من غير المحتمل أن يفكر الكثير من الناس فيما إذا كان من الممكن حساب الأحداث العشوائية إلى حد ما. بعبارات بسيطة ، هل من الواقعي معرفة جانب النرد الذي سيسقط بعد ذلك. كان هذا هو السؤال الذي طرحه عالمان عظيمان ، اللذان أرسيا الأساس لمثل هذا العلم مثل نظرية الاحتمال ، حيث تتم دراسة احتمال وقوع حدث على نطاق واسع.
النشأة
إذا حاولت تعريف مفهوم مثل نظرية الاحتمالات ، تحصل على ما يلي: هذا أحد فروع الرياضيات التي تدرس ثبات الأحداث العشوائية. بالطبع هذا المفهوم لا يكشف حقيقة الجوهر كله ، لذلك من الضروري النظر فيه بمزيد من التفصيل.
أود أن أبدأ مع مبتكري النظرية. كما ذكرنا أعلاه ، كان هناك اثنان منهم ، وهما بيير فيرمات وبليز باسكال. كانوا من بين الأوائل الذين حاولوا حساب نتيجة حدث باستخدام الصيغ والحسابات الرياضية. على العموم ، ظهرت أساسيات هذا العلم في وقت مبكرالعصور الوسطى. في ذلك الوقت ، حاول العديد من المفكرين والعلماء تحليل المقامرة ، مثل لعبة الروليت ، والكرابس ، وما إلى ذلك ، وبالتالي إنشاء نمط ونسبة مئوية لعدد معين يتساقط. تم وضع الأساس في القرن السابع عشر من قبل العلماء المذكورين.
في البداية ، لا يمكن أن يُعزى عملهم إلى الإنجازات العظيمة في هذا المجال ، لأن كل ما فعلوه كان مجرد حقائق تجريبية ، وتم وضع التجارب بصريًا ، دون استخدام الصيغ. مع مرور الوقت ، اتضح أنها تحقق نتائج رائعة ، والتي ظهرت نتيجة مراقبة رمي النرد. كانت هذه الأداة هي التي ساعدت في اشتقاق الصيغ الواضحة الأولى.
شركاء
من المستحيل عدم ذكر شخص مثل Christian Huygens ، في عملية دراسة موضوع يسمى "نظرية الاحتمالات" (يتم تغطية احتمال وقوع حدث على وجه التحديد في هذا العلم). هذا الشخص مثير جدا للاهتمام. لقد حاول ، مثل العلماء المذكورين أعلاه ، اشتقاق انتظام الأحداث العشوائية في شكل صيغ رياضية. يشار إلى أنه لم يفعل ذلك مع باسكال وفيرمات ، أي أن جميع أعماله لم تتقاطع بأي شكل من الأشكال مع هذه العقول. اشتق Huygens المفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات.
حقيقة مثيرة للاهتمام هي أن عمله خرج قبل وقت طويل من نتائج أعمال الرواد ، أو بالأحرى قبل عشرين عامًا. ومن بين المفاهيم المعينة أشهرها:
- مفهوم الاحتمالية كضخامة للصدفة ؛
- توقع منفصلحالات
- نظريات الضرب و جمع الاحتمالات.
من المستحيل أيضًا عدم تذكر جاكوب برنولي ، الذي قدم أيضًا مساهمة كبيرة في دراسة المشكلة. بإجراء اختباراته الخاصة ، بغض النظر عن أي شخص ، تمكن من تقديم دليل على قانون الأعداد الكبيرة. في المقابل ، تمكن العالمان بواسون ولابلاس ، اللذان عملا في بداية القرن التاسع عشر ، من إثبات النظريات الأصلية. منذ هذه اللحظة بدأ استخدام نظرية الاحتمالات لتحليل الأخطاء في سياق الملاحظات. لم يستطع العلماء الروس ، أو بالأحرى ماركوف وتشيبيشيف وديابونوف ، تجاوز هذا العلم أيضًا. بناءً على العمل الذي قام به العباقرة العظماء ، قاموا بإصلاح هذا الموضوع كفرع من الرياضيات. عملت هذه الأرقام بالفعل في نهاية القرن التاسع عشر ، وبفضل مساهمتها ، ظهرت ظواهر مثل:
- قانون الأعداد الكبيرة ؛
- نظرية سلسلة ماركوف ؛
- نظرية الحد المركزي
إذن ، مع تاريخ ولادة العلم ومع الأشخاص الرئيسيين الذين أثروا فيه ، أصبح كل شيء أكثر أو أقل وضوحًا. حان الوقت الآن لتجسيد كل الحقائق.
