تم اكتشاف المصفوفات والمحددات في القرنين الثامن عشر والتاسع عشر. في البداية ، كان تطورهم يتعلق بتحويل الأشياء الهندسية وحل أنظمة المعادلات الخطية. تاريخيا ، كان التركيز المبكر على المحدد. في طرق معالجة الجبر الخطي الحديثة ، تعتبر المصفوفات أولاً. يجدر التفكير في هذا السؤال لبعض الوقت
إجابات من هذا المجال من المعرفة
توفر المصفوفات طريقة مفيدة نظريًا وعمليًا لحل العديد من المشكلات ، مثل:
- أنظمة المعادلات الخطية ؛
- توازن المواد الصلبة (في الفيزياء) ؛
- نظرية الرسم البياني
- نموذج Leontief الاقتصادي ؛
- غابات ؛
- رسومات الحاسوب والتصوير المقطعي ؛
- علم الوراثة ؛
- تشفير ؛
- شبكات كهرباء
- كسورية.
في الواقع ، جبر المصفوفة لـ "الدمى" له تعريف مبسط. يتم التعبير عنها على النحو التالي: هذا مجال علمي للمعرفة فيهيتم دراسة القيم المعنية وتحليلها واستكشافها بالكامل. في هذا القسم من الجبر ، تمت دراسة العمليات المختلفة على المصفوفات قيد الدراسة.
كيفية التعامل مع المصفوفات
تعتبر هذه القيم متساوية إذا كانت لها نفس الأبعاد وكان كل عنصر في أحدهما مساويًا للعنصر المقابل للعنصر الآخر. من الممكن ضرب مصفوفة بأي ثابت. هذا المعطى يسمى الضرب العددي. مثال: 2=[1234]=[2⋅12⋅32⋅22⋅4]=[2468].
يمكن إضافة وطرح مصفوفات من نفس الحجم بواسطة المدخلات ، ويمكن مضاعفة قيم الأحجام المتوافقة. مثال: أضف اثنين أ وب: أ=[21−10] ب=[1423]. هذا ممكن لأن كل من A و B مصفوفتان تحتويان على صفين ونفس عدد الأعمدة. من الضروري إضافة كل عنصر في A إلى العنصر المقابل في B: A + B=[2 + 11 + 2−1 + 40 + 3]=[3333]. المصفوفات تطرح بنفس الطريقة في الجبر
يعمل ضرب المصفوفة بشكل مختلف قليلاً. علاوة على ذلك ، يمكن أن يكون هناك العديد من الحالات والخيارات ، وكذلك الحلول. إذا ضربنا المصفوفة Apq و Bmn ، فإن المنتج Ap × q + Bm × n=[AB] p × n. الإدخال في الصف g والعمود hth من AB هو مجموع حاصل ضرب الإدخالات المقابلة في g A و h B. ومن الممكن فقط مضاعفة مصفوفتين إذا كان عدد الأعمدة في الأول والصفوف في الثانية متساوية. مثال: استيفاء شرط النظر في أ و ب: أ=[1−130] ب=[2−11214]. هذا ممكن لأن المصفوفة الأولى تحتوي على عمودين والثانية تحتوي على صفين. AB=[1⋅2 + 3⋅ − 1−1⋅2 + 0⋅ − 11⋅1 + 3⋅2−1⋅1 + 0⋅21⋅1 + 3⋅4−1⋅1 + 0⋅4]=[−1−27−113−1].
معلومات أساسية عن المصفوفات
القيم المعنية تنظم المعلومات مثل المتغيرات والثوابت وتخزنها في صفوف وأعمدة ، تسمى عادة ج. كل موضع في المصفوفة يسمى عنصر. مثال: C=[1234]. يتكون من صفين وعمودين. العنصر 4 موجود في الصف 2 والعمود 2. يمكنك عادة تسمية مصفوفة بعد أبعادها ، المصفوفة Cmk بها صفوف m وأعمدة k.
مصفوفات موسعة
الاعتبارات هي أشياء مفيدة للغاية تظهر في العديد من مجالات التطبيق المختلفة. استندت المصفوفات في الأصل إلى أنظمة المعادلات الخطية. بالنظر إلى الهيكل التالي من عدم المساواة ، يجب أن تؤخذ المصفوفة التكميلية التالية في الاعتبار:
2x + 3y - z=6
–x - ص - ض=9
x + y + 6z=0.
