هرم سداسي منتظم. صيغ للحجم ومساحة السطح. حل مشكلة هندسية

2024 مؤلف: Angel Austin | [email protected]. آخر تعديل: 2024-01-02 17:40

القياس المجسم ، كفرع للهندسة في الفضاء ، يدرس خصائص المنشورات والأسطوانات والأقماع والكرات والأهرامات والأشكال ثلاثية الأبعاد الأخرى. هذه المقالة مخصصة لمراجعة مفصلة لخصائص وخصائص الهرم المنتظم السداسي.

الهرم الذي سيتم دراسته

الهرم السداسي المنتظم هو شكل في الفضاء ، مقيد بمسدس واحد متساوي الأضلاع ومتساوي الزوايا ، وستة مثلثات متطابقة متساوية الساقين. يمكن أن تكون هذه المثلثات متساوية الأضلاع أيضًا في ظل ظروف معينة. هذا الهرم موضح أدناه.

يظهر نفس الشكل هنا ، في حالة واحدة فقط يتم قلبه بوجهه الجانبي نحو القارئ ، وفي الحالة الأخرى - بحافته الجانبية.

هرم سداسي منتظم له 7 وجوه تم ذكرها أعلاه. وله أيضًا 7 رؤوس و 12 ضلعًا. على عكس المنشور ، تحتوي جميع الأهرامات على رأس خاص واحد يتكون من تقاطع الجانبمثلثات. بالنسبة للهرم العادي ، فإنه يلعب دورًا مهمًا ، لأن الارتفاع العمودي منه على قاعدة الشكل هو الارتفاع. علاوة على ذلك ، سيتم الإشارة إلى الارتفاع بالحرف h.

يسمى الهرم الموضح صحيحا لسببين:

• في قاعدته عبارة عن مسدس له أطوال أضلاع متساوية a وزوايا متساوية 120o؛
• ارتفاع الهرم h يتقاطع مع السداسي بالضبط في مركزه (نقطة التقاطع تقع على نفس المسافة من جميع الجوانب ومن جميع رؤوس السداسي).

مساحة السطح

سيتم اعتبار خصائص الهرم السداسي المنتظم من تعريف مساحته. للقيام بذلك ، من المفيد أولاً كشف الشكل على مستوى. يتم عرض تمثيل تخطيطي لها أدناه.

يمكن ملاحظة أن مساحة المسح ، وبالتالي السطح الكامل للشكل قيد النظر ، تساوي مجموع مناطق ستة مثلثات متطابقة ومسدس واحد.

لتحديد مساحة الشكل السداسي S_{6، استخدم الصيغة العامة لـ n-gon العادي:}

S=n / 4a2 ctg (pi / n)=>

S₆=3√3 / 2a^2.

حيث أ هو طول ضلع السداسي.

يمكن العثور على مساحة المثلث S₃من الجانب الجانبي إذا كنت تعرف قيمة ارتفاعه h_b:

S₃=1/2h_{b a.}

لأن كل ستةالمثلثات متساوية مع بعضها البعض ، ثم نحصل على تعبير عملي لتحديد مساحة الهرم السداسي بالقاعدة الصحيحة:

S=S₆+ 6S₃=3√3 / 2a^{2 + 61/2h}b _{a=3a(√3 / 2a + h}b _).

حجم الهرم

تمامًا مثل المنطقة ، فإن حجم الهرم المنتظم السداسي هو خاصية مهمة له. يتم حساب هذا الحجم بالصيغة العامة لجميع الأهرامات والأقماع. دعنا نكتبها:

V=1/3S_{o h.}

هنا ، الرمز S_oهو مساحة القاعدة السداسية ، أي S_o=S_6.

استبدال التعبير أعلاه لـ S_{6في صيغة V ، نصل إلى المساواة النهائية لتحديد حجم هرم سداسي منتظم:}

V=√3 / 2a2 h.

مثال على مشكلة هندسية

في هرم سداسي منتظم ، تكون الحافة الجانبية ضعف طول ضلع القاعدة. مع العلم أن الأخير هو 7 سم ، فمن الضروري حساب مساحة وحجم هذا الشكل

كما قد تتخيل ، فإن حل هذه المشكلة يتضمن استخدام التعبيرات التي تم الحصول عليها أعلاه لـ S و V. ومع ذلك ، لن يكون من الممكن استخدامها على الفور ، لأننا لا نعرف المجال و ارتفاع هرم سداسي منتظم. دعونا نحسبها

يمكن تحديد apothem h_bمن خلال النظر في المثلث الأيمن المبني على الجوانب b و a / 2 و h_{b. هنا ب هو طول الحافة الجانبية. باستخدام حالة المشكلة ، نحصل على:}

h_b=√ (ب²-a²/ 4)=√ (14²-7^{2/ 4)=13 ، 555 سم.}

يمكن تحديد الارتفاع h للهرم بنفس الطريقة تمامًا مثل الصيدلة ، ولكن الآن يجب أن نفكر في مثلث بأضلاعه h و b و a ، يقع داخل الهرم. سيكون الارتفاع:

h=√ (b²- a²)=√ (14²- 7^{2)=12 ، 124 سم}

يمكن ملاحظة أن قيمة الارتفاع المحسوبة أقل من قيمة العروة ، وهذا صحيح بالنسبة لأي هرم.

الآن يمكنك استخدام التعبيرات للحجم والمساحة:

S=3a(√3 / 2a + h_b)=37(√3 / 27 + 13، 555)=411 ، 96 سم^2؛

V=√3 / 2a² h=√3 / 27² 12 ، 124=514 ، 48 سم^3.

وبالتالي ، لتحديد أي خاصية للهرم سداسي منتظم بشكل لا لبس فيه ، تحتاج إلى معرفة أي اثنين من معلماته الخطية.