كثيرون ، في مواجهة مفهوم "نظرية الاحتمالات" ، خائفون ، معتقدين أن هذا شيء ساحق ومعقد للغاية. لكنها في الحقيقة ليست كلها مأساوية. سننظر اليوم في المفهوم الأساسي لنظرية الاحتمالات ، ونتعلم كيفية حل المشكلات باستخدام أمثلة محددة.
علم
ما الذي يدرسه فرع من فروع الرياضيات مثل "نظرية الاحتمالات"؟ يلاحظ أنماط الأحداث والكميات العشوائية. لأول مرة ، أصبح العلماء مهتمين بهذه القضية في القرن الثامن عشر ، عندما درسوا القمار. المفهوم الأساسي لنظرية الاحتمالات هو حدث. إنها أي حقيقة تؤكدها التجربة أو الملاحظة. لكن ما هي التجربة؟ مفهوم أساسي آخر لنظرية الاحتمالات. هذا يعني أن هذا التكوين للظروف لم يتم إنشاؤه عن طريق الصدفة ، ولكن لغرض محدد. أما الملاحظة فهنا الباحث نفسه لا يشارك في التجربة ، بل هو مجرد شاهد على هذه الأحداث ، ولا يؤثر على ما يحدث بأي شكل من الأشكال.
أحداث
تعلمنا أن المفهوم الأساسي لنظرية الاحتمال هو حدث ، لكننا لم نأخذ في الاعتبار التصنيف. كل منهم مقسم إلى الفئات التالية:
- موثوق بها.
- مستحيل.
- عشوائي.
لا يهمما نوع الأحداث التي يتم ملاحظتها أو إنشاؤها في سياق التجربة ، فهي تخضع جميعها لهذا التصنيف. نقدم التعرف على كل نوع على حدة.
حدث معين
هذا ظرف تم قبله اتخاذ مجموعة التدابير اللازمة. من أجل فهم الجوهر بشكل أفضل ، من الأفضل إعطاء بعض الأمثلة. تخضع الفيزياء والكيمياء والاقتصاد والرياضيات العليا لهذا القانون. تتضمن نظرية الاحتمالية مفهومًا مهمًا مثل حدث معين. فيما يلي بعض الأمثلة:
- نعمل ونحصل على اجر على شكل اجور
- نجحنا في الامتحانات بشكل جيد ، اجتزنا المنافسة ، لهذا نحصل على مكافأة على شكل قبول في مؤسسة تعليمية.
- استثمرنا المال في البنك ، سنعيده إذا لزم الأمر.
مثل هذه الأحداث موثوقة. إذا استوفينا جميع الشروط اللازمة ، فسنحصل بالتأكيد على النتيجة المتوقعة.
أحداث مستحيلة
الآن نحن ندرس عناصر نظرية الاحتمالات. نقترح الانتقال إلى شرح للنوع التالي من الأحداث ، أي المستحيل. أولاً ، دعنا نحدد القاعدة الأكثر أهمية - احتمال وقوع حدث مستحيل هو صفر.
لا يمكنك الخروج عن هذه الصياغة عند حل المشكلات. للتوضيح ، إليك أمثلة على مثل هذه الأحداث:
- تجمد الماء عند زائد عشرة (هذا مستحيل).
- نقص الكهرباء لا يؤثر على الإنتاج بأي شكل من الأشكال (مستحيل كما في المثال السابق).
المزيد من الأمثلةلا يستحق الذكر ، لأن تلك الموصوفة أعلاه تعكس بوضوح جوهر هذه الفئة. لن يحدث الحدث المستحيل أبدًا أثناء التجربة تحت أي ظرف من الظروف.
أحداث عشوائية
بدراسة عناصر نظرية الاحتمالات ، ينبغي إيلاء اهتمام خاص لهذا النوع المعين من الأحداث. هذا ما يدرسه العلم. نتيجة للتجربة ، قد يحدث شيء ما أو لا يحدث. بالإضافة إلى ذلك ، يمكن تكرار الاختبار لعدد غير محدود من المرات. الأمثلة الحية هي:
- إلقاء العملة هو تجربة ، أو اختبار ، العنوان هو حدث.
- رسم كرة عمياء من الحقيبة هو اختبار ، والكرة الحمراء التي يتم التقاطها هي حدث وما إلى ذلك.
