تكامل غير محدد. حساب التكاملات غير المحددة

2024 مؤلف: Angel Austin | [email protected]. آخر تعديل: 2024-01-15 17:20

أحد الأقسام الأساسية للتحليل الرياضي هو حساب التفاضل والتكامل. إنه يغطي أوسع مجال من الكائنات ، حيث يكون الأول هو التكامل غير المحدد. من الجدير وضعها كمفتاح ، والذي يكشف حتى في المدرسة الثانوية عن عدد متزايد من وجهات النظر والفرص التي تصفها الرياضيات العليا.

المظهر

للوهلة الأولى ، يبدو التكامل حديثًا تمامًا ، وذا صلة بالموضوع ، ولكن من الناحية العملية اتضح أنه ظهر منذ 1800 قبل الميلاد. تعتبر مصر رسميا الوطن حيث لم يصلنا دليل سابق على وجودها. هو ، بسبب نقص المعلومات ، كل هذا الوقت تم وضعه ببساطة كظاهرة. أكد مرة أخرى مستوى تطور العلم بين شعوب تلك الأوقات. أخيرًا ، تم العثور على أعمال علماء الرياضيات اليونانيين القدماء التي تعود إلى القرن الرابع قبل الميلاد. لقد وصفوا طريقة يتم فيها استخدام تكامل غير محدد ، والذي كان جوهره هو العثور على حجم أو مساحة الشكل المنحني (ثلاثي الأبعادوالطائرات ثنائية الأبعاد ، على التوالي). استند مبدأ الحساب إلى تقسيم الشكل الأصلي إلى مكونات متناهية الصغر ، بشرط أن يكون حجمها (المنطقة) معروفًا بالفعل. بمرور الوقت ، نمت الطريقة ، استخدمها أرخميدس لإيجاد مساحة القطع المكافئ. تم إجراء حسابات مماثلة في نفس الوقت من قبل العلماء في الصين القديمة ، وكانوا مستقلين تمامًا عن نظرائهم اليونانيين في العلوم.

تطوير

الاختراق التالي في القرن الحادي عشر الميلادي هو عمل العالم العربي "العالمي" أبو علي البصري ، الذي تجاوز حدود ما كان معروفًا بالفعل ، واشتقاق الصيغ القائمة على التكامل لحساب المبالغ. من الصفوف ومجموع القوى من الأول إلى الرابع ، مطبقًا على ذلك طريقة الاستقراء الرياضي المعروفة لدينا.

تعجب عقول العصر الحديث كيف ابتكر المصريون القدماء آثارًا معمارية مذهلة بدون أي أدوات خاصة ربما باستثناء أيديهم ، لكن أليست قوة عقل العلماء في ذلك الوقت أقل من معجزة؟ بالمقارنة مع اليوم ، تبدو حياتهم بدائية تقريبًا ، لكن حل التكاملات غير المحددة مشتق في كل مكان واستخدم في الممارسة لمزيد من التطوير.

حدثت الخطوة التالية في القرن السادس عشر ، عندما طور عالم الرياضيات الإيطالي كافالييري طريقة العناصر غير القابلة للتجزئة ، والتي اختارها بيير فيرمات. كانت هاتان الشخصيتان هما اللتان وضعتا الأساس لحساب التفاضل والتكامل الحديث المعروف في الوقت الحالي. ربطوا بين مفاهيم التفاضل والتكامل ، والتي كانت في السابقتعامل كوحدات مستقلة. بشكل عام ، كانت الرياضيات في تلك الأوقات مجزأة ، وكانت جسيمات الاستنتاجات موجودة من تلقاء نفسها ، ولها نطاق محدود. كان طريق التوحيد والبحث عن أرضية مشتركة هو الطريق الوحيد الحقيقي في ذلك الوقت ، وبفضله حصل التحليل الرياضي الحديث على فرصة للنمو والتطور.

تغير كل شيء بمرور الوقت ، بما في ذلك تدوين التكامل. على العموم ، قام العلماء بتوضيحها بكل الوسائل ، على سبيل المثال ، استخدم نيوتن رمزًا مربعًا وضع فيه وظيفة قابلة للتكامل أو ببساطة وضعها بجوارها.

استمر هذا التناقض حتى القرن السابع عشر ، عندما قدم العالم جوتفريد لايبنيز ، وهو معلم لنظرية التحليل الرياضي بأكملها ، الرمز المألوف لنا. يعتمد حرف "S" المطول بالفعل على هذا الحرف من الأبجدية اللاتينية ، حيث يشير إلى مجموع المشتقات العكسية. حصل التكامل على اسمه بفضل جاكوب برنولي بعد 15 عامًا.