مفاهيم أساسية
قبل التطرق إلى القوانين والنظريات ، يجدر دراسة المفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات. يأخذ الحدث الدور الرائد فيه. هذا الموضوع ضخم للغاية ، لكن بدونه لن يكون من الممكن فهم كل شيء آخر.
حدث في نظرية الاحتمالات هو أي مجموعة من نتائج التجربة. لا توجد مفاهيم كثيرة لهذه الظاهرة. لذا ، أيها العالم لوتمان ،بالعمل في هذا المجال ، قال إننا في هذه الحالة نتحدث عن شيء ما "حدث ، رغم أنه ربما لم يحدث".
الأحداث العشوائية (تولي نظرية الاحتمالات اهتمامًا خاصًا بها) هو مفهوم يشير إلى أي ظاهرة لها القدرة على الحدوث. أو ، على العكس من ذلك ، قد لا يحدث هذا السيناريو عند استيفاء العديد من الشروط. من الجدير أيضًا معرفة أن الأحداث العشوائية هي التي تلتقط الحجم الكامل للظواهر التي حدثت. تشير نظرية الاحتمالية إلى أنه يمكن تكرار جميع الشروط باستمرار. كان سلوكهم هو ما يسمى "التجربة" أو "الاختبار".
حدث معين هو حدث سيحدث بنسبة 100٪ في اختبار معين. وعليه فإن الحدث المستحيل لن يحدث.
مزيج من زوج من الإجراءات (تقليديًا الحالة أ والحالة ب) هو ظاهرة تحدث في وقت واحد. تم تصنيفهم على أنهم AB.
مجموع أزواج الأحداث A و B هو C ، بمعنى آخر ، إذا حدث أحدهما على الأقل (A أو B) ، فسيتم الحصول على C. معادلة الظاهرة الموصوفة مكتوبة على النحو التالي: C=A + B.
تشير الأحداث المنفصلة في نظرية الاحتمالات إلى أن الحالتين متنافيتان. لا يمكن أن تحدث في نفس الوقت. الأحداث المشتركة في نظرية الاحتمالات هي نقيضها. هذا يعني أنه إذا حدث A ، فإنه لا يتعارض مع B.
الأحداث المعاكسة (تتعامل نظرية الاحتمالات معها بتفصيل كبير) من السهل فهمها. من الأفضل التعامل معهم بالمقارنة. هم تقريبا نفس الشيءوالأحداث غير المتوافقة في نظرية الاحتمالات. لكن الاختلاف بينهما يكمن في حقيقة أن إحدى الظواهر العديدة يجب أن تحدث على أي حال.
الأحداث المتكافئة هي تلك الأفعال ، احتمالية حدوثها متساوية. لتوضيح الأمر ، يمكننا أن نتخيل رمي عملة معدنية: سقوط أحد جوانبها من المرجح بنفس القدر أن يسقط الآخر.