يمكن أن يكون هناك عدد غير محدود من هذه الأمثلة ، ولكن بشكل عام ، يجب أن يكون الجوهر واضحًا. لتلخيص وتنظيم المعرفة المكتسبة حول الأحداث ، يتم إعطاء جدول. تدرس نظرية الاحتمالية فقط النوع الأخير من كل ما تم تقديمه.
| عنوان | تعريف | مثال |
| موثوق | الأحداث التي تحدث بضمان 100٪ في ظل ظروف معينة. | القبول في مؤسسة تعليمية بامتحان دخول جيد. |
| مستحيل | أحداث لن تحدث تحت أي ظرف من الظروف. | يتساقط الثلج عند درجة حرارة زائد ثلاثين درجة مئوية. |
| عشوائي | حدث قد يحدث أو لا يحدث أثناء تجربة / اختبار. | اضرب أو أخطأ عند رمي كرة سلة في الطوق. |
قوانين
نظرية الاحتمالات هي علم يدرس إمكانية وقوع حدث ما. مثل الآخرين ، لديها بعض القواعد. هناك قوانين نظرية الاحتمالات التالية:
- تقارب تسلسل المتغيرات العشوائية.
- قانون الأعداد الكبيرة
عند حساب احتمالية وجود معقد ، يمكنك استخدام مجموعة معقدة من الأحداث البسيطة لتحقيق النتيجة بطريقة أسهل وأسرع. لاحظ أن قوانين نظرية الاحتمالات يمكن إثباتها بسهولة بمساعدة بعض النظريات. لنبدأ بالقانون الأول
تقارب تسلسل المتغيرات العشوائية
لاحظ أن هناك عدة أنواع من التقارب:
- تسلسل المتغيرات العشوائية يتقارب في الاحتمال.
- شبه مستحيل.
- تقارب RMS.
- التقارب في التوزيع
إذن ، أثناء التنقل ، من الصعب جدًا الوصول إلى الجزء السفلي منه. فيما يلي بعض التعريفات لمساعدتك على فهم هذا الموضوع. لنبدأ بالنظرة الأولى. يُطلق على التسلسل اسم متقارب في الاحتمال إذا تم استيفاء الشرط التالي: n تميل إلى اللانهاية ، الرقم الذي يميل إليه التسلسل أكبر من الصفر وقريب من واحد.
الذهاب إلى العرض التالي ، يكاد يكون من المؤكد. ويقولون انيتقارب التسلسل بشكل شبه مؤكد مع متغير عشوائي مع n تميل إلى اللانهاية و P تميل إلى قيمة قريبة من واحد.
النوع التالي هو تقارب الجذر التربيعي. عند استخدام SC-convergence ، يتم تقليل دراسة العمليات العشوائية المتجهة إلى دراسة عمليات الإحداثيات العشوائية.
يبقى النوع الأخير ، دعونا نلقي نظرة سريعة عليه من أجل المضي قدما مباشرة في حل المشاكل. تقارب التوزيع له اسم آخر - "ضعيف" ، سنشرح السبب أدناه. التقارب الضعيف هو تقارب وظائف التوزيع في جميع نقاط استمرارية دالة التوزيع المحدود.
تأكد من الوفاء بالوعد: يختلف التقارب الضعيف عن كل ما سبق في أن المتغير العشوائي غير محدد في مساحة الاحتمال. هذا ممكن لأن الشرط يتكون حصريًا باستخدام وظائف التوزيع.
قانون الأعداد الكبيرة
المساعدون الممتازون في إثبات هذا القانون سيكونون نظريات نظرية الاحتمالات ، مثل:
- عدم مساواة تشيبيشيف
- نظرية تشيبيشيف.
- نظرية تشيبيشيف المعممة.
- نظرية ماركوف.
إذا أخذنا في الاعتبار كل هذه النظريات ، فقد يستمر هذا السؤال لعدة عشرات من الأوراق. مهمتنا الرئيسية هي تطبيق نظرية الاحتمال في الممارسة. ندعوك للقيام بذلك الآن. لكن قبل ذلك ، دعونا ننظر في مسلمات نظرية الاحتمالات ، فهم سيكونون المساعدين الرئيسيين في حل المشكلات.