اكتب المعاملات وقيم الإجابة ، بما في ذلك جميع علامات الطرح. إذا كان العنصر برقم سالب ، فسيكون مساويًا لـ "1". أي ، في ضوء نظام المعادلات (الخطية) ، من الممكن ربط مصفوفة (شبكة من الأرقام داخل أقواس) بها. إنه المعامل الذي يحتوي فقط على معاملات النظام الخطي. وهذا ما يسمى "المصفوفة الموسعة". الشبكة التي تحتوي على المعاملات من الجانب الأيسر لكل معادلة "مبطنة" بالإجابات من الجانب الأيمن لكل معادلة.
السجلات ، هذا هوتتوافق قيم B للمصفوفة مع قيم x و y و z في النظام الأصلي. إذا تم ترتيبه بشكل صحيح ، فعليك أولاً التحقق منه. تحتاج أحيانًا إلى إعادة ترتيب المصطلحات أو إدخال الأصفار كعناصر نائبة في المصفوفة التي تتم دراستها أو دراستها.
بالنظر إلى نظام المعادلات التالي ، يمكننا كتابة المصفوفة المعززة المرتبطة على الفور:
س + ص=0
y + z=3
ض - س=2.
أولاً ، تأكد من إعادة ترتيب النظام على النحو التالي:
س + ص=0
y + z=3
–x + z=2.
ثم يمكن كتابة المصفوفة المصاحبة على النحو التالي: [11000113-1012]. عند تكوين واحد ممتد ، يجدر استخدام الصفر لأي سجل تكون فيه النقطة المقابلة في نظام المعادلات الخطية فارغة.
جبر المصفوفة: خصائص العمليات
إذا كان من الضروري تكوين العناصر من قيم المعامل فقط ، فإن القيمة المدروسة ستبدو كما يلي: [110011-101]. وهذا ما يسمى "مصفوفة المعامل".
مع الأخذ في الاعتبار جبر المصفوفة الممتد التالي ، من الضروري تحسينه وإضافة النظام الخطي المرتبط به. ومع ذلك ، من المهم أن تتذكر أنها تتطلب أن تكون المتغيرات مرتبة ومرتبة جيدًا. وعادةً عندما يكون هناك ثلاثة متغيرات ، استخدم x و y و z بهذا الترتيب. لذلك ، يجب أن يكون النظام الخطي المرتبط:
س + 3 ص=4
2y - z=5
3x + z=-2.
حجم المصفوفة
غالبًا ما يشار إلى العناصر المعنية من خلال أدائها. يتم إعطاء حجم المصفوفة في الجبر كـالقياسات ، حيث يمكن استدعاء الغرفة بشكل مختلف. المقاييس المقاسة للقيم هي الصفوف والأعمدة ، وليست العرض والطول. على سبيل المثال ، المصفوفة أ:
[1234]
[2345]
[3456].
بما أن A بها ثلاثة صفوف وأربعة أعمدة ، فإن حجم A هو 3 × 4.
→
↓
خطوط تسير بشكل جانبي. الأعمدة ترتفع وتنخفض. يعتبر "الصف" و "العمود" مواصفات ولا يمكن استبدالهما. يتم تحديد أحجام المصفوفة دائمًا بعدد الصفوف ثم عدد الأعمدة. بعد هذه الاتفاقية ، ما يلي ب:
[123]
[234] هي 2 × 3. إذا كانت المصفوفة تحتوي على نفس عدد الصفوف مثل الأعمدة ، فإنها تسمى "مربع". على سبيل المثال ، قيم المعامل من الأعلى:
[110]
[011]
[- 101] مصفوفة مربعة 3 × 3.
تدوين المصفوفة والتنسيق
تنسيق ملاحظة: على سبيل المثال ، عندما تحتاج إلى كتابة مصفوفة ، من المهم استخدام الأقواس . أشرطة القيمة المطلقة || لا تُستخدم لأن لها اتجاهًا مختلفًا في هذا السياق. لا يتم استخدام الأقواس أو الأقواس المتعرجة {} مطلقًا. أو رمز تجميع آخر ، أو لا شيء على الإطلاق ، لأن هذه العروض ليس لها أي معنى. في الجبر ، تكون المصفوفة دائمًا داخل أقواس مربعة. يجب استخدام الترميز الصحيح فقط ، أو يمكن اعتبار الردود مشوهة.
