لتحديد التوازي والعمودي للمستويات ، وكذلك لحساب المسافات بين هذه الكائنات الهندسية ، من الملائم استخدام نوع أو آخر من الوظائف العددية. ما هي المشاكل التي من المناسب استخدام معادلة المستوى في المقاطع؟ في هذه المقالة سوف نلقي نظرة على ماهيتها وكيفية استخدامها في المهام العملية.
ما هي المعادلة في المقاطع المستقيمة؟
يمكن تعريف الطائرة في مساحة ثلاثية الأبعاد بعدة طرق. في هذه المقالة ، سيتم تقديم بعضها أثناء حل المشكلات من أنواع مختلفة. نقدم هنا وصفًا تفصيليًا للمعادلة في أجزاء المستوى. بشكل عام يكون على الشكل التالي:
x / p + y / q + z / r=1.
حيث تشير الرموز p و q و r إلى بعض الأرقام المحددة. يمكن ترجمة هذه المعادلة بسهولة إلى تعبير عام وإلى أشكال أخرى من الوظائف العددية للمستوى.
تكمن الراحة في كتابة المعادلة في مقاطع في حقيقة أنها تحتوي على إحداثيات صريحة لتقاطع المستوى مع محاور إحداثيات عمودية. على المحور السينيبالنسبة إلى الأصل ، يقطع المستوى جزءًا من الطول p ، على المحور y - يساوي q ، على z - من الطول r.
إذا لم يتم تضمين أي من المتغيرات الثلاثة في المعادلة ، فهذا يعني أن المستوى لا يمر عبر المحور المقابل (يقول علماء الرياضيات أنه يتقاطع عند اللانهاية).
بعد ذلك ، إليك بعض المشكلات التي سنبين فيها كيفية التعامل مع هذه المعادلة.
التواصل العام و في مقاطع المعادلات
من المعروف أن الطائرة تعطى بالمساواة التالية:
2x - 3y + z - 6=0.
من الضروري تدوين هذه المعادلة العامة للمستوى في مقاطع
عندما تظهر مشكلة مماثلة ، تحتاج إلى اتباع هذه التقنية: ننقل المصطلح المجاني إلى الجانب الأيمن من المساواة. ثم نقسم المعادلة بأكملها على هذا المصطلح ، في محاولة للتعبير عنها بالشكل الوارد في الفقرة السابقة. لدينا:
2س - 3ص + ض=6=>
2x / 6 - 3y / 6 + z / 6=1=>
x / 3 + y / (- 2) + z / 6=1.
حصلنا في المقاطع على معادلة المستوى ، المقدمة في البداية بشكل عام. من الملاحظ أن المستوى يقطع مقاطع بأطوال 3 و 2 و 6 للمحاور x و y و z على التوالي. المحور y يتقاطع مع المستوى في منطقة الإحداثيات السلبية.
عند رسم معادلة على شكل مقاطع ، من المهم أن تكون جميع المتغيرات مسبوقة بعلامة "+". في هذه الحالة فقط ، الرقم الذي يقسم به هذا المتغير سيظهر الإحداثي مقطوعًا على المحور.
متجه عادي ونقطة على الطائرة
من المعروف أن بعض الطائرات بها متجه اتجاه (3 ؛ 0 ؛ -1). ومن المعروف أيضًا أنه يمر عبر النقطة (1 ؛ 1 ؛ 1). بالنسبة لهذا المستوى ، اكتب معادلة في مقاطع.
لحل هذه المشكلة ، يجب عليك أولاً استخدام الشكل العام لهذا الكائن الهندسي ثنائي الأبعاد. تتم كتابة النموذج العام على النحو التالي:
Ax + By + Cz + D=0.
المعاملات الثلاثة الأولى هنا هي إحداثيات متجه الدليل ، المحدد في بيان المشكلة ، أي:
أ=3 ؛
ب=0 ؛
C=-1.
يبقى العثور على المصطلح المجاني D. ويمكن تحديده بالصيغة التالية:
D=-1(Ax1+ By1+ Cz1).
حيث تتوافق قيم الإحداثيات مع الفهرس 1 مع إحداثيات نقطة تنتمي إلى المستوى. نستبدل قيمها من حالة المشكلة ، نحصل على:
D=-1(31 + 01 + (-1)1)=-2.
الآن يمكنك كتابة المعادلة الكاملة:
3س - ض - 2=0.