تعريف رسمي

يعتمد التكامل غير المحدد بشكل مباشر على تعريف المشتق العكسي ، لذلك دعونا نفكر فيه أولاً.

المشتق العكسي دالة معاكسة للمشتق ، وتسمى عمليا بدائية. خلاف ذلك: المشتقة العكسية للدالة d هي دالة D مشتقها يساوي v V '=v. البحث عن المشتق العكسي هو حساب التكامل غير المحدد ، وهذه العملية نفسها تسمى التكامل.

مثال:

الوظيفة s (y)=y³، ومشتقاتها العكسية S (y)=(y^{4/ 4).}

مجموعة جميع المشتقات العكسية للدالة قيد النظر هي التكامل غير المحدد ، ويشار إليها على النحو التالي: ∫v (x) dx.

نظرًا لحقيقة أن V (x) ليست سوى مشتق عكسي للوظيفة الأصلية ، يحدث التعبير: ∫v (x) dx=V (x) + C ، حيث C ثابت. الثابت التعسفي هو أي ثابت ، لأن مشتقه يساوي صفر.

خصائص

الخصائص التي يمتلكها التكامل غير المحدد تستند إلى التعريف الرئيسي وخصائص المشتقات.

دعونا نلقي نظرة على النقاط الرئيسية:

• التكامل من مشتق المشتق العكسي هو المشتق العكسي نفسه بالإضافة إلى ثابت تعسفي С ∫V '(x) dx=V (x) + C ؛
• مشتق تكامل الوظيفة هو الوظيفة الأصلية (∫v (x) dx) '=v (x) ؛
• ثابت يؤخذ من تحت علامة التكامل ∫kv (x) dx=k∫v (x) dx ، حيث k تعسفي ؛
• التكامل المأخوذ من المجموع يساوي مجموع التكاملات ∫ (v (y) + w (y)) dy=∫v (y) dy + w (y) dy.

من آخر خاصيتين ، يمكننا أن نستنتج أن التكامل غير المحدود خطي. بفضل هذا ، لدينا: ∫ (kv (y) dy + lw (y)) dy=k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.

للدمج ، ضع في اعتبارك أمثلة لحل التكاملات غير المحددة.

من الضروري إيجاد التكامل ∫ (3sinx + 4cosx) dx:

∫ (3sinx + 4cosx) dx=∫3sinxdx + ∫4cosxdx=3∫sinxdx + 4∫cosxdx=3 (-cosx) + 4sinx + C=4sinx - 3cosx + C

من المثال يمكننا أن نستنتج:لا تعرف كيف تحل التكاملات غير المحددة؟ فقط اعثر على كل الأوليات! لكن سيتم النظر في مبادئ البحث أدناه.

طرق وأمثلة

لحل التكامل يمكنك اللجوء إلى الطرق التالية:

• استخدم الجدول المعد ؛
• دمج الأجزاء ؛
• تتكامل عن طريق تغيير المتغير ؛
• وضع تحت العلامة التفاضلية.

الجداول

الطريقة الأسهل و الأكثر إمتاعا. في الوقت الحالي ، يتميز التحليل الرياضي بجداول واسعة جدًا يتم فيها كتابة الصيغ الأساسية للتكاملات غير المحددة. بمعنى آخر ، هناك قوالب تم تطويرها من قبلك ومن أجلك ، يبقى استخدامها فقط. فيما يلي قائمة بمواضع الجدول الرئيسية التي يمكنك اشتقاق كل مثال لها حل تقريبًا:

• ∫0dy=C ، حيث C ثابت ؛
• ∫dy=y + C ، حيث C ثابت ؛
• ∫y dy=(yn + 1) / (n + 1) + C ، حيث C ثابت و ن - رقم غير واحد ؛
• ∫ (1 / y) dy=ln | y | + C ، حيث C ثابت ؛
• ∫e^ydy=e^{y+ C ، حيث C ثابت ؛}
• ∫k^ydy=(k^{y/ ln k) + C ، حيث C ثابت ؛}
• ∫cosydy=siny + C ، حيث C ثابت ؛
• ∫sinydy=-cosy + C ، حيث C ثابت ؛
• ∫dy / cos2y=tgy + C ، حيث C ثابت ؛
• ∫دي / الخطيئة2y=-ctgy + C ، حيث C ثابت ؛
• ∫dy / (1 + y2)=arctgy + C ، حيث C ثابت ؛
• ∫chydy=خجول + C ، حيث C -ثابت ؛
• ∫ shydy=chy + C ، حيث C ثابت.

