تتطلب بعض مسائل الرياضيات القدرة على حساب الجذر التربيعي. تتضمن هذه المشكلات حل المعادلات من الدرجة الثانية. في هذه المقالة ، نقدم طريقة فعالة لحساب الجذور التربيعية واستخدامها عند العمل مع الصيغ لجذور المعادلة التربيعية.
ما هو الجذر التربيعي؟
في الرياضيات ، هذا المفهوم يتوافق مع الرمز √. تشير البيانات التاريخية إلى أنه بدأ استخدامها لأول مرة في النصف الأول من القرن السادس عشر في ألمانيا (أول عمل ألماني في الجبر بواسطة كريستوف رودولف). يعتقد العلماء أن هذا الرمز هو حرف لاتيني محوّل r (الجذر يعني "الجذر" في اللاتينية).
جذر أي رقم يساوي مثل هذه القيمة ، التي يتوافق مربعها مع التعبير الجذر. في لغة الرياضيات ، سيبدو هذا التعريف كما يلي: √x=y إذا كان y2=x.
جذر الرقم الموجب (x > 0) هو أيضًارقم موجب (y > 0) ، ولكن إذا تم أخذ الجذر من رقم سالب (× < 0) ، فستكون نتيجته بالفعل رقمًا مركبًا ، بما في ذلك الوحدة التخيلية i.
إليك مثالين بسيطين:
√9=3 لأن 32=9 ؛ √ (-9)=3i لأنني2=-1.
صيغة هيرون التكرارية لإيجاد الجذور التربيعية
الأمثلة المذكورة أعلاه بسيطة للغاية ، وحساب الجذور فيها ليس بالأمر الصعب. تبدأ الصعوبات في الظهور بالفعل عند العثور على القيم الجذرية لأي قيمة لا يمكن تمثيلها كمربع من رقم طبيعي ، على سبيل المثال √10 ، √11 ، √12 ، √13 ، ناهيك عن حقيقة ذلك عمليًا ضروري لإيجاد جذور للأرقام غير الصحيحة: على سبيل المثال √ (12 ، 15) ، √ (8 ، 5) وهكذا.
في جميع الحالات المذكورة أعلاه ، يجب استخدام طريقة خاصة لحساب الجذر التربيعي. حاليًا ، تُعرف العديد من هذه الأساليب: على سبيل المثال ، التوسع في سلسلة تايلور ، والقسمة على عمود ، وبعض الطرق الأخرى. من بين جميع الطرق المعروفة ، ربما تكون أبسطها وأكثرها فاعلية هي استخدام صيغة هيرون التكرارية ، والتي تُعرف أيضًا بالطريقة البابلية لتحديد الجذور التربيعية (هناك دليل على أن البابليين القدماء استخدموها في حساباتهم العملية).
فليكن من الضروري تحديد قيمة √x. صيغة إيجاد الجذر التربيعي هي كما يلي:
an + 1=1/2 (a+ x / a ) ، حيث limn->∞(a )=> س
فك هذا الترميز الرياضي. لحساب √x ، يجب أن تأخذ بعض الأرقام0(يمكن أن يكون تعسفيًا ، ولكن للحصول على نتيجة سريعة ، يجب عليك اختياره مثل (a0)2كان أقرب ما يمكن إلى x ، ثم استبدلها في صيغة الجذر التربيعي المحددة واحصل على رقم جديد a1، والذي سيكون بالفعل كن أقرب إلى القيمة المطلوبة.من الضروري استبدال1في التعبير والحصول على2يجب تكرار هذا الإجراء حتى يتم الحصول على الدقة المطلوبة
مثال على تطبيق صيغة هيرون التكرارية
قد تبدو الخوارزمية الموصوفة أعلاه للحصول على الجذر التربيعي لرقم معين معقدة للغاية ومربكة للكثيرين ، ولكن في الواقع يتبين أن كل شيء أبسط بكثير ، لأن هذه الصيغة تتقارب بسرعة كبيرة (خاصة إذا كان رقم الحظ تم اختيار0).
لنأخذ مثالًا بسيطًا: نحتاج إلى حساب √11. نختار0=3 ، منذ 32=9 ، وهو أقرب إلى 11 من 42=16. بالتعويض في الصيغة ، نحصل على:
a1=1/2 (3 + 11/3)=3 ، 333333 ؛
a2=1/2 (3 ، 33333 + 11/3 ، 33333)=3 ، 316668 ؛
a3=1/2 (3 ، 316668 + 11/3 ، 316668)=3 ، 31662.
لا فائدة من مواصلة الحسابات ، لأننا حصلنا على أن2و3تبدأ في الاختلاف فقط في العلامة العشرية الخامسة مكان. وبالتالي ، كان يكفي تطبيق مرتين فقط الصيغة علىحساب √11 ضمن 0.0001.
حاليًا ، تُستخدم الآلات الحاسبة وأجهزة الكمبيوتر على نطاق واسع لحساب الجذور ، ومع ذلك ، من المفيد تذكر الصيغة المحددة حتى تتمكن من حساب قيمتها الدقيقة يدويًا.
