بالحكم على شعبية طلب "نظرية فيرما - دليل قصير" ، فإن هذه المشكلة الرياضية تهم الكثيرين حقًا. تم ذكر هذه النظرية لأول مرة بواسطة Pierre de Fermat في عام 1637 على حافة نسخة من الحساب ، حيث ادعى أن لديه حلًا أكبر من أن يتناسب مع الحافة.
تم نشر أول دليل ناجح في عام 1995 - كان الدليل الكامل لنظرية فيرما بواسطة أندرو وايلز. وقد وُصف بأنه "تقدم مذهل" وقاد وايلز للفوز بجائزة أبيل في عام 2016. على الرغم من وصفه لفترة وجيزة نسبيًا ، إلا أن إثبات نظرية فيرما أثبت أيضًا الكثير من نظرية النمطية وفتح مناهج جديدة للعديد من المشكلات الأخرى والطرق الفعالة لرفع الوحدات النمطية. أدت هذه الإنجازات إلى تقدم الرياضيات في 100 عام في المستقبل. الدليل على نظرية فيرما الصغيرة اليوم ليس كذلكشيء خارج عن المألوف
حفزت المشكلة التي لم يتم حلها تطور نظرية الأعداد الجبرية في القرن التاسع عشر والبحث عن دليل على نظرية الوحدات النمطية في القرن العشرين. هذه واحدة من أبرز النظريات في تاريخ الرياضيات ، وحتى إثبات التقسيم الكامل لنظرية فيرما الأخيرة ، كانت في كتاب غينيس للأرقام القياسية "أصعب مشكلة رياضية" ، ومن سماتها أن لديها أكبر عدد من البراهين غير الناجحة.
الخلفية التاريخية
معادلة فيثاغورس x2+ y2=z2لديها عدد لا حصر له من الموجب الحلول الصحيحة لـ x و y و z. تُعرف هذه الحلول باسم ثالوث فيثاغورس. حوالي عام 1637 ، كتب فيرما على حافة الكتاب أن المعادلة الأكثر عمومية أ + ب =c لا تحتوي على الحلول في الأعداد الطبيعية إذا كان n عددًا صحيحًا أكبر من 2. على الرغم من أن فيرمات نفسه ادعى أن لديه حلًا لمشكلته ، إلا أنه لم يترك أي تفاصيل حول إثباتها. الدليل الأولي لنظرية فيرما ، الذي ادعى خالقه ، كان بالأحرى اختراعه المتبجح. تم اكتشاف كتاب عالم الرياضيات الفرنسي العظيم بعد 30 عاما من وفاته. هذه المعادلة ، التي تسمى نظرية فيرما الأخيرة ، ظلت دون حل في الرياضيات لمدة ثلاثة قرون ونصف.
أصبحت النظرية في النهاية واحدة من أبرز المشكلات التي لم يتم حلها في الرياضيات. تسببت محاولات إثبات ذلك في حدوث تطور كبير في نظرية الأعداد ومع المقطعالوقت ، أصبحت نظرية فيرما الأخيرة معروفة كمشكلة لم يتم حلها في الرياضيات.
تاريخ موجز للأدلة
إذا كان n=4 ، كما أثبت فيرما نفسه ، يكفي إثبات نظرية الفهارس n التي هي أعداد أولية. على مدار القرنين التاليين (1637-1839) ، تم إثبات التخمين فقط للأعداد الأولية 3 و 5 و 7 ، على الرغم من تحديث صوفي جيرمان وأثبت أنه نهج ينطبق على فئة الأعداد الأولية بأكملها. في منتصف القرن التاسع عشر ، وسع إرنست كومر هذا وأثبت النظرية لجميع الأعداد الأولية العادية ، حيث تم تحليل الأعداد الأولية غير المنتظمة بشكل فردي. بناءً على عمل كومر وباستخدام أبحاث الكمبيوتر المتطورة ، تمكن علماء رياضيات آخرون من توسيع حل النظرية ، بهدف تغطية جميع الدعاة الرئيسيين حتى أربعة ملايين ، لكن الدليل لجميع الأسس لم يكن متاحًا (بمعنى أن علماء الرياضيات لا يزالون غير متاحين) عادة ما يعتبر حل النظرية مستحيلًا أو صعبًا للغاية أو بعيد المنال بالمعرفة الحالية).
عمل شيمورا وتانياما
في عام 1955 ، اشتبه عالما الرياضيات اليابانيان غورو شيمورا ويوتاكا تانياما في وجود صلة بين المنحنيات الناقصية والأشكال المعيارية ، وهما فرعان مختلفان تمامًا من الرياضيات. كانت تُعرف في ذلك الوقت باسم حدسية تانياما-شيمورا-وايل و (في نهاية المطاف) كنظرية نمطية ، وكانت موجودة من تلقاء نفسها ، مع عدم وجود صلة واضحة بنظرية فيرما الأخيرة. كان يُنظر إليه على نطاق واسع على أنه نظرية رياضية مهمة ، ولكن تم اعتباره (مثل نظرية فيرمات) مستحيل إثباته. عند هذافي الوقت نفسه ، تم إثبات إثبات نظرية فيرما الأخيرة (عن طريق قسمة وتطبيق الصيغ الرياضية المعقدة) بعد نصف قرن فقط.
