اللوغاريتمات: أمثلة وحلول

2024 مؤلف: Angel Austin | [email protected]. آخر تعديل: 2024-01-02 17:40

كما تعلم ، عند ضرب التعبيرات بالقدرات ، دائمًا ما يتم إضافة الأس (a^b a^c=a^{b + ج). اشتق أرخميدس هذا القانون الرياضي ، وفي وقت لاحق ، في القرن الثامن ، أنشأ عالم الرياضيات فيراسن جدولًا لمؤشرات الأعداد الصحيحة. كانوا هم الذين خدموا لمزيد من اكتشاف اللوغاريتمات. يمكن العثور على أمثلة لاستخدام هذه الوظيفة في كل مكان تقريبًا حيث يلزم تبسيط الضرب المرهق إلى عملية الجمع البسيطة. إذا أمضيت 10 دقائق في قراءة هذا المقال ، فسنشرح لك ماهية اللوغاريتمات وكيفية التعامل معها. لغة بسيطة ويمكن الوصول إليها.}

تعريف في الرياضيات

اللوغاريتم هو تعبير عن النموذج التالي: log_ab=c c "حيث تحتاج إلى رفع القاعدة" a "من أجل الحصول على القيمة في النهاية" ب". دعنا نحلل اللوغاريتم باستخدام الأمثلة ، دعنا نقول أن هناك تعبير سجل_{28. كيف تجد الجواب؟ الأمر بسيط للغاية ، فأنت بحاجة إلى العثور على الدرجة التي تحصل عليها من 2 إلى الدرجة المطلوبة 8. وبعد إجراء بعض الحسابات في ذهنك ، نحصل على الرقم 3! وهذا صحيح لأن2 مرفوعة إلى أس 3 تعطي الإجابة 8.}

أنواع مختلفة من اللوغاريتمات

بالنسبة للعديد من التلاميذ والطلاب ، يبدو هذا الموضوع معقدًا وغير مفهوم ، ولكن في الواقع ، اللوغاريتمات ليست مخيفة جدًا ، والشيء الرئيسي هو فهم معناها العام وتذكر خصائصها وبعض القواعد. هناك ثلاثة أنواع منفصلة من التعبيرات اللوغاريتمية:

1. اللوغاريتم الطبيعي ln a ، حيث الأساس هو رقم أويلر (e=2، 7).
2. اللوغاريتم العشري lg a حيث الأساس هو الرقم 10.
3. لوغاريتم أي رقم ب للقاعدة a>1.

يتم حل كل منها بطريقة قياسية ، بما في ذلك التبسيط والاختزال والاختزال اللاحق إلى لوغاريتم واحد باستخدام النظريات اللوغاريتمية. للحصول على القيم الصحيحة للوغاريتمات ، يجب على المرء أن يتذكر خصائصها وترتيب الإجراءات في حلها.

القواعد وبعض القيود

في الرياضيات ، هناك العديد من قيود القواعد المقبولة كبديهية ، أي أنها غير قابلة للتفاوض وهي صحيحة. على سبيل المثال ، من المستحيل قسمة الأرقام على صفر ، كما أنه من المستحيل أخذ جذر زوجي من الأرقام السالبة. تحتوي اللوغاريتمات أيضًا على قواعدها الخاصة ، والتي يمكنك بعدها بسهولة معرفة كيفية العمل حتى مع التعبيرات اللوغاريتمية الطويلة والواسعة:

• يجب أن تكون قاعدة "a" دائمًا أكبر من الصفر ، وفي نفس الوقت لا تساوي 1 ، وإلا فإن التعبير سيفقد معناه ، لأن "1" و "0" لأي درجة دائمًا يساوي قيمهم ؛
• إذا كان > 0 ، ثم أب>0 ،اتضح أن "c" يجب أن تكون أكبر من الصفر أيضًا.

كيفية حل اللوغاريتمات

على سبيل المثال ، بالنظر إلى مهمة العثور على إجابة المعادلة 10^x=100. إنه سهل للغاية ، تحتاج إلى اختيار مثل هذه القوة ، ورفع الرقم عشرة ، نحن الحصول على 100. هذا ، بالطبع حسنًا ، القوة التربيعية! 10^2=100.

