المصفوفة هي كائن خاص في الرياضيات. تم تصويره على شكل جدول مستطيل أو مربع ، يتكون من عدد معين من الصفوف والأعمدة. في الرياضيات ، هناك مجموعة متنوعة من أنواع المصفوفات ، تختلف في الحجم أو المحتوى. تسمى أرقام صفوفها وأعمدتها بالأوامر. تُستخدم هذه الكائنات في الرياضيات لتنظيم كتابة أنظمة المعادلات الخطية والبحث عن نتائجها بسهولة. يتم حل المعادلات باستخدام مصفوفة باستخدام طريقة Carl Gauss و Gabriel Cramer والإضافات الثانوية والجبرية والعديد من الطرق الأخرى. المهارة الأساسية عند العمل مع المصفوفات هي إحضارها إلى النموذج القياسي. ومع ذلك ، أولاً ، دعنا نتعرف على أنواع المصفوفات التي يميزها علماء الرياضيات.
نوع فارغ
جميع مكونات هذا النوع من المصفوفات هي أصفار. وفي الوقت نفسه ، فإن عدد صفوفه وأعمدته مختلف تمامًا.
نوع مربع
عدد الأعمدة والصفوف لهذا النوع من المصفوفات هو نفسه. بمعنى آخر ، إنه جدول شكل "مربع". يسمى عدد أعمدته (أو صفوفه) بالترتيب. الحالات الخاصة هي وجود مصفوفة من الرتبة الثانية (مصفوفة 2x2) ، المرتبة الرابعة (4x4) ، العاشر (10x10) ، السابع عشر (17x17) وهكذا.
ناقل العمود
هذا أحد أبسط أنواع المصفوفات ، ويحتوي على عمود واحد فقط ، والذي يتضمن ثلاث قيم عددية. يمثل سلسلة من المصطلحات المجانية (أرقام مستقلة عن المتغيرات) في أنظمة المعادلات الخطية.
متجه الصف
عرض مشابه للسابق. يتكون من ثلاثة عناصر عددية مرتبة في سطر واحد.
نوع قطري
فقط مكونات القطر الرئيسي (المظللة باللون الأخضر) تأخذ قيمًا رقمية في الشكل القطري للمصفوفة. يبدأ القطر الرئيسي بالعنصر الموجود في الزاوية اليسرى العليا وينتهي بالعنصر الموجود في الزاوية اليمنى السفلية ، على التوالي. باقي المكونات صفر. النوع القطري ما هو إلا مصفوفة مربعة من نوع ما. من بين المصفوفات ذات الشكل القطري ، يمكن للمرء أن يميز مصفوفة عددية. كل مكوناته تأخذ نفس القيم
مصفوفة الهوية
نوع فرعي من المصفوفة القطرية. جميع قيمها العددية عبارة عن وحدات. باستخدام نوع واحد من جداول المصفوفات ، قم بإجراء تحويلاته الأساسية أو ابحث عن معكوس مصفوفة للجدول الأصلي.
النوع المتعارف عليه
يعتبر الشكل الأساسي للمصفوفة أحد الأشكال الرئيسية ؛ غالبًا ما تكون هناك حاجة إلى صبها للعمل. يختلف عدد الصفوف والأعمدة في المصفوفة الأساسية ، ولا ينتمي بالضرورة إلى النوع المربع. إنها تشبه إلى حد ما مصفوفة الهوية ، ومع ذلك ، في حالتها ، لا تأخذ جميع مكونات القطر الرئيسي قيمة مساوية للواحد. يمكن أن يكون هناك وحدتان أو أربع وحدات قطرية رئيسية (كل هذا يتوقف على طول وعرض المصفوفة). أو قد لا توجد وحدات على الإطلاق (عندئذٍ تعتبر صفرًا). المكونات المتبقية من النوع المتعارف عليه ، وكذلك عناصر المائل والهوية ، تساوي الصفر.