تم بالفعل توضيح تقنية تحويل هذا التعبير إلى معادلة في أجزاء من المستوى أعلاه. طبقه:
3س - ض=2=>
x / (2/3) + z / (- 2)=1.
تم استلام الجواب على المشكلة. لاحظ أن هذا المستوى يتقاطع فقط مع محوري x و z. بالنسبة لـ y فهو متوازي.
خطان مستقيمان يحددان المستوى
من مسار الهندسة المكانية ، يعرف كل طالب أن سطرين تعسفيين يحددان بشكل فريد المستوى فيمساحة ثلاثية الأبعاد. دعونا نحل مشكلة مماثلة.
معادلتان للخطوط معروفة:
(س ؛ ص ؛ ض)=(1 ؛ 0 ؛ 0) + α(2 ؛ -1 ؛ 0) ؛
(س ؛ ص ؛ ض)=(1 ؛ -1 ؛ 0) +(- 1 ؛ 0 ؛ 1).
من الضروري تدوين معادلة المستوى في مقاطع ، مروراً بهذه الخطوط.
نظرًا لأن كلا الخطين يجب أن يكونا في المستوى ، فهذا يعني أن متجهيهما (أدلة) يجب أن يكونا متعامدين مع المتجه (الدليل) للمستوى. في الوقت نفسه ، من المعروف أن المنتج المتجه لقطعتين موجهتين تعسفيًا يعطي النتيجة في شكل إحداثيات للجزء الثالث ، متعامدة مع الجزأين الأصليين. بالنظر إلى هذه الخاصية ، نحصل على إحداثيات المتجه العادي للمستوى المطلوب:
[(2 ؛ -1 ؛ 0)(- 1 ؛ 0 ؛ 1)]=(-1 ؛ -2 ؛ -1).
نظرًا لأنه يمكن ضربه برقم تعسفي ، فإن هذا يشكل مقطعًا موجهًا جديدًا موازٍ للجزء الأصلي ، يمكننا استبدال علامة الإحداثيات التي تم الحصول عليها بالعكس (الضرب في -1) ، نحصل على:
(1 ؛ 2 ؛ 1).
نعرف متجه الاتجاه. يبقى أن نأخذ نقطة تعسفية لأحد الخطوط المستقيمة ونرسم المعادلة العامة للمستوى:
أ=1 ؛
ب=2 ؛
C=1 ؛
D=-1(11 + 20 + 30)=-1 ؛
x + 2y + z -1=0.
ترجمة هذه المساواة إلى تعبير في المقاطع ، نحصل على:
x + 2y + z=1=>
x / 1 + y / (1/2) + z / 1=1.
وهكذا ، يتقاطع المستوى مع جميع المحاور الثلاثة في المنطقة الموجبة لنظام الإحداثيات.
ثلاث نقاط وطائرة
تمامًا مثل الخطين المستقيمين ، تحدد النقاط الثلاث المستوى بشكل فريد في الفضاء ثلاثي الأبعاد. نكتب المعادلة المقابلة في مقاطع إذا كانت الإحداثيات التالية للنقاط الموجودة في المستوى معروفة:
س (1 ؛ -2 ؛ 0) ؛
ف (2 ؛ -3 ؛ 0) ؛
م (4 ؛ 1 ؛ 0).
لنقم بما يلي: احسب إحداثيات متجهين عشوائيين يربطان هذه النقاط ، ثم ابحث عن المتجه n¯ الطبيعي للمستوى عن طريق حساب حاصل ضرب المقاطع الموجهة التي تم العثور عليها. نحصل على:
QP¯=P - Q=(1 ؛ -1 ؛ 0) ؛
QM¯=M - Q=(2 ؛ 4 ؛ 0) ؛
n¯=[QP¯QM¯]=[(1؛ -1؛ 0)(2؛ 4؛ 0)]=(0؛ 0؛ 6).
خذ النقطة P كمثال ، وقم بتكوين معادلة المستوى:
أ=0 ؛
ب=0 ؛
C=6 ؛
D=-1(02 + 0(- 3) + 60)=0 ؛
6z=0 أو z=0.
حصلنا على تعبير بسيط يتوافق مع المستوى xy في نظام إحداثيات المستطيل المحدد. لا يمكن كتابتها في مقاطع ، لأن المحورين x و y ينتميان إلى المستوى ، وطول المقطع المقطوع على المحور z هو صفر (النقطة (0 ؛ 0 ؛ 0) تنتمي إلى المستوى).
