نظرية الاحتمالات هي فرع خاص من الرياضيات ، والتي يدرسها طلاب مؤسسات التعليم العالي فقط. هل تحب الحسابات والصيغ؟ ألست خائفًا من احتمالات التعارف مع التوزيع الطبيعي ، وانتروبيا المجموعة ، والتوقع الرياضي وتباين متغير عشوائي منفصل؟ بعد ذلك سيكون هذا الموضوع ذا أهمية كبيرة لك. دعنا نتعرف على بعض أهم المفاهيم الأساسية لهذا القسم من العلوم.
أذكر الأساسيات
حتى إذا كنت تتذكر أبسط مفاهيم نظرية الاحتمالات ، فلا تهمل الفقرات الأولى من المقال. الحقيقة هي أنه بدون فهم واضح للأساسيات ، لن تتمكن من التعامل مع الصيغ التي تمت مناقشتها أدناه.
إذن ، هناك بعض الأحداث العشوائية ، وبعض التجارب. نتيجة للإجراءات التي تم تنفيذها ، يمكننا الحصول على العديد من النتائج - بعضها أكثر شيوعًا والبعض الآخر أقل شيوعًا. احتمال وقوع حدث هو نسبة عدد النتائج التي تم تلقيها بالفعل من نوع واحد إلى العدد الإجمالي للنتائج المحتملة. فقط بمعرفة التعريف الكلاسيكي لهذا المفهوم ، يمكنك البدء في دراسة التوقع الرياضي والتباين المستمرالمتغيرات العشوائية.
حسابي يعني
حتى في المدرسة ، في دروس الرياضيات ، بدأت العمل بالمتوسط الحسابي. يستخدم هذا المفهوم على نطاق واسع في نظرية الاحتمالات ، وبالتالي لا يمكن تجاهله. الشيء الرئيسي بالنسبة لنا في الوقت الحالي هو أننا سنواجهه في الصيغ الخاصة بالتوقع الرياضي والتباين لمتغير عشوائي.
لدينا سلسلة من الأرقام ونريد إيجاد المتوسط الحسابي. كل ما هو مطلوب منا هو جمع كل ما هو متاح وقسمته على عدد العناصر في التسلسل. لنحصل على أرقام من 1 إلى 9. مجموع العناصر سيكون 45 ، وسنقسم هذه القيمة على 9. الإجابة: - 5.
تشتت
من الناحية العلمية ، التباين هو متوسط مربع انحرافات قيم السمات التي تم الحصول عليها من المتوسط الحسابي. يُرمز إلى أحدهما بحرف لاتيني كبير D. ما المطلوب لحسابه؟ لكل عنصر من عناصر التسلسل ، نحسب الفرق بين الرقم المتاح والمتوسط الحسابي ونقوم بتربيعه. سيكون هناك العديد من القيم بالضبط بقدر ما يمكن أن تكون هناك نتائج للحدث الذي ندرسه. بعد ذلك ، نلخص كل ما تم استلامه ونقسمه على عدد العناصر في التسلسل. إذا كان لدينا خمس نتائج محتملة ، فاقسم على خمسة.
يحتوي التشتت أيضًا على خصائص تحتاج إلى تذكرها من أجل تطبيقها عند حل المشكلات. على سبيل المثال ، إذا زاد المتغير العشوائي بمقدار X مرات ، فإن التباين يزيد بمقدار X مرة في المربع (أي XX). فهو لا يقل عن الصفر ولا يعتمد عليهتحويل القيم بقيمة متساوية لأعلى أو لأسفل. أيضًا ، بالنسبة للتجارب المستقلة ، يكون التباين في المجموع مساويًا لمجموع الفروق.
الآن نحن بالتأكيد بحاجة إلى النظر في أمثلة تباين متغير عشوائي منفصل والتوقع الرياضي.