من الأسهل رؤية الحدث الميمون بمثال. لنفترض أن هناك الحلقة B والحلقة A. الأولى هي رمي النرد مع ظهور رقم فردي ، والثاني هو ظهور الرقم خمسة على النرد. ثم اتضح أن أ يفضل ب
الأحداث المستقلة في نظرية الاحتمالات يتم توقعها فقط في حالتين أو أكثر وتعني استقلالية أي إجراء عن الآخر. على سبيل المثال ، A هو فقدان ذيول عند رمي عملة ، و B هو سحب رافعة من سطح السفينة. إنها أحداث مستقلة في نظرية الاحتمالات. مع هذه اللحظة أصبح الأمر أكثر وضوحا
الأحداث التابعة في نظرية الاحتمالات مقبولة أيضًا فقط لمجموعتها. إنها تشير إلى اعتماد أحدهما على الآخر ، أي أن الظاهرة B لا يمكن أن تحدث إلا إذا حدث بالفعل A بالفعل أو ، على العكس من ذلك ، لم يحدث ، عندما يكون هذا هو الشرط الرئيسي لـ B.
نتيجة تجربة عشوائية تتكون من مكون واحد هي الأحداث الأولية. توضح نظرية الاحتمالات أن هذه ظاهرة حدثت مرة واحدة فقط.
الصيغ الأساسية
إذن ، مفاهيم "الحدث" ، "نظرية الاحتمالات" ،كما تم تقديم تعريف للمصطلحات الأساسية لهذا العلم. حان الوقت الآن للتعرف مباشرة على الصيغ المهمة. تؤكد هذه التعبيرات رياضياً جميع المفاهيم الرئيسية في موضوع صعب مثل نظرية الاحتمالات. يلعب احتمال وقوع حدث دورًا كبيرًا هنا أيضًا.
بداية أفضل بالصيغ الأساسية للتوافقيات. وقبل الشروع فيها يجدر التفكير في ماهيتها
التوافقية هي في الأساس فرع من فروع الرياضيات ، فهي تتعامل مع دراسة عدد كبير من الأعداد الصحيحة ، فضلاً عن التباديل المختلفة لكل من الأرقام نفسها وعناصرها ، والبيانات المختلفة ، وما إلى ذلك ، مما يؤدي إلى ظهور عدد من التركيبات. بالإضافة إلى نظرية الاحتمالات ، فإن هذا الفرع مهم للإحصاء وعلوم الكمبيوتر والتشفير.
الآن يمكننا الانتقال إلى تقديم الصيغ نفسها وتحديدها.
الأول سيكون التعبير عن عدد التباديل ، يبدو كالتالي:
P_n=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2) … 3 ⋅ 2 ⋅ 1=n!
تنطبق المعادلة فقط في حالة اختلاف العناصر بالترتيب.
الآن سيتم النظر في صيغة تحديد المستوى ، تبدو كالتالي:
A_n ^ m=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅… ⋅ (n - m + 1)=n!: (ن - م)!
لا ينطبق هذا التعبير فقط على ترتيب العنصر ، ولكن أيضًا على تكوينه.
المعادلة الثالثة من التوافقية ، وهي أيضًا الأخيرة ، تسمى معادلة عدد التركيبات:
C_n ^ m=n!: ((ن -م))!: م!
التركيبات هي اختيارات غير مرتبة ، على التوالي ، وهذه القاعدة تنطبق عليهم.
اتضح أنه من السهل معرفة صيغ التوافقية ، والآن يمكننا الانتقال إلى التعريف الكلاسيكي للاحتمالات. هذا التعبير يشبه هذا:
P (A)=م: ن
في هذه الصيغة ، m هو عدد الشروط المواتية للحدث A ، و n هو عدد جميع النتائج الأولية الممكنة والمتساوية تمامًا.
يوجد عدد كبير من التعبيرات لن تغطيها المقالة كلها ولكن سيتم التطرق لأهمها مثل احتمال مجموع الأحداث على سبيل المثال:
P (A + B)=P (A) + P (B) - هذه النظرية لإضافة الأحداث غير المتوافقة فقط ؛
P (A + B)=P (A) + P (B) - P (AB) - وهذا هو لإضافة المتوافقة فقط.