المعادلات من الدرجة الثانية
يتم استخدام فهم ماهية الجذر التربيعي والقدرة على حسابه عند حل المعادلات التربيعية. هذه المعادلات هي معادلات مع واحدة غير معروفة ، والشكل العام الذي يظهر في الشكل أدناه.
هنا c و b و a هي بعض الأرقام ، ويجب ألا تكون a مساوية للصفر ، ويمكن أن تكون قيم c و b عشوائية تمامًا ، بما في ذلك الصفر.
أي قيم لـ x تحقق المساواة الموضحة في الشكل تسمى جذورها (لا ينبغي الخلط بين هذا المفهوم والجذر التربيعي √). نظرًا لأن المعادلة قيد الدراسة لها الترتيب الثاني (x2) ، فلا يمكن أن يكون هناك أكثر من رقمين لجذورها. لنلقِ نظرة على كيفية العثور على هذه الجذور لاحقًا في المقالة.
إيجاد جذور المعادلة التربيعية (الصيغة)
هذه الطريقة في حل نوع المساواة المدروسة تسمى أيضًا عالمية ، أو الطريقة من خلال المميز. يمكن تطبيقه على أي معادلات تربيعية. صيغة المميز وجذور المعادلة التربيعية هي كما يلي:
يوضح أن الجذور تعتمد على قيمة كل من المعاملات الثلاثة للمعادلة. علاوة على ذلك ، الحسابيختلف x1عن الحساب x2فقط عن طريق الإشارة الموجودة قبل الجذر التربيعي. التعبير الراديكالي ، الذي يساوي b2- 4ac ، ليس أكثر من تمييز المساواة المدروسة. يلعب المميز في الصيغة الخاصة بجذور المعادلة التربيعية دورًا مهمًا لأنه يحدد عدد الحلول ونوعها. لذا ، إذا كان صفرًا ، فسيكون هناك حل واحد فقط ، وإذا كان موجبًا ، فسيكون للمعادلة جذران حقيقيان ، وأخيرًا ، يؤدي المميز السالب إلى جذرين مركبين x1و س2.
نظرية فييتا أو بعض خصائص جذور المعادلات من الدرجة الثانية
في نهاية القرن السادس عشر ، تمكن أحد مؤسسي علم الجبر الحديث ، الفرنسي فرانسوا فيت ، الذي درس المعادلات من الدرجة الثانية ، من الحصول على خصائص جذورها. رياضيا ، يمكن كتابتها على النحو التالي:
x1+ x2=-b / a و x1 x2=ج / أ.
يمكن لأي شخص الحصول بسهولة على كلتا المساواة ، لذلك من الضروري فقط إجراء العمليات الحسابية المناسبة مع الجذور التي تم الحصول عليها من خلال الصيغة مع المميز.
يمكن أن يسمى الجمع بين هذين التعبيرين بشكل صحيح الصيغة الثانية لجذور المعادلة التربيعية ، مما يجعل من الممكن تخمين حلولها دون استخدام المميز. وتجدر الإشارة هنا إلى أنه على الرغم من أن كلا التعبيرين صالحان دائمًا ، إلا أنه من الملائم استخدامهما لحل المعادلة فقط إذا كان من الممكن تحليلها إلى عوامل.
مهمة ترسيخ المعرفة المكتسبة
لنحل مشكلة رياضية نعرض فيها جميع التقنيات التي تمت مناقشتها في المقالة. شروط المشكلة كالتالي: تحتاج إلى إيجاد رقمين يكون المنتج لهما -13 ، ويكون المجموع 4.
تذكر هذه الحالة فورًا بنظرية فييتا ، بتطبيق الصيغ لمجموع الجذور التربيعية وحاصل ضربها ، نكتب:
x1+ x2=-b / a=4 ؛
x1 x2=c / a=-13.
بافتراض أ=1 ، ثم ب=-4 و ج=-13. تسمح لنا هذه المعاملات بكتابة معادلة من الدرجة الثانية:
x2- 4x - 13=0.
استخدم الصيغة مع المميز ، نحصل على الجذور التالية:
x1، 2=(4 ± √D) / 2، D=16-41(-13)=68.
أي ، تم تقليل المهمة لإيجاد الرقم √68. لاحظ أن 68=417 ، ثم باستخدام خاصية الجذر التربيعي ، نحصل على: √68=2√17.
الآن دعنا نستخدم صيغة الجذر التربيعي المدروسة: a0=4 ، ثم:
a1=1/2 (4 + 17/4)=4 ، 125 ؛
a2=1/2 (4 ، 125 + 17/4 ، 125)=4 ، 1231.
ليست هناك حاجة لحساب3لأن القيم التي تم العثور عليها تختلف بمقدار 0.02 فقط. وبالتالي ، 68=8.246. استبدالها في صيغة x1، 2 ، نحصل على:
x1=(4 + 8 ، 246) / 2=6 ، 123 و x2=(4-8 ، 246) / 2=-2 ، 123.
كما ترى ، مجموع الأرقام التي تم العثور عليها هو بالفعل 4 ، لكن إذا وجدت منتجها ، فسيكون مساويًا لـ -12 ،999 الذي يفي بشرط المشكلة بدقة 0.001