لنفترض أننا أجرينا 21 تجربة وحصلنا على 7 نتائج مختلفة. لاحظنا كل واحد منهم ، على التوالي ، 1 و 2 و 2 و 3 و 4 و 4 و 5 مرات. ماذا سيكون الفرق؟
أولاً ، دعنا نحسب المتوسط الحسابي: مجموع العناصر ، بالطبع ، هو 21. اقسمها على 7 ، لتحصل على 3. الآن اطرح 3 من كل رقم في التسلسل الأصلي ، وقم بتربيع كل قيمة ، ثم أضف النتائج معًا. اتضح أن 12. الآن يتبقى لنا أن نقسم الرقم على عدد العناصر ، ويبدو أن هذا كل شيء. لكن هناك قبض! دعونا نناقشها
الاعتماد على عدد التجارب
اتضح أنه عند حساب التباين ، يمكن أن يكون المقام واحدًا من رقمين: إما N أو N-1. هنا N هو عدد التجارب التي تم إجراؤها أو عدد العناصر في التسلسل (وهو في الواقع هو نفسه). على ماذا تعتمد؟
إذا تم قياس عدد الاختبارات بالمئات ، فيجب أن نضع N في المقام ، وإذا كان بالوحدات ، فعندئذٍ N-1. قرر العلماء رسم الحد بشكل رمزي تمامًا: اليوم يمتد على طول الرقم 30. إذا أجرينا أقل من 30 تجربة ، فسنقسم الكمية على N-1 ، وإذا كانت أكثر ، فسنقسمها على N
مهمة
لنعد إلى مثالنا لحل مشكلة التباين والتوقع. نحنتلقى عددًا متوسطًا من 12 ، والذي كان يجب تقسيمه على N أو N-1. نظرًا لأننا أجرينا 21 تجربة ، أي أقل من 30 ، سنختار الخيار الثاني. إذن الجواب هو: الفرق هو 12/2=2.
توقع
دعنا ننتقل إلى المفهوم الثاني ، والذي يجب علينا مراعاته في هذه المقالة. التوقع الرياضي هو نتيجة إضافة جميع النتائج الممكنة مضروبة في الاحتمالات المقابلة. من المهم أن نفهم أن القيمة الناتجة ، وكذلك نتيجة حساب التباين ، يتم الحصول عليها مرة واحدة فقط للمهمة بأكملها ، بغض النظر عن عدد النتائج التي تعتبرها.
صيغة التوقع بسيطة للغاية: نأخذ نتيجة ، ونضربها في احتمالية ، ونضيفها للنتيجة الثانية ، والثالثة ، وما إلى ذلك. كل ما يتعلق بهذا المفهوم سهل الحساب. على سبيل المثال ، مجموع التوقعات الرياضية يساوي التوقع الرياضي للمبلغ. نفس الشيء صحيح بالنسبة للعمل. لا تسمح كل كمية في نظرية الاحتمالات بإجراء مثل هذه العمليات البسيطة. لنأخذ مهمة ونحسب قيمة مفهومين درسناهما في وقت واحد. بالإضافة إلى ذلك ، انشغلنا بالنظرية - حان وقت الممارسة.
مثال آخر
أجرينا 50 تجربة وحصلنا على 10 أنواع من النتائج - أرقام من 0 إلى 9 - تظهر بنسب مختلفة. هذه هي على التوالي: 2٪ ، 10٪ ، 4٪ ، 14٪ ، 2٪ ، 18٪ ، 6٪ ، 16٪ ، 10٪ ، 18٪. تذكر أنه للحصول على الاحتمالات ، عليك قسمة قيم النسبة المئوية على 100. وهكذا ، نحصل على 0.02 ؛ 0 ، 1 ، إلخ. دعونا نمثل تباين عشوائيمثال على القيمة والتوقع الرياضي لحل المشكلة
احسب المتوسط الحسابي باستخدام الصيغة التي نتذكرها من المدرسة الابتدائية: 50/10=5.
الآن دعونا نترجم الاحتمالات إلى عدد من النتائج "على شكل أجزاء" لتسهيل العد. نحصل على 1 و 5 و 2 و 7 و 1 و 9 و 3 و 8 و 5 و 9. قم بطرح المتوسط الحسابي من كل قيمة تم الحصول عليها ، وبعد ذلك نقوم بتربيع كل من النتائج التي تم الحصول عليها. شاهد كيفية القيام بذلك باستخدام العنصر الأول كمثال: 1-5=(-4). علاوة على ذلك: (-4)(-4)=16. للقيم الأخرى ، قم بهذه العمليات بنفسك. إذا فعلت كل شيء بشكل صحيح ، فستحصل على 90 بعد إضافة جميع النتائج الوسيطة.