كما ذكرنا سابقًا ، تسمى القيم الموجودة في المصفوفة السجلات. لأي سبب من الأسباب ، عادة ما يتم كتابة العناصر المعنيةيتم تحديد الأحرف الكبيرة ، مثل A أو B ، والإدخالات باستخدام الأحرف الصغيرة المقابلة ، ولكن مع الأحرف المنخفضة. في المصفوفة A ، تسمى القيم عادةً "ai ، j" ، حيث i هي صف A و j عمود A. على سبيل المثال ، a3 ، 2=8. إدخال a1 ، 3 هو 3.
بالنسبة للمصفوفات الأصغر ، تلك التي تحتوي على أقل من عشرة صفوف وأعمدة ، يتم أحيانًا حذف الفاصلة المنخفضة. على سبيل المثال ، يمكن كتابة "a1، 3=3" كـ "a13=3". من الواضح أن هذا لن يعمل مع المصفوفات الكبيرة لأن a213 سيكون غامضًا.
أنواع المصفوفات
يتم تصنيفها أحيانًا وفقًا لتكوينات السجل الخاصة بهم. على سبيل المثال ، تسمى مثل هذه المصفوفة التي تحتوي على جميع المدخلات الصفرية أسفل القطر العلوي - الأيسر - السفلي - الأيمن "المائل" بالمثلث العلوي. من بين أشياء أخرى ، قد تكون هناك أنواع وأنواع أخرى ، لكنها ليست مفيدة جدًا. بشكل عام ، يُنظر إليها في الغالب على أنها مثلث علوي. تسمى القيم ذات الأس غير الصفرية أفقياً فقط بالقيم القطرية. الأنواع المماثلة لها إدخالات غير صفرية حيث تكون جميعها 1 ، وتسمى هذه الإجابات متطابقة (لأسباب ستتضح عندما يتم تعلمها وفهمها كيفية مضاعفة القيم المعنية). هناك العديد من مؤشرات البحث المماثلة. يتم الإشارة إلى هوية 3 × 3 بواسطة I3. وبالمثل ، فإن هوية 4 × 4 هي I4.
مصفوفة الجبر والمسافات الخطية
لاحظ أن المصفوفات المثلثية مربعة. لكن الأقطار مثلثة. في ضوء هذا ، همميدان. والهويات تعتبر قطرية ، وبالتالي ، مثلثة ومربعة. عندما يكون مطلوبًا لوصف مصفوفة ، فعادةً ما يحدد المرء ببساطة التصنيف الأكثر تحديدًا ، لأن هذا يعني ضمنيًا جميع المصفوفات الأخرى. صنف خيارات البحث التالية:كـ 3 × 4. في هذه الحالة ، لا تكون مربعة. لذلك ، لا يمكن أن تكون القيم أي شيء آخر. التصنيف التالي:ممكن على شكل 3 × 3. لكنه يعتبر مربعًا ، ولا يوجد شيء مميز فيه. تصنيف البيانات التالية:3 × 3 مثلث علوي ، لكنها ليست قطرية. صحيح ، في القيم قيد النظر قد تكون هناك أصفار إضافية فوق أو فوق المساحة المحددة والمشار إليها. التصنيف قيد الدراسة أيضًا:، حيث يتم تمثيله كقطري ، وعلاوة على ذلك ، فإن الإدخالات كلها 1. ثم هذه هوية 3 × 3 I3.
نظرًا لأن المصفوفات المماثلة هي بحكم تعريفها مربعة ، فأنت تحتاج فقط إلى استخدام فهرس واحد للعثور على أبعادها. لكي تتساوى مصفوفتان ، يجب أن يكون لهما نفس المعامل وأن يكون لهما نفس المدخلات في نفس الأماكن. على سبيل المثال ، افترض أن هناك عنصرين قيد الدراسة: A=[1 3 0] [-2 0 0] و B=[1 3] [-2 0]. لا يمكن أن تكون هذه القيم هي نفسها لأنها مختلفة في الحجم.
حتى إذا كان A و B: A=[3 6] [2 5] [1 4] و B=[1 2 3] [4 5 6] - لا يزالان مختلفين نفس الشيء. A و B لكل منهماستة إدخالات ولها نفس الأرقام أيضًا ، لكن هذا لا يكفي للمصفوفات. A تساوي 3 × 2 ، و B هي مصفوفة 2 × 3 ، و A لـ 3 × 2 ليست 2 × 3 ، ولا يهم إذا كان A و B لهما نفس كمية البيانات أو حتى نفس أرقام السجلات. إذا لم يكن A و B من نفس الحجم والشكل ، لكن لهما قيم متطابقة في أماكن متشابهة ، فهما غير متساويين.