الآن دعونا نمثل هذا التعبير على أنه لوغاريتمي. نحصل على log_{10100=2. عند حل اللوغاريتمات ، تتقارب جميع الإجراءات عمليًا لإيجاد القوة التي يجب إدخال قاعدة اللوغاريتم إليها للحصول على رقم معين.}

لتحديد قيمة الدرجة غير المعروفة بدقة ، تحتاج إلى معرفة كيفية التعامل مع جدول الدرجة. يبدو كالتالي:

كما ترى ، يمكن تخمين بعض الأسس بشكل حدسي إذا كان لديك عقلية تقنية ومعرفة بجدول الضرب. ومع ذلك ، ستتطلب القيم الأكبر جدول طاقة. يمكن استخدامه حتى من قبل أولئك الذين لا يفهمون أي شيء على الإطلاق في الموضوعات الرياضية المعقدة. يحتوي العمود الأيسر على أرقام (القاعدة أ) ، والصف العلوي من الأرقام هو قيمة القوة ج ، التي يرتفع إليها الرقم أ. عند التقاطع ، تحدد الخلايا قيم الأرقام التي تمثل الإجابة (أج=ب). لنأخذ ، على سبيل المثال ، الخلية الأولى التي تحتوي على الرقم 10 وتربيعها ، نحصل على القيمة 100 ، والتي يشار إليها عند تقاطع خليتينا. كل شيء في غاية البساطة والسهولة لدرجة أن حتى أكثر دعاة إنسانية واقعية سيفهمونه!

المعادلات وعدم المساواة

اتضح أنه متىفي ظل ظروف معينة ، يكون الأس هو اللوغاريتم. لذلك ، يمكن كتابة أي تعبيرات عددية رياضية كمعادلة لوغاريتمية. على سبيل المثال ، يمكن كتابة 3⁴=81 كلوغاريتم 81 إلى الأساس 3 ، وهو أربعة (log₃81=4). بالنسبة للدرجات السالبة ، القواعد هي نفسها: 2^-5=1/32 مكتوبة كلوغاريتم ، نحصل على السجل_{2(1/32)=-5. يعد موضوع "اللوغاريتمات" أحد أكثر أقسام الرياضيات روعة. سننظر في أمثلة وحلول للمعادلات أقل قليلاً ، فور دراسة خصائصها. في الوقت الحالي ، لنلقِ نظرة على شكل المتباينات وكيفية تمييزها عن المعادلات.}

التعبير التالي معطى: log_{2(x-1) > 3 - إنها متباينة لوغاريتمية ، لأن القيمة غير المعروفة "x" تقع تحت علامة اللوغاريتم. يقارن التعبير أيضًا بين قيمتين: اللوغاريتم الأساسي للعدد المطلوب أكبر من الرقم الثالث.}

أهم فرق بين المعادلات اللوغاريتمية والمتباينات هو أن المعادلات ذات اللوغاريتمات (مثال - اللوغاريتم₂x=√9) _{تدل على في الإجابة واحدة أو أكثر من القيم العددية المحددة ، بينما عند حل متباينة ، يتم تحديد كل من نطاق القيم المقبولة ونقاط توقف هذه الدالة. نتيجة لذلك ، فإن الإجابة ليست مجموعة بسيطة من الأرقام الفردية ، كما في إجابة المعادلة ، ولكن سلسلة متصلة أو مجموعة من الأرقام.}

النظريات الأساسية في اللوغاريتمات

عند حل المهام البدائية للعثور على قيم اللوغاريتم ، قد لا تعرف خصائصه. ومع ذلك ، عندما يتعلق الأمر بالمعادلات اللوغاريتمية أو عدم المساواة ، فمن الضروري أولاً أن نفهم بوضوح وتطبيق جميع الخصائص الأساسية للوغاريتمات في الممارسة العملية. سنتعرف على أمثلة المعادلات لاحقًا ، دعنا أولاً نحلل كل خاصية بمزيد من التفصيل.

1. الهوية الأساسية تبدو كما يلي: alogaB=B. يتم تطبيقه فقط إذا كانت a أكبر من 0 ، ولا تساوي واحدًا ، و B أكبر من صفر.
2. يمكن تمثيل لوغاريتم المنتج بالصيغة التالية: log_d(s₁ s_2)=logd_s1_{+ log}d_s2._{في هذه الحالة ، الشرط الإلزامي هو: d، s}1_{and s}2_{> 0 ؛ أ ≠ 1. يمكنك تقديم دليل على صيغة اللوغاريتمات هذه ، مع أمثلة وحل. دع السجل}a_s1_=f1_وسجلa_s2_=f2_{، ثم}f1^=s1_{، a}f2^=s2._{نحصل على ذلك}1 _s2_=af1 ^af2^=af1 + f2^{(خصائص الدرجة) ، وكذلك بالتعريف: log}a_(s1 _s2 _)=f1_{+ f}2_=السجلa_{s1 + log}a_s2،_{الذي كان من المقرر إثباته.}
3. يبدو لوغاريتم الحاصل كما يلي: log_a(s_{1 /}s₂)=السجل_as₁- السجل_as_2.
4. النظرية في شكل صيغة تأخذ الشكل التالي: log_a^qبⁿ=n / q سجل_ab.

