خصائص وطرق إيجاد جذور المعادلة التربيعية

2024 مؤلف: Angel Austin | [email protected]. آخر تعديل: 2023-12-17 05:16

العالم مُرتَّب بطريقة أن حل عدد كبير من المسائل يأتي لإيجاد جذور معادلة تربيعية. جذور المعادلات مهمة لوصف الأنماط المختلفة. كان هذا معروفا حتى لمساح بابل القديمة. اضطر علماء الفلك والمهندسون أيضًا إلى حل مثل هذه المشكلات. في القرن السادس الميلادي ، طور العالم الهندي أريابهاتا Aryabhata الأساسيات لإيجاد جذور المعادلة التربيعية. اكتملت الصيغ في القرن التاسع عشر

مفاهيم عامة

ندعوك للتعرف على القواعد الأساسية للمساواة التربيعية. بشكل عام ، يمكن كتابة المساواة على النحو التالي:

فأس2+ ب س + ج=0 ،

يمكن أن يساوي عدد جذور المعادلة التربيعية واحدًا أو اثنين. يمكن إجراء تحليل سريع باستخدام مفهوم التمييز:

D=ب2- 4ac

اعتمادًا على القيمة المحسوبة ، نحصل على:

• عندما D > 0 هناك جذران مختلفان. تبدو الصيغة العامة لتحديد جذور المعادلة التربيعية مثل (-b ± √D) / (2a).
• D=0 ، في هذه الحالة يكون الجذر واحدًا ويتوافق مع القيمة x=-b / (2a)
• D < 0 ، للحصول على قيمة سالبة للمميز ، لا يوجد حل للمعادلة.

ملاحظة: إذا كان المميز سالبًا ، فإن المعادلة ليس لها جذور فقط في منطقة الأعداد الحقيقية. إذا امتد الجبر إلى مفهوم الجذور المعقدة ، فإن المعادلة لها حل.

لنقدم سلسلة من الإجراءات التي تؤكد معادلة إيجاد الجذور.

من الشكل العام للمعادلة يلي:

فأس2+ bx=-c

نضرب الجزأين الأيمن والأيسر في 4 أ ونضيف ب2، نحصل على

4a²x²+ 4abx + b²=-4ac + b 2

قم بتحويل الجانب الأيسر إلى مربع متعدد الحدود (2ax + b)². نستخرج الجذر التربيعي لكلا طرفي المعادلة 2ax + b=-b ± √ (-4ac + b^{2) ، ننقل المعامل b إلى الجانب الأيمن ، نحصل على:}

2ax=-b ± √ (-4ac + b2)

من هنا يلي:

x=(-b ± √ (b2- 4ac))

ما هو مطلوب لعرض

حالة خاصة

في بعض الحالات ، يمكن تبسيط حل المشكلة. لذلك ، بالنسبة للمعامل الزوجي b ، نحصل على صيغة أبسط.

دلالة k=1 / 2b ، ثم تأخذ صيغة الشكل العام لجذور المعادلة التربيعية الشكل:

x=(-k ± √ (k2-ac)) / a

عندما D=0 ، نحصل على x=-k / a

حالة خاصة أخرى هي حل المعادلة بـ=1.

للشكل x²+ bx + c=0 ستكون الجذور x=-k ± √ (k^{2- c) بمميز أكبر من 0.بالنسبة للحالة عندما يكون D=0 ، سيتم تحديد الجذر باستخدام صيغة بسيطة: x=-k.}

استخدم الرسوم البيانية

أي شخص ، دون أن يعرف ذلك ، يواجه باستمرار ظواهر فيزيائية وكيميائية وبيولوجية وحتى اجتماعية موصوفة جيدًا بواسطة دالة تربيعية.

ملاحظة: يسمى المنحنى المبني على أساس دالة تربيعية القطع المكافئ.

فيما يلي بعض الأمثلة.

1. عند حساب مسار قذيفة ، يتم استخدام خاصية الحركة على طول القطع المكافئ لجسم أطلق بزاوية مع الأفق.
2. تستخدم خاصية القطع المكافئ لتوزيع الحمل بالتساوي في الهندسة المعمارية.

فهم أهمية دالة القطع المكافئ ، فلنتعرف على كيفية استخدام الرسم البياني لاستكشاف خصائصه ، باستخدام مفاهيم "المميز" و "جذور المعادلة التربيعية".

اعتمادًا على قيمة المعاملين a و b ، لا يوجد سوى ستة خيارات لموضع المنحنى:

1. المميز موجب ، أ و ب لهما علامات مختلفة. تبدو فروع القطع المكافئ لأعلى ، وللمعادلة التربيعية حلين.
2. المميز والمعامل ب يساوي الصفر ، المعامل أ أكبر من الصفر. الرسم البياني في المنطقة الموجبة ، والمعادلة لها جذر واحد.
3. المميز وجميع المعاملات موجبة. لا يوجد حل للمعادلة التربيعية.
4. التمييز والمعامل أ سالبان ، ب أكبر من الصفر. فروع الرسم البياني موجهة للأسفل ، للمعادلة جذرين.
5. التمييز والمعامل b تساوي الصفر ، المعامل a سلبي. يبدو القطع المكافئ لأسفل ، والمعادلة لها جذر واحد.
6. قيم المميز وجميع المعاملات سالبة. لا توجد حلول ، قيم الدالة موجودة بالكامل في المنطقة السلبية

ملاحظة: الخيار أ=0 لا يؤخذ في الاعتبار ، لأنه في هذه الحالة يتدهور القطع المكافئ إلى خط مستقيم.

كل ما سبق موضح بشكل جيد في الشكل أدناه.

أمثلة على حل المشكلات

الحالة: باستخدام الخصائص العامة ، قم بعمل معادلة تربيعية جذورها متساوية مع بعضها البعض.

الحل:

وفقًا لحالة المشكلة x₁=x₂أو -b + √ (b^{2- 4ac) / (2a)=-b + (b}2^{- 4ac) / (2a). تبسيط التدوين:}

-b + √ (b²- 4ac) / (2a) - (-b - √ (b²- 4ac) / (2 أ))=0 ، افتح الأقواس واكتب حدودًا متشابهة. تصبح المعادلة 2√ (b²- 4ac)=0. هذه العبارة صحيحة عندما تكون b²- 4ac=0 ، وبالتالي ب^{2=4ac، ثم يتم تعويض القيمة b=2√ (ac) في المعادلة}

ax²+ 2√ (ac) x + c=0 ، في الصورة المختصرة نحصل على x^{2+ 2√ (ج / أ) س + ج=0.}

الجواب:

لـ a لا يساوي 0 وأي c ، يوجد حل واحد فقط إذا كان b=2√ (c / a).

المعادلات الرباعية ، على الرغم من بساطتها ، لها أهمية كبيرة في الحسابات الهندسية. يمكن وصف أي عملية فيزيائية تقريبًا باستخدام بعض التقريبوظائف السلطة من أجل ستكون المعادلة التربيعية أول تقريب من هذا القبيل.