لتسهيل تخيل القارئ ما هو الشكل الزائد - كائن ثلاثي الأبعاد - عليك أولاً التفكير في القطع الزائد المنحني الذي يحمل نفس الاسم ، والذي يلائم مساحة ثنائية الأبعاد.
للقطع الزائد محورين: المحور الحقيقي ، والذي يتطابق في هذا الشكل مع محور الإحداثي ، والمحور التخيلي مع المحور الصادي. إذا بدأت عقليًا في قلب معادلة القطع الزائد حول محوره التخيلي ، فسيكون السطح "المرئي" بالمنحنى عبارة عن ورقة مفردة مفردة.
مع ذلك ، إذا بدأنا في تدوير القطع الزائد حول محوره الحقيقي بهذه الطريقة ، فسيشكل كل من "نصفي" المنحنى سطحه المنفصل ، وسيسمى معًا شكل زائد مصقول.
يتم الحصول عليها عن طريق تدوير منحنى المستوى المقابل ، ويطلق عليها على التوالي اسم hyperboloids للدوران. لديهم معلمات في جميع الاتجاهات عموديًا على محور الدوران ،تنتمي إلى المنحنى المستدير. بشكل عام ، هذا ليس هو الحال.
المعادلة الزائدية
بشكل عام ، يمكن تحديد السطح بالمعادلات التالية في الإحداثيات الديكارتية (س ، ص ، ض):
في حالة وجود شكل زائد للثورة ، يتم التعبير عن تناسقها حول المحور الذي تدور حوله في مساواة المعاملات أ=ب.
خصائص Hyperboloid
لديه خدعة. نعلم أن المنحنيات على مستوى لها بؤر - في حالة القطع الزائد ، على سبيل المثال ، الوحدة النمطية للاختلاف في المسافات من نقطة عشوائية على القطع الزائد إلى تركيز واحد والثاني ثابت بالتعريف ، في الواقع ، التركيز نقطة
عند الانتقال إلى الفضاء ثلاثي الأبعاد ، لا يتغير التعريف عمليًا: البؤر هي نقطتان مرة أخرى ، والفرق في المسافات منها إلى نقطة عشوائية تنتمي إلى السطح الزائد هو ثابت. كما ترى ، ظهر الإحداثيات الثالثة فقط من التغييرات لجميع النقاط الممكنة ، لأنها الآن موضوعة في الفضاء. بشكل عام ، تحديد التركيز يعادل تحديد نوع المنحنى أو السطح: بالحديث عن كيفية تحديد نقاط السطح بالنسبة للبؤر ، نجيب فعليًا على السؤال حول ماهية الشكل الزائد وكيف يبدو.
من الجدير بالذكر أن القطع الزائد يحتوي على خطوط مقاربة - خطوط مستقيمة تميل فروعها إلى اللانهاية. إذا قام المرء ، عند بناء شكل زائد للثورة ، بتدوير الخطوط المقاربة مع القطع الزائد ، فبالإضافة إلى القطع الزائد ، سيحصل المرء أيضًا على مخروط يسمى مقارب. المخروط المقارب هوللأشكال الزائدة ذات الورقة الواحدة والورقتين.
خاصية أخرى مهمة لا تحتوي إلا على ورقة مفرطة مفردة هي المولدات المستقيمة. كما يوحي الاسم ، هذه خطوط ، وتقع بالكامل على سطح معين. اثنان من المولدات المستقيمة تمر عبر كل نقطة من قطعة مفردة مفردة الصفيحة. ينتمون على التوالي إلى عائلتين من الخطوط ، والتي تم وصفها بواسطة أنظمة المعادلات التالية:
وهكذا ، يمكن أن يتكون الشكل الزائد ذو الورقة الواحدة من عدد لا حصر له من الخطوط المستقيمة لعائلتين ، وسيتقاطع كل سطر من أحدهما مع جميع خطوط الآخر. تسمى الأسطح المقابلة لهذه الخصائص مسطرة ؛ يمكن بناؤها باستخدام دوران خط مستقيم واحد. يمكن أن يكون التعريف من خلال الترتيب المتبادل للخطوط (المولدات المستقيمة) في الفضاء بمثابة تسمية لا لبس فيها لما هو القطع الزائد.
خصائص مثيرة للاهتمام للقطع الزائد
منحنيات الدرجة الثانية والأسطح المناظرة للثورة لكل منها خصائص بصرية مثيرة للاهتمام مرتبطة بالبؤر. في حالة hyperboloid ، تتم صياغة هذا على النحو التالي: إذا تم إطلاق شعاع من تركيز واحد ، فعندئذٍ ، بعد أن انعكس من أقرب "جدار" ، سوف يأخذ هذا الاتجاه كما لو أنه جاء من البؤرة الثانية.
Hyperboloids في الحياة
على الأرجح ، بدأ معظم القراء التعرف على الهندسة التحليلية والأسطح من الدرجة الثانية من رواية خيال علمي كتبها أليكسي تولستوي"مهندس Hyperboloid Garin". ومع ذلك ، فإن الكاتب نفسه إما لم يكن يعرف جيدًا ما هو القطعي الزائد ، أو أنه ضحى بالدقة من أجل الفن: الاختراع الموصوف ، من حيث الخصائص الفيزيائية ، هو بالأحرى مكافئ يجمع كل الأشعة في بؤرة واحدة (بينما ترتبط الخصائص البصرية للقطب الزائد مع تشتت الأشعة).
تحظى ما يسمى بالبنى الزائدية بشعبية كبيرة في الهندسة المعمارية: هذه هي الهياكل التي تكون في شكل مفردة ورقة مفردة أو مكافئ قطعي. الحقيقة هي أن أسطح الثورة هذه فقط من الدرجة الثانية لها مولدات مستقيمة: وبالتالي ، لا يمكن بناء الهيكل المنحني إلا من عوارض مستقيمة. تتمثل مزايا هذه الهياكل في القدرة على تحمل الأحمال الثقيلة ، على سبيل المثال ، من الرياح: يستخدم الشكل الزائد في بناء الهياكل العالية ، على سبيل المثال ، أبراج التلفزيون.