نوع المثلث
من أهم أنواع المصفوفات ، وتستخدم عند البحث عن محدداتها وعند إجراء عمليات بسيطة. النوع المثلثي يأتي من النوع القطري ، لذا فإن المصفوفة مربعة أيضًا. المنظر المثلثي للمصفوفة مقسم إلى مثلث علوي وسفلي.
في المصفوفة المثلثية العليا (الشكل 1) ، فقط العناصر الموجودة فوق القطر الرئيسي تأخذ قيمة تساوي الصفر. تحتوي مكونات القطر نفسه وجزء المصفوفة أسفله على قيم عددية.
في المصفوفة المثلثية السفلية (الشكل 2) ، على العكس من ذلك ، فإن العناصر الموجودة في الجزء السفلي من المصفوفة تساوي الصفر.
مصفوفة الخطوة
وجهة النظر ضرورية لإيجاد رتبة المصفوفة ، وكذلك للعمليات الأولية عليها (جنبًا إلى جنب مع النوع المثلث). سميت مصفوفة الخطوة بهذا الاسم لأنها تحتوي على "خطوات" مميزة من الأصفار (كما هو موضح في الشكل). في النوع المتدرج ، يتم تكوين قطري من الأصفار (وليس بالضرورة العنصر الرئيسي) ، وجميع العناصر الموجودة تحت هذا القطر لها أيضًا قيم تساوي الصفر. الشرط الأساسي هو ما يلي: إذا كان هناك صف صفري في مصفوفة الخطوة ، فإن الصفوف المتبقية أدناه لا تحتوي أيضًا على قيم رقمية.
لذا فقد نظرنا في أهم أنواع المصفوفات اللازمة للعمل معهم. الآن دعونا نتعامل مع مهمة تحويل مصفوفة إلى النموذج المطلوب
تصغير إلى شكل مثلث
كيف نحضر المصفوفة إلى شكل مثلث؟ في أغلب الأحيان ، في التخصيصات ، تحتاج إلى تحويل مصفوفة إلى شكل مثلث من أجل إيجاد محددها ، أو ما يسمى بالمحدد. عند تنفيذ هذا الإجراء ، من المهم للغاية "الحفاظ" على القطر الرئيسي للمصفوفة ، لأن محدد المصفوفة المثلثية هو بالضبط حاصل ضرب مكونات قطرها الرئيسي. اسمحوا لي أيضًا أن أذكرك بالطرق البديلة للعثور على المحدد. تم إيجاد المحدد من النوع المربع باستخدام معادلات خاصة. على سبيل المثال ، يمكنك استخدام طريقة المثلث. بالنسبة للمصفوفات الأخرى ، يتم استخدام طريقة التحليل حسب الصف أو العمود أو عناصرها. يمكنك أيضًا تطبيق طريقة القاصرين والمكملات الجبرية للمصفوفة.
التفاصيلدعنا نحلل عملية إحضار مصفوفة إلى شكل مثلث باستخدام أمثلة لبعض المهام.
المهمة 1
من الضروري إيجاد محدد المصفوفة المقدمة ، باستخدام طريقة إحضارها إلى شكل مثلث.
المصفوفة المعطاة لنا هي مصفوفة مربعة من الرتبة الثالثة. لذلك ، لتحويله إلى شكل مثلث ، نحتاج إلى إبطال مكونين من العمود الأول ومكون واحد من الثاني.
لإحضاره إلى شكل مثلث ، ابدأ التحويل من الزاوية اليسرى السفلية للمصفوفة - من الرقم 6. لتحويله إلى الصفر ، اضرب الصف الأول في ثلاثة واطرحه من الصف الأخير.
هام! السطر العلوي لا يتغير ، لكنه يظل كما هو في المصفوفة الأصلية. لا تحتاج إلى كتابة سلسلة أربع مرات السلسلة الأصلية. لكن قيم السلاسل التي يجب إلغاء مكوناتها تتغير باستمرار.
