في عام 1900 ، قام أحد أعظم العلماء في القرن الماضي ، ديفيد هيلبرت ، بتجميع قائمة من 23 مشكلة لم يتم حلها في الرياضيات. كان للعمل عليها تأثير هائل على تطوير هذا المجال من المعرفة البشرية. بعد 100 عام ، قدم معهد كلاي الرياضي قائمة من 7 مشاكل تعرف بمشكلات الألفية. عُرض على كل منهم جائزة مليون دولار
المشكلة الوحيدة التي ظهرت بين قائمتي الألغاز التي كانت تطارد العلماء لأكثر من قرن كانت فرضية ريمان. ما زالت تنتظر قرارها
ملاحظة سيرة ذاتية قصيرة
ولد جورج فريدريش برنارد ريمان عام 1826 في هانوفر ، في عائلة كبيرة من قس فقير ، وعاش 39 عامًا فقط. تمكن من نشر 10 أعمال. ومع ذلك ، خلال حياته ، كان ريمان يعتبر خليفة أستاذه يوهان جاوس. في سن ال 25 ، دافع العالم الشاب عن أطروحته "أساسيات نظرية وظائف المتغير المعقد". في وقت لاحق صاغفرضيته الشهيرة.
الأعداد الأولية
ظهرت الرياضيات عندما تعلم الإنسان العد. في الوقت نفسه ، ظهرت الأفكار الأولى حول الأرقام ، والتي حاولوا لاحقًا تصنيفها. وقد لوحظ أن لبعض منهم خصائص مشتركة. على وجه الخصوص ، من بين الأعداد الطبيعية ، أي تلك التي تم استخدامها في العد (الترقيم) أو تعيين عدد العناصر ، تم تمييز مجموعة لا يمكن القسمة إلا على واحد وعلى حدة. يطلق عليهم بسيط. قدم إقليدس دليلًا رائعًا على نظرية اللانهاية لمجموعة هذه الأرقام في كتابه Elements. في الوقت الحالي ، يستمر بحثهم. على وجه الخصوص ، أكبر رقم معروف بالفعل هو 274207281- 1.
صيغة أويلر
جنبًا إلى جنب مع مفهوم اللانهاية لمجموعة الأعداد الأولية ، حدد إقليدس أيضًا النظرية الثانية حول التحلل الوحيد الممكن إلى عوامل أولية. وفقًا لذلك ، فإن أي عدد صحيح موجب هو نتاج مجموعة واحدة فقط من الأعداد الأولية. في عام 1737 ، أعرب عالم الرياضيات الألماني العظيم ليونارد أويلر عن نظرية اللانهاية الأولى لإقليدس كصيغة أدناه.
تسمى دالة زيتا ، حيث s ثابت و p يأخذ جميع القيم الأولية. تصريح إقليدس حول تفرد التوسع الذي يتبعه مباشرة.
وظيفة ريمان زيتا
صيغة أويلر ، عند الفحص الدقيق ، هي تمامًامفاجأة لأنها تحدد العلاقة بين الأعداد الأولية والأعداد الصحيحة. بعد كل شيء ، يتم ضرب عدد لانهائي من التعبيرات التي تعتمد فقط على الأعداد الأولية على جانبها الأيسر ، ويكون المجموع المرتبط بجميع الأعداد الصحيحة الموجبة على اليمين.
ذهب ريمان أبعد من أويلر. من أجل العثور على مفتاح مشكلة توزيع الأرقام ، اقترح تحديد صيغة لكل من المتغيرات الحقيقية والمعقدة. كانت هي التي تلقت فيما بعد اسم وظيفة ريمان زيتا. في عام 1859 نشر العالم مقالاً بعنوان "في عدد الأعداد الأولية التي لا تتعدى قيمة معينة" ، حيث لخص كل أفكاره.
اقترح ريمان استخدام سلسلة أويلر التي تتقارب مع أي s>1 حقيقي. إذا تم استخدام نفس الصيغة مع s المعقدة ، فإن السلسلة سوف تتقارب مع أي قيمة لهذا المتغير مع جزء حقيقي أكبر من 1. طبق Riemann إجراء الاستمرار التحليلي ، ووسع تعريف زيتا (s) لجميع الأعداد المركبة ، ولكن "طرد" الوحدة. تم استبعاده لأنه عند s=1 تزيد دالة زيتا إلى ما لا نهاية.
