حل المعادلات في الرياضيات له مكانة خاصة. تسبق هذه العملية ساعات عديدة من دراسة النظرية ، يتعلم خلالها الطالب كيفية حل المعادلات وتحديد شكلها وإيصال المهارة إلى الأتمتة الكاملة. ومع ذلك ، فإن البحث عن الجذور ليس دائمًا منطقيًا ، لأنها قد لا تكون موجودة ببساطة. هناك طرق خاصة لإيجاد الجذور. في هذه المقالة ، سنحلل الوظائف الرئيسية ونطاقاتها وكذلك الحالات التي تغيب فيها جذورها.
أي معادلة ليس لها جذور؟
المعادلة ليس لها جذور إذا لم تكن هناك مثل هذه الحجج الحقيقية x التي تكون المعادلة صحيحة فيها. بالنسبة لغير المتخصصين ، تبدو هذه الصيغة ، مثل معظم النظريات والصيغ الرياضية ، غامضة ومجردة للغاية ، ولكن هذا من الناحية النظرية. من الناحية العملية ، يصبح كل شيء بسيطًا للغاية. على سبيل المثال: المعادلة 0x=-53 ليس لها حل ، حيث لا يوجد مثل هذا الرقم x ، حاصل الضرب الذي بصفر سيعطي شيئًا آخر غير الصفر.
الآن سننظر في أبسط أنواع المعادلات
1. معادلة خطية
تسمى المعادلة خطية إذا تم تمثيل أجزائها اليمنى واليسرى كوظائف خطية: ax + b=cx + d أو في شكل معمم kx + b=0. حيث تعرف أ ، ب ، ج ، د الأرقام ، و x كمية غير معروفة. أي معادلة ليس لها جذور؟ أمثلة على المعادلات الخطية موضحة في الرسم التوضيحي أدناه.
بشكل أساسي ، يتم حل المعادلات الخطية ببساطة عن طريق نقل جزء الرقم إلى جزء واحد ومحتويات x إلى الجزء الآخر. اتضح معادلة على شكل mx \u003d n ، حيث m و n أرقام ، و x غير معروف. لإيجاد س ، يكفي قسمة كلا الجزأين على م. ثم x=n / m. في الأساس ، المعادلات الخطية لها جذر واحد فقط ، ولكن هناك حالات يكون فيها إما عدد لا نهائي من الجذور أو لا يوجد أي جذور على الإطلاق. مع m=0 و n=0 ، تأخذ المعادلة الشكل 0x=0. بالتأكيد أي رقم سيكون الحل لهذه المعادلة.
لكن أي معادلة ليس لها جذور؟
عندما تكون m=0 و n=0 ، فإن المعادلة ليس لها جذور من مجموعة الأعداد الحقيقية. 0س=-1 ؛ 0س=200 - هذه المعادلات ليس لها جذور.
2. المعادلة التربيعية
المعادلة التربيعية هي معادلة بالصيغة ax2+ bx + c=0 لـ a=0. الطريقة الأكثر شيوعًا لحل المعادلة التربيعية هي حلها من خلال المميز. صيغة إيجاد مميز المعادلة التربيعية: D=b2- 4ac. ثم هناك جذران x1، 2=(-b ± √D) / 2a.
عندما D > 0 للمعادلة جذران ، عندما يكون D=0 - جذر واحد. لكن ما هي المعادلة التربيعية التي ليس لها جذور؟أسهل طريقة لملاحظة عدد جذور المعادلة التربيعية هي على الرسم البياني للدالة ، وهو القطع المكافئ. عند > 0 يتم توجيه الفروع لأعلى ، عند < 0 يتم خفض الفروع لأسفل. إذا كان المميز سالبًا ، فإن مثل هذه المعادلة التربيعية ليس لها جذور في مجموعة الأعداد الحقيقية.
يمكنك أيضًا تحديد عدد الجذور بصريًا دون حساب المميز. للقيام بذلك ، تحتاج إلى العثور على الجزء العلوي من القطع المكافئ وتحديد الاتجاه الذي يتم توجيه الفروع فيه. يمكنك تحديد إحداثي س للرأس باستخدام الصيغة: x0=-b / 2a. في هذه الحالة ، يمكن إيجاد إحداثي y للرأس ببساطة عن طريق استبدال قيمة x0في المعادلة الأصلية.