إذا لزم الأمر ، اتخذ خطوتين ، وجلب التكاملاند إلى شكل جدولي واستمتع بالنصر. مثال: ∫cos (5x -2) dx=1 / 5∫cos (5x - 2) d (5x - 2)=1/5 x sin (5x - 2) + C.

وفقًا للحل ، من الواضح أنه بالنسبة للمثال الجدولي ، فإن التكامل و يفتقر إلى عامل 5. نضيفه ، ونضربه في 1/5 بالتوازي حتى لا يتغير التعبير العام.

التكامل بالأجزاء

ضع في اعتبارك وظيفتين - z (y) و x (y). يجب أن تكون قابلة للتمييز باستمرار على نطاق التعريف بأكمله. وفقًا لإحدى خصائص التفاضل ، لدينا: d (xz)=xdz + zdx. بدمج كلا الجزأين من المعادلة ، نحصل على: ∫d (xz)=∫ (xdz + zdx)=> zx=∫zdx + ∫xdz.

إعادة كتابة المساواة الناتجة ، نحصل على صيغة تصف طريقة التكامل بالأجزاء: ∫zdx=zx - ∫xdz.

لماذا هو مطلوب؟ النقطة المهمة هي أنه يمكن تبسيط بعض الأمثلة ، من الناحية الشرطية ، تقليل ∫zdx إلى ∫xdz إذا كان الأخير قريبًا من الشكل الجدولي. أيضا ، يمكن تطبيق هذه الصيغة أكثر من مرة ، وتحقيق أفضل النتائج.

كيفية حل التكاملات غير المحددة بهذه الطريقة:

تحتاج إلى حساب ∫ (s + 1) e2sds

∫ (x + 1) e^2sds={z=s + 1، dz=ds، y=1 / 2e^{2s، dy=e}2x^{ds}=((s + 1) e}2s ^{) / 2-1 / 2∫e}2s^{dx=((s + 1) e}2s ^{) / 2-e}2s^{/ 4+ C ؛}

بحاجة لحساب ∫lnsds

∫lnsds={z=lns ، dz=ds / s ، y=s ، dy=ds}=slns - ∫s x ds / s=slns - ∫ds=slns -s + C=s (lns -1) + C.

تبديل متغير

هذا المبدأ المتمثل في حل التكاملات غير المحددة لا يقل طلبًا عن التكاملات السابقتين ، على الرغم من أنه أكثر تعقيدًا. الطريقة هي كما يلي: لنفترض أن V (x) تكون جزءًا لا يتجزأ من بعض الوظائف v (x). في حالة ما إذا كان التكامل نفسه في المثال معقدًا ، فهناك احتمال كبير للارتباك واتخاذ المسار الخاطئ للحل. لتجنب ذلك ، تتم ممارسة الانتقال من المتغير x إلى z ، حيث يتم تبسيط التعبير العام بصريًا مع الحفاظ على اعتماد z على x.

رياضياً يبدو كالتالي: ∫v (x) dx=∫v (y (z)) y '(z) dz=V (z)=V (y^{-1 (x)) ، حيث x=y (z) هو تعويض. وبالطبع ، فإن الدالة العكسية z=y}-1^{(x) تصف بشكل كامل تبعية المتغيرات وعلاقتها. ملاحظة مهمة - يتم استبدال التفاضل dx بالضرورة بفارق dz جديد ، لأن استبدال متغير في التكامل غير المحدد يعني استبداله في كل مكان ، وليس فقط في التكامل.}

مثال:

بحاجة إلى البحث عن ∫ (s + 1) / (s2+ 2s - 5) ds

تطبيق الاستبدال z=(s + 1) / (s2+ 2s-5). ثم dz=2sds=2 + 2 (s + 1) ds (s + 1) ds=dz / 2. نتيجة لذلك ، نحصل على التعبير التالي الذي يسهل حسابه للغاية:

∫ (s + 1) / (s²+ 2s-5) ds=∫ (dz / 2) / z=1 / 2ln | z | + C=1 / 2ln | الصورة^{2+ 2s-5 | + C ؛}

بحاجة لإيجاد التكامل∫2^se^sdx

لحل المشكلة ، نعيد كتابة التعبير بالصيغة التالية:

∫2^se^sds=∫ (2e)^sds.