البديهيات
التقينا بالفعل بالأول عندما تحدثنا عن الحدث المستحيل. لنتذكر: احتمال وقوع حدث مستحيل هو صفر. قدمنا مثالًا حيًا جدًا ولا يُنسى: لقد تساقطت الثلوج عند درجة حرارة هواء 30 درجة مئوية.
يبدو الثاني على هذا النحو: حدث موثوق به يحدث باحتمال مساوٍ للواحد. الآن دعنا نظهر كيفية كتابتها باستخدام اللغة الرياضية: P (B)=1.
ثالثًا: قد يحدث أو لا يحدث حدث عشوائي ، لكن الاحتمال دائمًا يتراوح من صفر إلى واحد. كلما اقتربت القيمة من واحد ، زادت الفرصة ؛ إذا اقتربت القيمة من الصفر ، يكون الاحتمال منخفضًا جدًا. لنكتب هذا باللغة الرياضية: 0<Р (С) <1.
لننظر إلى البديهية الرابعة الأخيرة ، والتي تبدو كالتالي: احتمال مجموع حدثين يساوي مجموع احتمالاتهما. نكتب بلغة رياضية: P (A + B) u003d P (A) + P (B).
بديهيات نظرية الاحتمالات هي أبسط القواعد التي يسهل تذكرها. دعنا نحاول حل بعض المشاكل ، بناءً على المعرفة المكتسبة بالفعل.
تذكرة اليانصيب
أولاً ، فكر في أبسط مثال - اليانصيب. تخيل أنك اشتريت تذكرة يانصيب واحدة لحسن الحظ. ما هو احتمال أن تربح عشرين روبل على الأقل؟ في المجموع ، تشارك ألف تذكرة في التداول ، جائزة واحدة منها تبلغ خمسمائة روبل ، وعشرة من مائة روبل ، وخمسين من عشرين روبل ، ومائة من خمسة. تستند المشاكل في نظرية الاحتمالات على إيجاد الاحتمالحظا سعيدا. الآن سنقوم معًا بتحليل حل المهمة المعروضة أعلاه.
إذا أشرنا بالحرف A إلى فوز بخمسمائة روبل ، فإن احتمال الحصول على A سيكون 0.001 ، كيف حصلنا عليه؟ تحتاج فقط إلى قسمة عدد التذاكر "المحظوظة" على العدد الإجمالي (في هذه الحالة: 1/1000).
B هو ربح مائة روبل ، والاحتمال سيكون 0.01. الآن تصرفنا وفقًا لنفس المبدأ كما في الإجراء السابق (10/1000)
C - المكاسب تساوي عشرين روبل. أوجد الاحتمال ، فهو يساوي 0.05.
باقي التذاكر لا تهمنا ، لأن صندوق جائزتها أقل من المحدد في الشرط. لنطبق البديهية الرابعة: احتمال الفوز بعشرين روبل على الأقل هو P (A) + P (B) + P (C). يشير الحرف P إلى احتمال حدوث هذا الحدث ، وقد وجدناها بالفعل في الخطوات السابقة. يبقى فقط لإضافة البيانات الضرورية ، في الإجابة نحصل على 0 ، 061. سيكون هذا الرقم هو الإجابة على سؤال المهمة.
سطح البطاقة
يمكن أن تكون مشاكل نظرية الاحتمالات أكثر تعقيدًا ، على سبيل المثال ، قم بالمهمة التالية. أمامك مجموعة من ستة وثلاثين بطاقة. مهمتك هي رسم ورقتين متتاليتين بدون خلط الكومة ، يجب أن تكون البطاقتان الأولى والثانية ارسالا ساحقا ، لا يهم البدلة.
أولاً ، لنجد احتمال أن تكون البطاقة الأولى آسًا ، لذلك نقسم أربعة على ستة وثلاثين. وضعوها جانبا. نخرج البطاقة الثانية ، ستكون الآس باحتمال ثلاثة على خمسة وثلاثين. يعتمد احتمال الحدث الثاني على البطاقة التي رسمناها أولاً ، والتي نهتم بهاهل كانت الآس أم لا. ويترتب على ذلك أن الحدث ب يعتمد على الحدث أ.