احتمالية إنتاج الأحداث:
P (A ⋅ B)=P (A) ⋅ P (B) - هذه النظرية للأحداث المستقلة ؛
(P (A ⋅ B)=P (A) ⋅ P (B∣A) ؛ P (A ⋅ B)=P (A) ⋅ P (A∣B)) - وهذا من أجل المدمنين.
صيغة الحدث تنتهي القائمة. تخبرنا نظرية الاحتمالات عن نظرية بايز التي تبدو كالتالي:
P (H_m∣A)=(P (H_m) P (A∣H_m)): (∑_ (k=1) ^ n P (H_k) P (A∣H_k)) ، م=1 ،…، n
في هذه الصيغة ، H1، H2،… ، H هي مجموعة كاملة من الفرضيات
دعنا نتوقف هنا ، ثم سيتم النظر في أمثلة لتطبيق الصيغ لحل مشاكل محددة من الممارسة.
أمثلة
إذا كنت تدرس بعناية أي قسمالرياضيات ، لا تخلو من التمارين وعينات الحلول. هكذا هي نظرية الاحتمالات: الأحداث ، الأمثلة هنا عنصر متكامل يؤكد الحسابات العلمية.
صيغة لعدد التباديل
لنفترض أن هناك ثلاثين بطاقة في مجموعة أوراق اللعب ، بدءًا من القيمة الاسمية واحدة. السؤال التالي. كم عدد الطرق المتاحة لتكديس أوراق اللعب بحيث لا تكون البطاقات ذات القيمة الاسمية واحدة واثنتين بجوار بعضها البعض؟
تم تعيين المهمة ، فلننتقل الآن إلى حلها. تحتاج أولاً إلى تحديد عدد التباديل لثلاثين عنصرًا ، ولهذا نأخذ الصيغة أعلاه ، اتضح أن P_30=30!.
بناءً على هذه القاعدة ، سنكتشف عدد الخيارات المتاحة لطي المجموعة بطرق مختلفة ، لكننا نحتاج إلى طرح تلك الخيارات التي تليها البطاقتان الأولى والثانية. للقيام بذلك ، لنبدأ بالخيار عندما يكون الأول فوق الثاني. اتضح أن البطاقة الأولى يمكن أن تأخذ تسعة وعشرين مكانًا - من الأول إلى التاسع والعشرين ، والبطاقة الثانية من الثانية إلى الثلاثين ، يتحول إلى تسعة وعشرين مكانًا لزوج من البطاقات. في المقابل ، يمكن للباقي أن يشغل ثمانية وعشرين مكانًا وبأي ترتيب. أي ، لتبديل ثمانية وعشرين بطاقة ، هناك ثمانية وعشرون خيارًا P_28=28!
نتيجة لذلك ، يتضح أنه إذا نظرنا إلى الحل عندما تكون البطاقة الأولى فوق الثانية ، فهناك 29 ⋅ 28 احتمالًا إضافيًا!=29!
باستخدام نفس الطريقة ، تحتاج إلى حساب عدد الخيارات الزائدة عن الحاجة للحالة عندما تكون البطاقة الأولى تحت الثانية.اتضح أيضًا أن 29 ⋅ 28!=29!
ويترتب على ذلك أن هناك 2 29 خيارًا إضافيًا !، بينما هناك 30 طريقة مطلوبة لبناء سطح السفينة! - 2 29 !. يبقى فقط الاعتماد.
30!=29! 30 ينًا ؛ 30! -2⋅29!=29! ⋅ (30 - 2)=29! 28
الآن تحتاج إلى ضرب جميع الأرقام من واحد إلى تسعة وعشرين معًا ، ثم في النهاية اضرب كل شيء في 28. الإجابة هي 2 ، 4757335 ⋅ 〖10〗 ^ 32
حل المثال. صيغة رقم الموضع
في هذه المشكلة ، تحتاج إلى معرفة عدد الطرق المتاحة لوضع خمسة عشر مجلدًا على رف واحد ، ولكن بشرط أن يكون هناك ثلاثون مجلدًا في المجموع.