المعادلة التربيعية x2- 8x + 72=0 ليس لها جذور لأنها تحتوي على مميز سلبي D=(–8)2- 4172=-224. هذا يعني أن القطع المكافئ لا يلمس المحور السيني وأن الدالة لا تأخذ القيمة 0 أبدًا ، وبالتالي ليس للمعادلة جذور حقيقية.
3. المعادلات المثلثية
تعتبر الدوال المثلثية في دائرة مثلثية ، ولكن يمكن أيضًا تمثيلها في نظام الإحداثيات الديكارتية. في هذه المقالة ، سنلقي نظرة على الدالتين المثلثيتين الأساسيتين ومعادلاتهما: sinx و cosx. بما أن هذه الدوال تشكل دائرة مثلثية نصف قطرها 1 ، | sinx | و | cosx | لا يمكن أن تكون أكبر من 1. إذن أي معادلة sinx ليس لها جذور؟ ضع في اعتبارك الرسم البياني لوظيفة sinx المعروض في الصورةأدناه.
نرى أن الوظيفة متناظرة ولها فترة تكرار تبلغ 2 نقطة في البوصة. بناءً على ذلك ، يمكننا القول أن الحد الأقصى لقيمة هذه الوظيفة يمكن أن يكون 1 ، والحد الأدنى -1. على سبيل المثال ، التعبير cosx=5 لن يكون له جذور ، لأن مقياسه أكبر من واحد.
هذا أبسط مثال على المعادلات المثلثية. في الواقع ، يمكن أن يستغرق حلهم عدة صفحات ، وفي النهاية تدرك أنك استخدمت الصيغة الخاطئة وأنك بحاجة إلى البدء من جديد. في بعض الأحيان ، حتى مع العثور على الجذور بشكل صحيح ، يمكنك أن تنسى مراعاة القيود المفروضة على ODZ ، وهذا هو سبب ظهور جذر إضافي أو فاصل زمني في الإجابة ، وتتحول الإجابة بأكملها إلى إجابة خاطئة. لذلك ، اتبع بدقة جميع القيود ، لأنه لا تتناسب كل الجذور مع نطاق المهمة.
4. نظم المعادلات
نظام المعادلات هو مجموعة من المعادلات مدمجة بأقواس معقوفة أو مربعة. تشير الأقواس المتعرجة إلى التنفيذ المشترك لجميع المعادلات. بمعنى أنه إذا كانت إحدى المعادلات على الأقل ليس لها جذور أو تتعارض مع الأخرى ، فلن يكون للنظام بأكمله حل. الأقواس المربعة تشير إلى كلمة "أو". هذا يعني أنه إذا كانت واحدة على الأقل من معادلات النظام لها حل ، فإن النظام بأكمله لديه حل.
إجابة النظام ذات الأقواس المربعة هي مجموع كل جذور المعادلات الفردية. والأنظمة ذات الأقواس المتعرجة لها جذور مشتركة فقط. يمكن أن تتضمن أنظمة المعادلات وظائف متنوعة تمامًا ، لذا فإن هذا التعقيد ليس كذلكيسمح لك على الفور بمعرفة المعادلة التي ليس لها جذور.
تعميم ونصائح لإيجاد جذور المعادلة
هناك أنواع مختلفة من المعادلات في الكتب والكتب الدراسية المشكلة: تلك التي لها جذور وتلك التي ليس لها جذور. بادئ ذي بدء ، إذا لم تتمكن من العثور على الجذور ، فلا تعتقد أنها غير موجودة على الإطلاق. ربما تكون قد ارتكبت خطأ في مكان ما ، ثم تحقق مرة أخرى من الحل.
غطينا أبسط المعادلات وأنواعها. الآن يمكنك معرفة المعادلة التي ليس لها جذور. في معظم الحالات ، ليس من الصعب القيام بذلك على الإطلاق. لتحقيق النجاح في حل المعادلات ، لا يتطلب الأمر سوى الانتباه والتركيز. تدرب أكثر ، سيساعدك على التنقل في المواد بشكل أفضل وأسرع.
إذن ، المعادلة ليس لها جذور إذا:
- في المعادلة الخطية mx=n القيمة m=0 و n=0 ؛
- في معادلة تربيعية إذا كان المميز أقل من صفر ؛
- في المعادلة المثلثية بالصيغة cosx=m / sinx=n ، إذا | م | > 0، | n | > 0 ؛
- في نظام المعادلات ذات الأقواس المتعرجة إذا كانت معادلة واحدة على الأقل ليس لها جذور ، ومع الأقواس المربعة إذا لم يكن لجميع المعادلات جذور.