إحساس عملي
يطرح سؤال منطقي: لماذا تعتبر وظيفة زيتا ، وهي المفتاح في عمل ريمان على الفرضية الصفرية ، مثيرة للاهتمام ومهمة؟ كما تعلم ، في الوقت الحالي ، لم يتم تحديد نمط بسيط يصف توزيع الأعداد الأولية بين الأعداد الطبيعية. كان ريمان قادرًا على اكتشاف أن عدد pi (x) من الأعداد الأولية التي لا تتجاوز x يتم التعبير عنها من حيث توزيع الأصفار غير التافهة لوظيفة زيتا. علاوة على ذلك ، فإن فرضية ريمان هيشرط ضروري لإثبات تقديرات الوقت لتشغيل بعض خوارزميات التشفير.
فرضية ريمان
إحدى الصيغ الأولى لهذه المسألة الرياضية ، والتي لم يتم إثباتها حتى يومنا هذا ، تبدو كالتالي: دوال 0 زيتا غير التافهة هي أرقام معقدة مع جزء حقيقي يساوي ½. بمعنى آخر ، فهي تقع على الخط Re s=½.
هناك أيضًا فرضية معممة ريمان ، وهي نفس العبارة ، ولكن لتعميمات دوال زيتا ، والتي تسمى عادةً دوال Dirichlet L (انظر الصورة أدناه).
في الصيغة χ (n) - بعض الأحرف الرقمية (modulo k).
يعتبر بيان Riemannian ما يسمى بالفرضية الصفرية ، حيث تم اختبارها من أجل التوافق مع بيانات العينة الموجودة.
كما جادل ريمان
تمت صياغة ملاحظة عالم الرياضيات الألماني في الأصل بشكل عرضي إلى حد ما. الحقيقة هي أنه في ذلك الوقت كان العالم سيثبت نظرية توزيع الأعداد الأولية ، وفي هذا السياق ، لم تكن هذه الفرضية ذات أهمية خاصة. ومع ذلك ، فإن دورها كبير في حل العديد من القضايا الأخرى. هذا هو السبب في أن افتراض ريمان معترف به الآن من قبل العديد من العلماء باعتباره أهم المشاكل الرياضية غير المثبتة.
كما ذكرنا سابقًا ، فإن فرضية ريمان الكاملة ليست ضرورية لإثبات نظرية التوزيع ، ويكفي لتبرير منطقيًا أن الجزء الحقيقي من أي صفر غير تافه من دالة زيتا موجود فيبين 0 و 1. يترتب على هذه الخاصية أن المجموع الموجود في جميع 0 لدالة زيتا التي تظهر في الصيغة الدقيقة أعلاه هو ثابت محدود. بالنسبة لقيم x الكبيرة ، قد يتم فقدها تمامًا. العضو الوحيد في الصيغة الذي يظل كما هو حتى بالنسبة إلى x كبير جدًا هو x نفسه. تتلاشى المصطلحات المعقدة المتبقية بشكل مقارب بالمقارنة معها. لذا فإن المجموع المرجح يميل إلى x. يمكن اعتبار هذا الظرف تأكيدًا لحقيقة النظرية حول توزيع الأعداد الأولية. وبالتالي ، فإن أصفار دالة ريمان زيتا لها دور خاص. وهو يتألف من إثبات أن هذه القيم لا يمكن أن تقدم مساهمة كبيرة في صيغة التحلل.
متابعين ريمان
الموت المأساوي من مرض السل لم يسمح لهذا العالم بإنهاء برنامجه المنطقي. ومع ذلك ، تولى Sh-Zh المسؤولية عنه. دو لا فالي بوسان وجاك هادامارد. بشكل مستقل عن بعضهم البعض ، استنتجوا نظرية حول توزيع الأعداد الأولية. تمكن هادامارد وبوسين من إثبات أن جميع وظائف 0 زيتا غير التافهة تقع ضمن النطاق الحرج.