تسمى هذه الصيغة "خاصية درجة اللوغاريتم". إنها تشبه خصائص الدرجات العادية ، وهذا ليس مفاجئًا ، لأن كل الرياضيات تقوم على افتراضات منتظمة. لنلق نظرة على الدليل

دع السجل_ab=t ، نحصل على^t=ب. إذا قمت برفع كلا الجانبين إلى القوة m: a^tn=b ^؛

لكن بسبب^tn=(a^q)^{nt / q}=b^{، ومن ثم سجل}aq _bn=(nt) / t ، ثم سجل^a_q b_n=n / q السجل^aب. أثبتت النظرية.

أمثلة على المشاكل وعدم المساواة

أكثر أنواع مسائل اللوغاريتم شيوعًا هي أمثلة على المعادلات والمتباينات. تم العثور عليها في جميع الكتب المشكلة تقريبًا ، وهي مدرجة أيضًا في الجزء الإلزامي من امتحانات الرياضيات. لدخول الجامعة أو اجتياز اختبارات القبول في الرياضيات ، عليك أن تعرف كيفية حل هذه المشكلات بشكل صحيح.

لسوء الحظ ، لا توجد خطة أو مخطط واحد لحل وتحديد القيمة غير المعروفة للوغاريتم ، ولكن يمكن تطبيق قواعد معينة على كل متباينة رياضية أو معادلة لوغاريتمية. أولًا ، يجب أن تعرف ما إذا كان التعبير يمكن تبسيطه أو تصغيره إلى صورة عامة. يمكنك تبسيط التعابير اللوغاريتمية الطويلة إذا كنت تستخدم خصائصها بشكل صحيح. دعنا نتعرف عليهم قريبا

عند حل المعادلات اللوغاريتمية ،من الضروري تحديد نوع اللوغاريتم الموجود أمامنا: مثال على تعبير قد يحتوي على لوغاريتم طبيعي أو واحد عشري.

فيما يلي أمثلة على اللوغاريتمات العشرية: ln100 ، ln1026. يتلخص حلهم في حقيقة أنك بحاجة إلى تحديد الدرجة التي سيكون عندها الأساس 10 مساويًا لـ 100 و 1026 على التوالي. للحصول على حلول اللوغاريتمات الطبيعية ، يجب على المرء تطبيق الهويات اللوغاريتمية أو خصائصها. لنلقِ نظرة على أمثلة لحل المسائل اللوغاريتمية بمختلف أنواعها.

كيفية استخدام صيغ اللوغاريتم: مع الأمثلة والحلول

إذن ، دعونا نلقي نظرة على أمثلة لاستخدام النظريات الرئيسية حول اللوغاريتمات.

1. يمكن استخدام خاصية لوغاريتم المنتج في المهام حيث يكون من الضروري تحليل قيمة كبيرة للرقم ب إلى عوامل أبسط. على سبيل المثال ، سجل₂4 + السجل₂128=السجل₂(4128)=السجل_{2512. الجواب 9.}
2. log₄8=log_2²2³=3/2 السجل_{22=1 ، 5 - كما ترون ، من خلال تطبيق الخاصية الرابعة لدرجة اللوغاريتم ، تمكنا من حلها للوهلة الأولى تعبير معقد وغير قابل للحل. كل ما عليك فعله هو تحليل القاعدة ثم إخراج القوة من علامة اللوغاريتم.}

مهام من الامتحان

اللوغاريتمات غالبًا ما توجد في امتحانات القبول ، خاصةً الكثير من المشكلات اللوغاريتمية في امتحان الدولة الموحد (امتحان الدولة لجميع خريجي المدارس). عادة ما تكون هذه المهام موجودة ليس فقط في الجزء أ (أكثرمن السهل اختبار جزء من الامتحان) ، ولكن أيضًا في الجزء ج (المهام الأكثر صعوبة وضخامة). يتطلب الاختبار معرفة دقيقة وكاملة بموضوع "اللوغاريتمات الطبيعية".

الأمثلة وحلول المشكلات مأخوذة من النسخ الرسمية للامتحان. دعونا نرى كيف يتم حل هذه المهام

نظرًا لأن السجل₂(2x-1)=4. الحل:

أعد كتابة التعبير ، وقم بتبسيطه قليلاً log_{2 (2x-1)=2}2^{، من خلال تعريف اللوغاريتم نحصل على 2x-1=2}4^{، وبالتالي 2x=17 ؛ س=8 ، 5.}

باتباع بعض الإرشادات ، والتي يمكنك اتباعها بسهولة حل جميع المعادلات التي تحتوي على تعبيرات تحت علامة اللوغاريتم.

• من الأفضل اختزال كل اللوغاريتمات إلى نفس القاعدة بحيث لا يكون الحل مرهقًا ومربكًا.
• يشار إلى جميع التعبيرات الموجودة تحت علامة اللوغاريتم على أنها موجبة ، لذلك عند ضرب أس التعبير الموجود أسفل علامة اللوغاريتم وكقاعدة له ، يجب أن يكون التعبير المتبقي تحت اللوغاريتم موجبًا.