الخطوة التالية هي إيجاد احتمال التنفيذ المتزامن ، أي نضرب أ و ب. حاصل ضربهما كالتالي: احتمال حدث واحد مضروب في الاحتمال الشرطي لحدث آخر ، والذي نحسبه ، بافتراض وقوع الحدث الأول ، أي مع البطاقة الأولى رسمنا الآس.
لتوضيح كل شيء ، دعنا نعطي تسمية لعنصر مثل الاحتمال الشرطي لحدث ما. يتم حسابه على افتراض وقوع الحدث "أ". تحسب كالتالي: P (B / A)
استمر في حل مشكلتنا: P (AB)=P (A)P (B / A) أو P (AB)=P (B)P (A / B). الاحتمال (4/36)((3/35) / (4/36) احسب بالتقريب إلى المئات. لدينا: 0، 11(0، 09/0، 11)=0، 110، 82=0، 09. احتمالية أن نرسم اثنين من الآسات على التوالي هو تسع مائة قيمته صغيرة جدا ويترتب على ذلك ان احتمال وقوع الحدث ضئيل جدا.
رقم منسي
نقترح تحليل عدد قليل من الخيارات الإضافية للمهام التي تدرسها نظرية الاحتمالات. لقد رأيت بالفعل أمثلة لحل بعضها في هذه المقالة ، فلنحاول حل المشكلة التالية: نسي الصبي الرقم الأخير من رقم هاتف صديقه ، ولكن نظرًا لأن المكالمة كانت مهمة جدًا ، فقد بدأ في الاتصال بكل شيء بدوره. نحتاج إلى حساب احتمال ألا يستدعي أكثر من ثلاث مرات. حل المشكلة هو الأبسط إذا كانت قواعد وقوانين وبديهيات نظرية الاحتمالات معروفة.
قبل المشاهدةالحل ، حاول حلها بنفسك. نعلم أن الرقم الأخير يمكن أن يكون من صفر إلى تسعة ، أي أن مجموع القيم فيه عشر مرات. احتمال الحصول على الحق هو 1 / 10.
بعد ذلك ، نحتاج إلى النظر في الخيارات الخاصة بأصل الحدث ، لنفترض أن الصبي قد خمّن بشكل صحيح وسجل الهدف الصحيح على الفور ، واحتمال حدوث مثل هذا الحدث هو 1/10. الخيار الثاني: المكالمة الأولى خاطئة ، والثانية على الهدف. نحسب احتمال حدوث مثل هذا الحدث: اضرب 9/10 في 1/9 ، ونتيجة لذلك نحصل أيضًا على 1/10. الخيار الثالث: اتضح أن المكالمة الأولى والثانية كانت في العنوان الخطأ ، فقط من الثالث وصل الصبي إلى حيث يريد. نحسب احتمال حدوث مثل هذا الحدث: نضرب 9/10 في 8/9 وفي 1/8 نحصل على 1/10 نتيجة لذلك. وفقًا لحالة المشكلة ، لسنا مهتمين بالخيارات الأخرى ، لذلك يبقى لنا أن نجمع النتائج ، ونتيجة لذلك لدينا 3/10. الجواب: احتمال ألا يتصل الصبي بأكثر من ثلاث مرات هو 0.3
بطاقات بأرقام
هناك تسع بطاقات أمامك ، كل منها مكتوب رقم من واحد إلى تسعة ، الأرقام غير مكررة. تم وضعهم في صندوق وخلطهم جيدًا. تحتاج إلى حساب احتمال أن
- سيظهر رقم زوجي ؛
- رقمين.
قبل الشروع في الحل ، دعنا نشترط أن m هو عدد الحالات الناجحة ، و n هو العدد الإجمالي للخيارات. أوجد احتمال أن يكون الرقم زوجيًا. لن يكون من الصعب حساب وجود أربعة أعداد زوجية ، وهذا سيكون م لدينا ، وهناك تسعة خيارات في المجموع ، أي م=9. ثم الاحتماليساوي 0 أو 44 أو 4 / 9.
ضع في اعتبارك الحالة الثانية: عدد الخيارات تسعة ، ولا يمكن أن تكون هناك نتائج ناجحة على الإطلاق ، أي أن م يساوي صفرًا. احتمال احتواء البطاقة المرسومة على رقم مكون من رقمين هو أيضًا صفر.