بفضل عمل هؤلاء العلماء ، ظهر اتجاه جديد في الرياضيات - النظرية التحليلية للأرقام. في وقت لاحق ، حصل باحثون آخرون على العديد من البراهين البدائية للنظرية التي كان ريمان يعمل عليها. على وجه الخصوص ، اكتشف Pal Erdős و Atle Selberg حتى سلسلة منطقية معقدة للغاية تؤكد ذلك ، والتي لم تتطلب استخدام تحليل معقد. ومع ذلك ، من خلال هذه النقطة ، العديد من المهمالنظريات ، بما في ذلك تقريب العديد من وظائف نظرية الأعداد. في هذا الصدد ، فإن العمل الجديد لـ Erdős و Atle Selberg عمليا لم يؤثر على أي شيء.
تم العثور على أحد أبسط وأجمل البراهين على المشكلة في عام 1980 من قبل دونالد نيومان. كان يعتمد على نظرية كوشي الشهيرة.
هل تهدد الفرضية الريمانية أسس التشفير الحديث
نشأ تشفير البيانات جنبًا إلى جنب مع ظهور الحروف الهيروغليفية ، وبشكل أكثر دقة ، يمكن اعتبارهم هم أنفسهم الرموز الأولى. في الوقت الحالي ، هناك منطقة كاملة من التشفير الرقمي ، والتي تعمل على تطوير خوارزميات التشفير.
الأرقام الأولية و "شبه الأولية" ، أي تلك التي لا تقبل القسمة إلا على رقمين آخرين من نفس الفئة ، تشكل أساس نظام المفتاح العام المعروف باسم RSA. لديها أوسع تطبيق. على وجه الخصوص ، يتم استخدامه عند إنشاء توقيع إلكتروني. بالحديث عن المصطلحات التي يمكن للدمى الوصول إليها ، تؤكد فرضية ريمان وجود نظام في توزيع الأعداد الأولية. وبالتالي ، تقل قوة مفاتيح التشفير ، التي يعتمد عليها أمان المعاملات عبر الإنترنت في مجال التجارة الإلكترونية ، بشكل كبير.
مشاكل الرياضيات الأخرى التي لم يتم حلها
يجدر الانتهاء من المقال بتكريس بضع كلمات لأهداف الألفية الأخرى. وتشمل هذه:
- المساواة بين الفئتين P و NP. تتم صياغة المشكلة على النحو التالي: إذا تم التحقق من إجابة موجبة لسؤال معين في وقت متعدد الحدود ، فهل من الصحيح أن الإجابة على هذا السؤال نفسهيمكن العثور عليها بسرعة؟
- تخمين هودج. بكلمات بسيطة ، يمكن صياغتها على النحو التالي: بالنسبة لبعض أنواع الأصناف الجبرية الإسقاطية (المسافات) ، فإن دورات هودج عبارة عن مجموعات من الكائنات التي لها تفسير هندسي ، أي الدورات الجبرية.
- حدسية بوانكاريه. هذا هو تحدي الألفية الوحيد الذي تم إثباته حتى الآن. وفقًا لذلك ، يجب أن يكون أي كائن ثلاثي الأبعاد له خصائص محددة للكرة ثلاثية الأبعاد كرة ، حتى التشوه.
- تأكيدا لنظرية الكم ليانغ ميلز. مطلوب إثبات أن النظرية الكمومية التي طرحها هؤلاء العلماء للفضاء R4موجودة ولديها عيب كتلة 0 لأي مجموعة قياس مضغوطة بسيطة G.
- فرضية بيرش-سوينرتون-داير. هذه قضية أخرى تتعلق بالتشفير. تلامس المنحنيات الإهليلجية.
- مشكلة وجود وسلاسة حلول معادلات نافييه-ستوكس
الآن أنت تعرف فرضية ريمان. بعبارات بسيطة ، قمنا بصياغة بعض تحديات الألفية الأخرى. أنها ستحل أو سيتم إثبات أنه ليس لديهم حل هي مسألة وقت. علاوة على ذلك ، من غير المحتمل أن ينتظر هذا وقتًا طويلاً ، لأن الرياضيات تستخدم بشكل متزايد القدرات الحاسوبية لأجهزة الكمبيوتر. ومع ذلك ، فليس كل شيء خاضعًا للتكنولوجيا ، وقبل كل شيء ، الحدس والإبداع مطلوبان لحل المشكلات العلمية.