هذه المشكلة لها حل أسهل قليلاً من الحل السابق. باستخدام الصيغة المعروفة بالفعل ، من الضروري حساب العدد الإجمالي للمواقع من ثلاثين مجلدًا من خمسة عشر.
A_30 ^ 15=30 29 ⋅ 28⋅… ⋅ (30-15 + 1)=30 29 ⋅ 28 ⋅… ⋅ 16=202843204931727360 000
الإجابة ، على التوالي ، ستكون 202843204931727360000.
الآن لنأخذ المهمة أكثر صعوبة. تحتاج إلى معرفة عدد الطرق المتاحة لترتيب ثلاثين كتابًا على رفين للكتب ، بشرط أن يكون هناك خمسة عشر مجلدًا فقط يمكن وضعها على رف واحد.
قبل البدء في الحل ، أود أن أوضح أن بعض المشكلات يتم حلها بعدة طرق ، لذلك هناك طريقتان في هذه الطريقة ، ولكن يتم استخدام نفس الصيغة في كليهما.
في هذه المشكلة ، يمكنك أن تأخذ الإجابة من الإجابة السابقة ، لأننا هناك حسبنا عدد المرات التي يمكنك فيها ملء رف بخمسة عشر كتابًا لـ-بشكل مختلف. اتضح أن A_30 ^ 15=30 29 28 ⋅… ⋅ (30-15 + 1)=30 29 ⋅ 28 ⋅… ⋅ 16.
نحسب الرف الثاني بصيغة التقليب ، لأنه يوضع فيه خمسة عشر كتابا ويبقى خمسة عشر كتابا فقط. استخدم الصيغة P_15=15!.
اتضح أن المجموع سيكون A_30 ^ 15 ⋅ P_15 طريقة ، ولكن بالإضافة إلى ذلك ، يجب ضرب حاصل ضرب جميع الأرقام من ثلاثين إلى ستة عشر في حاصل ضرب الأرقام من واحد إلى خمسة عشر ، مثل نتيجة ، حاصل ضرب جميع الأرقام من واحد إلى ثلاثين ، لذا فإن الإجابة هي 30!
لكن يمكن حل هذه المشكلة بطريقة مختلفة - أسهل. للقيام بذلك ، يمكنك أن تتخيل أن هناك رفًا واحدًا لثلاثين كتابًا. تم وضعهم جميعًا على هذه الطائرة ، ولكن نظرًا لأن الشرط يتطلب وجود رفين ، فقد قطعنا واحدًا طويلًا واحدًا إلى نصفين ، سيتضح أن كل واحد منهم اثنان وخمسة عشر. من هذا اتضح أن خيارات الموضع يمكن أن تكون P_30=30!.
حل المثال. صيغة رقم المجموعة
الآن سننظر في متغير المشكلة الثالثة من التوافقية. تحتاج إلى معرفة عدد الطرق المتاحة لترتيب خمسة عشر كتابًا ، بشرط أن تختار من بين ثلاثين كتابًا متطابقًا تمامًا.
بالنسبة للحل ، بالطبع ، سيتم تطبيق صيغة عدد المجموعات. من الشرط يتضح أن ترتيب الكتب الخمسة عشر المتطابقة ليس مهمًا. لذلك ، في البداية تحتاج إلى معرفة إجمالي عدد المجموعات المكونة من ثلاثين كتابًا من خمسة عشر.
C_30 ^ 15=30!: ((30-15))!: خمسة عشر !=155117 520
هذا كل شيء. باستخدام هذه الصيغة ، كان ذلك ممكنًا في أقصر وقت ممكنحل مثل هذه المشكلة الجواب هو 15511720 على التوالي.