عمليات مماثلة في المنطقة قيد النظر
يمكن تحويل خاصية مساواة المصفوفة هذه إلى مهام للبحث المستقل. على سبيل المثال ، يتم إعطاء مصفوفتين ، ويشار إلى أنهما متساويتان. في هذه الحالة ، ستحتاج إلى استخدام هذه المساواة لاستكشاف والحصول على إجابات لقيم المتغيرات.
يمكن أن تتنوع أمثلة وحلول المصفوفات في الجبر ، خاصة عندما يتعلق الأمر بالمساواة. بالنظر إلى أن المصفوفات التالية مأخوذة في الاعتبار ، فمن الضروري إيجاد قيمتي x و y. لكي يتساوى A و B ، يجب أن يكون لهما نفس الحجم والشكل. في الواقع ، هم كذلك ، لأن كل واحد منهم عبارة عن مصفوفتين 2 × 2. ويجب أن يكون لديهم نفس القيم في نفس الأماكن. ثم يجب أن يساوي a1 ، 1 b1 ، ويجب أن يساوي a1 ، 2 ، b1 ، 2 ، وهكذا). لكن من الواضح أن a1 ، 1=1 لا تساوي b1 ، 1=x. لكي يكون A متطابقًا مع B ، يجب أن يحتوي الإدخال على a1 ، 1=b1 ، 1 ، لذلك يمكن أن يكون 1=x. وبالمثل ، فإن المؤشرات a2 ، 2=b2 ، 2 ، أي 4=y. ثم يكون الحل هو: x=1 ، y=4. إذا كان ما يلي هو:المصفوفات متساوية ، تحتاج إلى إيجاد قيم x و y و z. للحصول على أ=ب ، يجب أن تكون جميع المعامِلات متساوية. أي ، a1 ، 1=b1 ، 1 ، a1 ، 2=b1 ، 2 ، a2 ، 1=b2 ، 1 وهكذا. على وجه الخصوص ، يجب:
4=س
-2=ص + 4
3=z / 3.
كما ترى من المصفوفات المحددة: مع 1 ، 1 ، 2 ، 2 و 3 ، 1-العناصر. لحل هذه المعادلات الثلاث ، نحصل على الإجابة: x=4 ، y=-6 و z=9. تختلف عمليات جبر المصفوفة وعمليات المصفوفة عما اعتاد عليه الجميع ، لكنها غير قابلة للتكرار.
معلومات إضافية في هذا المجال
جبر المصفوفة الخطية هو دراسة مجموعات متشابهة من المعادلات وخصائص تحويلها. يتيح لك مجال المعرفة هذا تحليل الدوران في الفضاء وتقريب المربعات الصغرى وحل المعادلات التفاضلية المرتبطة وتحديد دائرة تمر عبر ثلاث نقاط معينة وحل العديد من المشكلات الأخرى في الرياضيات والفيزياء والتكنولوجيا. الجبر الخطي للمصفوفة ليس في الحقيقة المعنى التقني للكلمة المستخدمة ، أي ، فضاء متجه v فوق حقل f ، إلخ.
المصفوفة والمحدد من أدوات الجبر الخطي مفيدة للغاية. إحدى المهام المركزية هي حل معادلة المصفوفة Ax=b ، من أجل x. على الرغم من أنه يمكن حل هذا نظريًا باستخدام معكوس x=A-1b. الطرق الأخرى ، مثل إزالة Gaussian ، أكثر موثوقية عدديًا.
بالإضافة إلى استخدامها لوصف دراسة المجموعات الخطية من المعادلات المحددةيستخدم المصطلح أعلاه أيضًا لوصف نوع معين من الجبر. على وجه الخصوص ، L على حقل F له هيكل الحلقة مع جميع البديهيات المعتادة للجمع والضرب الداخليين ، جنبًا إلى جنب مع قوانين التوزيع. لذلك ، فهو يعطيها بنية أكثر من الحلقة. يسمح جبر المصفوفة الخطية أيضًا بإجراء عملية خارجية للضرب بواسطة العددية التي هي عناصر من الحقل الأساسي F. على سبيل المثال ، يتم تشكيل مجموعة جميع التحولات المدروسة من فضاء متجه V إلى نفسه عبر حقل F على F. مثال آخر على الخطي الجبر هو مجموعة من جميع المصفوفات المربعة الحقيقية على حقل R أرقام حقيقية.