بعد ذلك ، دعونا نتعامل مع القيمة التالية - عنصر الصف الثاني من العمود الأول ، رقم 8. اضرب الصف الأول في أربعة واطرحه من الصف الثاني. نحصل على صفر
تبقى القيمة الأخيرة فقط - عنصر الصف الثالث من العمود الثاني. هذا هو الرقم (-1). لتحويله إلى صفر ، اطرح الثاني من السطر الأول.
دعنا نتحقق:
detA=2 x (-1) x 11=-22.
إذن الإجابة على المهمة هي -22.
المهمة 2
نحتاج إلى إيجاد محدد المصفوفة بجلبها إلى شكل مثلث.
مصفوفة ممثلةينتمي إلى النوع المربع وهو مصفوفة من الرتبة الرابعة. هذا يعني أن ثلاثة مكونات للعمود الأول ، ومكونين للعمود الثاني ، ومكون واحد من العمود الثالث يجب أن تكون صفرية.
لنبدأ اختزاله من العنصر الموجود في الزاوية اليسرى السفلية - من الرقم 4. نحتاج إلى تحويل هذا الرقم إلى صفر. أسهل طريقة للقيام بذلك هي ضرب الصف العلوي في أربعة ثم طرحه من الصف الرابع. دعنا نكتب نتيجة المرحلة الأولى من التحول
إذن ، مكون السطر الرابع مضبوط على الصفر. دعنا ننتقل إلى العنصر الأول من السطر الثالث ، إلى الرقم 3. نقوم بإجراء عملية مماثلة. اضرب في السطر الأول بثلاثة ، واطرحه من السطر الثالث واكتب النتيجة.
بعد ذلك ، نرى الرقم 2 في السطر الثاني. نكرر العملية: اضرب الصف العلوي في اثنين واطرحه من الصف الثاني
تمكنا من ضبط جميع مكونات العمود الأول من هذه المصفوفة المربعة على الصفر ، باستثناء الرقم 1 ، عنصر القطر الرئيسي الذي لا يحتاج إلى تحويل. من المهم الآن الاحتفاظ بالأصفار الناتجة ، لذلك سنقوم بإجراء تحويلات باستخدام الصفوف وليس الأعمدة. دعنا ننتقل إلى العمود الثاني من المصفوفة المقدمة.
لنبدأ من الأسفل مرة أخرى - من عنصر العمود الثاني للصف الأخير. هذا هو الرقم (-7). ومع ذلك ، في هذه الحالة ، من الأنسب البدء بالرقم (-1) - عنصر العمود الثاني من الصف الثالث. لتحويله إلى صفر ، اطرح الصف الثاني من الصف الثالث. ثم نضرب الصف الثاني في سبعة ونطرحه من الرابع. حصلنا على صفر بدلاً من العنصر الموجود في الصف الرابع من العمود الثاني. الآن دعنا ننتقل إلى الثالثالعمود
في هذا العمود ، نحتاج إلى التحول إلى الصفر رقم واحد فقط - 4. من السهل القيام بذلك: فقط أضف الثالث إلى السطر الأخير وشاهد الصفر الذي نحتاجه.
بعد كل التحولات ، قمنا بإحضار المصفوفة المقترحة إلى شكل مثلث. الآن ، للعثور على المحدد ، ما عليك سوى ضرب العناصر الناتجة للقطر الرئيسي. نحصل على: detA=1 x (-1) x (-4) x 40=160. لذلك ، الحل هو الرقم 160.
إذن ، الآن مسألة إحضار المصفوفة إلى شكل مثلث لن تجعل الأمر صعبًا عليك.
الاختزال للنموذج المتدرج
في العمليات الأولية على المصفوفات ، يكون النموذج المتدرج أقل "طلبًا" من النموذج المثلث. يتم استخدامه بشكل شائع للعثور على رتبة مصفوفة (أي عدد صفوفها غير الصفرية) أو لتحديد الصفوف المستقلة والمستقلة خطيًا. ومع ذلك ، فإن عرض المصفوفة المتدرجة أكثر تنوعًا ، حيث إنه مناسب ليس فقط للنوع المربع ، ولكن لجميع الأنواع الأخرى.