حل المثال. التعريف الكلاسيكي للاحتمال
باستخدام الصيغة أعلاه ، يمكنك العثور على إجابة لمشكلة بسيطة. لكنه سيساعد على رؤية مسار الإجراءات ومتابعته بالعين المجردة.
يُعطى في المشكلة أن هناك عشر كرات متطابقة تمامًا في الجرة. أربعة منها صفراء وستة زرقاء. تؤخذ كرة واحدة من الجرة. تحتاج إلى معرفة احتمال الحصول على اللون الأزرق.
لحل المشكلة ، من الضروري تعيين الحصول على الكرة الزرقاء على أنه حدث أ. يمكن أن يكون لهذه التجربة عشر نتائج ، والتي بدورها ، أولية ومحتملة بالتساوي. في نفس الوقت ، من بين كل عشرة ، ستة مفضلة للحدث أ. نحلها وفقًا للصيغة:
P (A)=6: 10=0 ، 6
بتطبيق هذه الصيغة ، اكتشفنا أن احتمال الحصول على الكرة الزرقاء هو 0.6.
حل المثال. احتمالية مجموع الأحداث
الآن سيتم تقديم متغير ، يتم حله باستخدام صيغة احتمال مجموع الأحداث. إذن ، بشرط وجود صندوقين ، الأول يحتوي على واحدة رمادية وخمس كرات بيضاء ، والثاني يحتوي على ثماني كرات رمادية وأربع كرات بيضاء. نتيجة لذلك ، تم أخذ واحد منهم من المربع الأول والثاني. عليك أن تعرف ما هي احتمالية أن تكون الكرات التي تحصل عليها رمادية وبيضاء.
لحل هذه المشكلة ، تحتاج إلى تسمية الأحداث.
- إذن ، أ - خذ كرة رمادية من المربع الأول: P (A)=1 / 6.
- A '- خذ كرة بيضاء أيضًا من المربع الأول: P (A')=5 / 6.
- B - تم بالفعل إخراج الكرة الرمادية من الصندوق الثاني: P (B)=2 / 3.
- B '- خذ كرة رمادية من الصندوق الثاني: P (B')=1 / 3.
حسب حالة المشكلة ، يجب أن تحدث إحدى الظواهر: AB 'أو A'B. باستخدام الصيغة ، نحصل على: P (AB ')=1/18، P (A'B)=10 / 18.
الآن تم استخدام صيغة الضرب الاحتمالية. بعد ذلك ، لمعرفة الإجابة ، تحتاج إلى تطبيق المعادلة لإضافتها:
P=P (AB '+ A'B)=P (AB') + P (A'B)=11 / 18.
هكذا ، باستخدام الصيغة ، يمكنك حل مشاكل مماثلة.
نتيجة
قدمت المقالة معلومات حول موضوع "نظرية الاحتمالية" ، حيث يلعب احتمال وقوع حدث دورًا مهمًا. بالطبع ، لم يتم أخذ كل شيء في الاعتبار ، ولكن بناءً على النص المقدم ، يمكن نظريًا التعرف على هذا القسم من الرياضيات. يمكن أن يكون العلم المعني مفيدًا ليس فقط في العمل المهني ، ولكن أيضًا في الحياة اليومية. بمساعدتها ، يمكنك حساب أي احتمال لأي حدث.
تطرق النص أيضًا إلى تواريخ مهمة في تاريخ تكوين نظرية الاحتمالات كعلم ، وأسماء الأشخاص الذين استثمرت أعمالهم فيها. هذه هي الطريقة التي أدى بها فضول الإنسان إلى حقيقة أن الناس تعلموا حساب الأحداث العشوائية. بمجرد أن كانوا مهتمين به فقط ، لكن اليوم يعرفه الجميع بالفعل. ولن يقول أحد ما الذي ينتظرنا في المستقبل ، ما هي الاكتشافات الرائعة الأخرى المتعلقة بالنظرية قيد الدراسة. لكن هناك شيء واحد مؤكد - البحث لا يزال قائما!