دلالة بواسطة a=2e (هذه الخطوة ليست بديلاً عن الوسيطة ، فهي لا تزال كذلك) ، فنحن نقدم التكامل الذي يبدو معقدًا إلى نموذج جدولي أولي:

∫ (2e)^sds=∫a^sds=a^s/ lna + C=(2e)^s/ ln (2e) + C=2^se^s/ ln (2 + lne) + C=2^se^{s/ (ln2 + 1) + C.}

إحضار تحت العلامة التفاضلية

بشكل عام ، هذه الطريقة للتكاملات غير المحددة هي الأخ التوأم لمبدأ التغيير المتغير ، ولكن هناك اختلافات في عملية التصميم. دعونا نلقي نظرة فاحصة.

إذا كانت ∫v (x) dx=V (x) + C و y=z (x) ، إذن ∫v (y) dy=V (y) + C.

في هذه الحالة ، لا ينبغي لأحد أن ينسى التحولات التافهة التكاملية ، ومن بينها:

• dx=d (x + a) ، حيث a هو أي ثابت ؛
• dx=(1 / a) d (ax + b) ، حيث a مرة أخرى ثابت ، لكن لا يساوي الصفر ؛
• xdx=1/2d (x2+ b) ؛
• sinxdx=-d (كوسكس) ؛
• cosxdx=د (sinx).

إذا أخذنا في الاعتبار الحالة العامة عندما نحسب التكامل غير المحدد ، فيمكن تلخيص الأمثلة في الصيغة العامة w '(x) dx=dw (x).

أمثلة:

بحاجة للبحث عن ∫ (2s + 3)²ds، ds=1 / 2d (2s + 3)

∫ (2s + 3)²ds=1 / 2∫ (2s + 3)²d (2s + 3)=(1/2) × ((2 ثانية +3)²) / 3 + C=(1/6) x (2s + 3)^{2+ C ؛}

∫tgsds=∫sins / cossds=∫d (coss) / coss=-ln | coss | + C.

المساعدة عبر الإنترنت

في بعض الحالات ، التي قد يكون الخطأ فيها إما كسلًا أو حاجة ملحة ، يمكنك استخدام النصائح عبر الإنترنت ، أو بالأحرى استخدام الآلة الحاسبة المتكاملة غير المحددة. على الرغم من كل التعقيد الواضح وقابلية الجدل للتكاملات ، فإن حلها يخضع لخوارزمية معينة ، والتي تستند إلى مبدأ "إذا لم يكن كذلك … ، إذن …".

بالطبع ، مثل هذه الآلة الحاسبة لن تتقن الأمثلة المعقدة بشكل خاص ، نظرًا لوجود حالات يجب فيها إيجاد الحل بشكل مصطنع ، وإدخال عناصر معينة في العملية "بالقوة" ، لأنه لا يمكن تحقيق النتيجة بشكل واضح طرق. على الرغم من كل الجدل حول هذا البيان ، فإنه صحيح ، لأن الرياضيات ، من حيث المبدأ ، هي علم مجرد ، وتعتبر الحاجة إلى توسيع حدود الاحتمالات مهمتها الأساسية. في الواقع ، من الصعب للغاية الارتقاء والتطور وفقًا لنظريات سلسة ومتداخلة ، لذلك لا ينبغي أن تفترض أن أمثلة حل التكاملات غير المحددة التي قدمناها هي ذروة الاحتمالات. لكن العودة إلى الجانب التقني للأشياء. على الأقل للتحقق من الحسابات ، يمكنك استخدام الخدمات التي كتب فيها كل شيء قبلنا. إذا كانت هناك حاجة إلى الحساب التلقائي لتعبير معقد ، فلا يمكن الاستغناء عنها ، فسيتعين عليك اللجوء إلى برامج أكثر جدية. يجدر الانتباه أولاً وقبل كل شيء إلى بيئة MatLab.

التطبيق

يبدو حل التكاملات غير المحددة للوهلة الأولى بعيدًا تمامًا عن الواقع ، حيث يصعب رؤية مجالات التطبيق الواضحة. في الواقع ، لا يمكن استخدامها مباشرة في أي مكان ، لكنها تعتبر عنصرًا وسيطًا ضروريًا في عملية استنباط الحلول المستخدمة في الممارسة. إذن ، التكامل معكوس للتفاضل ، بسبب مشاركته النشطة في عملية حل المعادلات.

في المقابل ، هذه المعادلات لها تأثير مباشر على حل المشكلات الميكانيكية ، وحساب المسارات والتوصيل الحراري - باختصار ، كل ما يصنع الحاضر ويشكل المستقبل. التكامل غير المحدود ، الأمثلة التي درسناها أعلاه ، تافه للوهلة الأولى فقط ، لأنه الأساس لتحقيق المزيد والمزيد من الاكتشافات الجديدة.