لتقليل مصفوفة إلى شكل متدرج ، تحتاج أولاً إلى إيجاد محددها. لهذا ، فإن الطرق المذكورة أعلاه مناسبة. الغرض من إيجاد المحدد هو معرفة ما إذا كان يمكن تحويله إلى مصفوفة خطوة. إذا كان المحدد أكبر أو أقل من الصفر ، فيمكنك المتابعة بأمان إلى المهمة. إذا كانت تساوي صفرًا ، فلن تعمل على تقليل المصفوفة إلى شكل متدرج. في هذه الحالة ، تحتاج إلى التحقق مما إذا كانت هناك أية أخطاء في السجل أو في تحويلات المصفوفة. إذا لم تكن هناك مثل هذه الأخطاء ، فلا يمكن حل المهمة.
دعونا نرى كيفقم بإحضار المصفوفة إلى نموذج متدرج باستخدام أمثلة للعديد من المهام.
المهمة 1. أوجد رتبة جدول المصفوفة المحدد.
أمامنا مصفوفة مربعة من الرتبة الثالثة (3x3). نعلم أنه من أجل إيجاد الرتبة ، من الضروري تصغيرها إلى شكل متدرج. إذن ، علينا أولًا إيجاد محدد المصفوفة. باستخدام طريقة المثلث: detA=(1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 × 2)=12.
المحدد=12. إنها أكبر من الصفر ، مما يعني أنه يمكن اختزال المصفوفة إلى شكل متدرج. لنبدأ تحولاته
لنبدأ بعنصر العمود الأيسر للصف الثالث - الرقم 2. اضرب الصف العلوي في اثنين واطرحه من الصف الثالث. بفضل هذه العملية ، تحول كل من العنصر الذي نحتاجه والرقم 4 - عنصر العمود الثاني من الصف الثالث - إلى صفر.
بعد ذلك ، انتقل إلى الصفر عنصر الصف الثاني من العمود الأول - الرقم 3. للقيام بذلك ، اضرب الصف العلوي في ثلاثة واطرحه من الصف الثاني.
نرى أن التخفيض أدى إلى مصفوفة مثلثة. في حالتنا هذه ، لا يمكن أن يستمر التحول ، حيث لا يمكن تحويل المكونات المتبقية إلى الصفر.
إذن ، نستنتج أن عدد الصفوف التي تحتوي على قيم رقمية في هذه المصفوفة (أو رتبتها) هو 3. الإجابة على المهمة: 3.
المهمة 2. تحديد عدد الصفوف المستقلة خطيًا لهذه المصفوفة.
نحتاج إلى إيجاد سلاسل لا يمكن عكسها بواسطة أي تحويلاتإلى الصفر. في الواقع ، علينا إيجاد عدد الصفوف غير الصفرية ، أو رتبة المصفوفة الممثلة. للقيام بذلك ، دعونا نبسطه.
نرى مصفوفة لا تنتمي إلى النوع المربع. لها أبعاد 3x4. لنبدأ أيضًا بالتمثيل من عنصر الزاوية اليسرى السفلية - الرقم (-1).
أضف السطر الأول إلى السطر الثالث. بعد ذلك ، اطرح الثاني منه لتحويل الرقم 5 إلى صفر.
المزيد من التحولات مستحيل. لذلك نستنتج أن عدد الأسطر المستقلة خطيًا فيه والإجابة على المهمة هي 3.
الآن إحضار المصفوفة إلى نموذج متدرج ليس بالمهمة المستحيلة بالنسبة لك.
في أمثلة هذه المهام ، قمنا بتحليل اختزال المصفوفة إلى شكل مثلث وشكل متدرج. من أجل إبطال القيم المرغوبة لجداول المصفوفة ، يلزم في بعض الحالات إظهار الخيال وتحويل أعمدةها أو صفوفها بشكل صحيح. حظا موفقا في الرياضيات والعمل بالمصفوفات!