استمر في حساب التباين والمتوسط بقسمة 90 على N. لماذا نختار N وليس N-1؟ هذا صحيح ، لأن عدد التجارب التي تم إجراؤها يتجاوز 30 تجربة. إذن: 90/10=9. حصلنا على التشتت. إذا حصلت على رقم مختلف ، فلا تيأس. على الأرجح ، لقد ارتكبت خطأ عاديًا في الحسابات. تحقق جيدًا مما كتبته ، وستجد كل شيء في مكانه بالتأكيد.
أخيرًا ، لنتذكر صيغة التوقع. لن نقدم جميع الحسابات ، سنكتب فقط الإجابة التي يمكنك التحقق من خلالها بعد الانتهاء من جميع الإجراءات المطلوبة. سيكون التوقع مساويًا لـ 48 ، 5. نتذكر فقط كيفية تنفيذ العمليات ، باستخدام مثال العناصر الأولى: 00 ، 02 + 10 ، 1 … وهكذا. كما ترى ، نقوم ببساطة بضرب قيمة النتيجة في احتمالها.
الانحراف
مفهوم آخر وثيق الصلة بالتباين والقيمة المتوقعة هوالانحراف المعياري. يُشار إليه إما بالحروف اللاتينية sd أو بالحروف اليونانية الصغيرة "سيجما". يوضح هذا المفهوم كيف تنحرف القيم ، في المتوسط ، عن السمة المركزية. للعثور على قيمتها ، تحتاج إلى حساب الجذر التربيعي للتباين.
إذا قمت بإنشاء رسم بياني لتوزيع عادي وتريد أن ترى قيمة الانحراف المعياري مباشرة عليه ، فيمكن القيام بذلك على عدة مراحل. خذ نصف الصورة إلى يسار أو يمين الوضع (القيمة المركزية) ، ارسم عموديًا على المحور الأفقي بحيث تكون مساحات الأشكال الناتجة متساوية. ستكون قيمة المقطع بين منتصف التوزيع والإسقاط الناتج على المحور الأفقي هي الانحراف المعياري.
برنامج
كما ترى من أوصاف الصيغ والأمثلة المقدمة ، فإن حساب التباين والتوقع الرياضي ليس أسهل إجراء من وجهة نظر حسابية. من أجل عدم إضاعة الوقت ، من المنطقي استخدام البرنامج المستخدم في التعليم العالي - ويسمى "R". لديها وظائف تسمح لك بحساب القيم للعديد من المفاهيم من الإحصاءات ونظرية الاحتمالات.
على سبيل المثال ، يمكنك تحديد متجه من القيم. يتم ذلك على النحو التالي: المتجه <-c (1 ، 5 ، 2 …). الآن ، عندما تحتاج إلى حساب بعض القيم لهذا المتجه ، تكتب دالة وتعطيها كوسيطة. للعثور على التباين ، ستحتاج إلى استخدام var. مثال لهاالاستعمال: var (ناقل). ثم تضغط فقط على "دخول" وتحصل على النتيجة.
في الختام
التباين والتوقع الرياضي هما المفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات ، والتي بدونها يصعب حساب أي شيء في المستقبل. في الدورة الرئيسية للمحاضرات في الجامعات ، يتم اعتبارها بالفعل في الأشهر الأولى من دراسة الموضوع. وبسبب عدم فهم هذه المفاهيم البسيطة وعدم القدرة على حسابها على وجه التحديد ، يبدأ العديد من الطلاب على الفور في التخلف عن البرنامج ويتلقون لاحقًا درجات ضعيفة في نهاية الجلسة ، مما يحرمهم من المنح الدراسية.
تمرن على الأقل أسبوعًا لمدة نصف ساعة يوميًا ، وحل المشكلات المشابهة لتلك المعروضة في هذه المقالة. ثم في أي اختبار نظرية احتمالية سوف تتعامل مع أمثلة بدون نصائح غريبة وأوراق الغش.
