضلاع التي تشكل السطح الجانبي للمنشور بواسطة مستطيلات أو مربعات ، فإن هذا الشكل يسمى الخط المستقيم. بالنسبة للمنشور المستقيم ، فإن المسافة بين القاعدتين تساوي طول الحافة الجانبية لأي مستطيل.
إذا كانت بعض أو كل الجوانب متوازية الأضلاع ، فإننا نتحدث عن منشور مائل. سيكون ارتفاعه بالفعل أقل من طول الضلع الجانبي
معيار آخر لتصنيف الأشكال قيد الدراسة هو أطوال الأضلاع وزوايا المضلع عند القاعدة. إذا كانا متساويين ، فسيكون المضلع صحيحًا. يسمى الشكل المستقيم ذو المضلع المنتظم عند القواعد بالشكل المنتظم. من الملائم العمل معها عند تحديد مساحة السطح والحجم. يمثل المنشور المائل في هذا الصدد بعض الصعوبات.
يوضح الشكل أدناه منشورين بقاعدة مربعة. تُظهر الزاوية 90 درجة الفرق الأساسي بين المنشور المستقيم والمنشور المائل.
صيغة لتحديد حجم الشكل
يسمى جزء من المساحة التي تحدها وجوه المنشور حجمه. بالنسبة للأرقام المدروسة من أي نوع ، يمكن تحديد هذه القيمة بالصيغة التالية:
V=h × So
هنا ، يشير الرمز h إلى ارتفاع المنشور ،وهو قياس المسافة بين قاعدتين. الرمز So- مربع أساسي واحد.
من السهل العثور على منطقة القاعدة. بالنظر إلى حقيقة ما إذا كان المضلع منتظمًا أم لا ، ومعرفة عدد أضلاعه ، يجب تطبيق الصيغة المناسبة والحصول على So. على سبيل المثال ، بالنسبة إلى n-gon العادي بطول ضلع a ، ستكون المنطقة:
S=n / 4 × a2 ×ctg (pi / n)
الآن دعنا ننتقل إلى الارتفاع h. بالنسبة للمنشور المستقيم ، فإن تحديد الارتفاع ليس بالأمر الصعب ، ولكن بالنسبة للمنشور المائل ، فهذه ليست مهمة سهلة. يمكن حلها بطرق هندسية مختلفة ، بدءًا من الظروف الأولية المحددة. ومع ذلك ، هناك طريقة عالمية لتحديد ارتفاع الشكل. دعونا نصفه بإيجاز
الفكرة هي إيجاد المسافة من نقطة في الفضاء إلى مستوى. افترض أن المستوى معطى بالمعادلة:
أ × س + ب × ص + ج × ع + د=0
إذن ستكون الطائرة على مسافة:
h=| A × x1+ B × y1+ C × z1 + د | / √ (A2+ B2+ C2 )
إذا تم ترتيب محاور الإحداثيات بحيث تقع النقطة (0 ؛ 0 ؛ 0) في مستوى القاعدة السفلية للمنشور ، فيمكن كتابة معادلة المستوى الأساسي على النحو التالي:
ض=0
هذا يعني أنه سيتم كتابة معادلة الارتفاعلذلك:
h=z1
يكفي إيجاد إحداثيات z لأي نقطة من القاعدة العلوية لتحديد ارتفاع الشكل.
مثال على حل المشكلات
يوضح الشكل أدناه منشورًا رباعي الزوايا. قاعدة المنشور المائل عبارة عن مربع طول ضلعه 10 سم ، ومن الضروري حساب حجمه إذا عرف أن طول الضلع الجانبي 15 سم ، والزاوية الحادة لمتوازي الأضلاع الأمامي 70 درجة.
نظرًا لأن ارتفاع h للشكل هو أيضًا ارتفاع متوازي الأضلاع ، فإننا نستخدم الصيغ لتحديد مساحته لإيجاد h. دعنا نشير إلى جانبي متوازي الأضلاع على النحو التالي:
أ=10 سم ؛
ب=15 سم
ثم يمكنك كتابة الصيغ التالية لها لتحديد المنطقة Sp:
Sp=أ × ب × الخطيئة (α) ؛
Sp=أ × ح
من حيث نحصل:
ح=ب × الخطيئة (α)
هنا α هي زاوية حادة من متوازي الأضلاع. نظرًا لأن القاعدة مربعة ، فإن صيغة حجم المنشور المائل ستأخذ الشكل:
V=أ2× ب × الخطيئة (α)
نستبدل البيانات من الشرط في الصيغة ونحصل على الإجابة: V 1410 cm3.