في عام 1984 ، لاحظ غيرهارد فراي وجود علاقة واضحة بين هاتين المشكلتين اللتين لم يتم حلهما من قبل. تم نشر تأكيد كامل على ارتباط النظريتين ارتباطًا وثيقًا في عام 1986 من قبل كين ريبيت ، الذي استند إلى دليل جزئي من جان بيير سيرا ، الذي أثبت كل شيء باستثناء جزء واحد ، والمعروف باسم "فرضية إبسيلون". ببساطة ، أظهرت هذه الأعمال التي قام بها فراي وسيرا وريب أنه إذا أمكن إثبات نظرية النمطية ، على الأقل بالنسبة لفئة شبه ثابتة من المنحنيات الإهليلجية ، فسيتم اكتشاف إثبات نظرية فيرما الأخيرة عاجلاً أم آجلاً. يمكن أيضًا استخدام أي حل يمكن أن يتعارض مع نظرية فيرما الأخيرة لمناقضة نظرية النمطية. لذلك ، إذا تبين أن نظرية الوحدات النمطية صحيحة ، فلا يمكن أن يكون هناك حل يتعارض مع نظرية فيرما الأخيرة ، مما يعني أنه كان يجب إثباتها قريبًا.
على الرغم من أن كلتا النظريتين كانتا مشاكل صعبة في الرياضيات ، واعتبرت غير قابلة للحل ، كان عمل اليابانيين هو أول اقتراح لكيفية توسيع نظرية فيرما الأخيرة وإثباتها لجميع الأرقام ، وليس بعضها فقط. كان من المهم بالنسبة للباحثين الذين اختاروا موضوع الدراسة حقيقة أنه ، على عكس نظرية فيرما الأخيرة ، كانت نظرية الوحدات هي المجال الرئيسي النشط للبحث ، والذي من أجلهتم تطوير الأدلة ، وليس فقط الشذوذ التاريخي ، لذلك يمكن تبرير الوقت الذي تقضيه في عملها من وجهة نظر مهنية. ومع ذلك ، كان الإجماع العام هو أن حل تخمين تانياما - شيمورا أثبت أنه غير مناسب.
نظرية المزرعة الأخيرة: برهان وايلز
بعد أن علم أن ريبيت أثبت صحة نظرية فراي ، قرر عالم الرياضيات الإنجليزي أندرو ويلز ، الذي كان مهتمًا بنظرية فيرما الأخيرة منذ الطفولة ولديه خبرة في العمل مع المنحنيات الناقصية والمجالات المجاورة ، محاولة إثبات تانياما شيمورا التخمين كطريقة لإثبات نظرية فيرما الأخيرة. في عام 1993 ، بعد ست سنوات من إعلان هدفه ، أثناء العمل سرًا على مشكلة حل النظرية ، تمكن ويلز من إثبات تخمين ذي صلة ، والذي بدوره سيساعده في إثبات نظرية فيرما الأخيرة. كانت وثيقة وايلز ضخمة من حيث الحجم والنطاق.
تم اكتشاف خلل في جزء واحد من ورقته الأصلية أثناء مراجعة الأقران وتطلب عامًا آخر من التعاون مع ريتشارد تايلور لحل النظرية بشكل مشترك. نتيجة لذلك ، لم يمر وقت طويل على إثبات وايلز النهائي لنظرية فيرما الأخيرة. في عام 1995 ، تم نشره على نطاق أصغر بكثير من العمل الرياضي السابق لويلز ، مما يوضح أنه لم يكن مخطئًا في استنتاجاته السابقة حول إمكانية إثبات النظرية. تم نشر إنجازات وايلز على نطاق واسع في الصحافة الشعبية وانتشرت في الكتب والبرامج التلفزيونية. الأجزاء المتبقية من تخمين تانياما-شيمورا-ويل ، والتي تم إثباتها الآن والمعروفة باسم نظرية النمطية ، وقد تم إثباتها لاحقًا من قبل علماء رياضيات آخرين قاموا ببناء أعمال وايلز بين عامي 1996 و 2001. تقديراً لإنجازاته ، تم تكريم وايلز وحصل على العديد من الجوائز ، بما في ذلك جائزة أبيل لعام 2016.
إثبات وايلز لنظرية فيرما الأخيرة هو حالة خاصة لحل نظرية النمطية للمنحنيات الإهليلجية. ومع ذلك ، فهذه هي الحالة الأكثر شهرة لمثل هذه العملية الرياضية واسعة النطاق. إلى جانب حل نظرية ريبي ، حصل عالم الرياضيات البريطاني أيضًا على دليل على نظرية فيرما الأخيرة. اعتبر علماء الرياضيات الحديثون أن نظرية فيرما الأخيرة ونظرية نمطية غير قابلة للإثبات من قبل علماء الرياضيات المعاصرين ، لكن أندرو وايلز كان قادرًا على إثبات للعالم العلمي أنه حتى النقاد يمكن أن يكونوا مخطئين.
أعلن وايلز اكتشافه لأول مرة يوم الأربعاء 23 يونيو 1993 في محاضرة في كامبريدج بعنوان "النماذج المعيارية والمنحنيات الإهليلجية وتمثيلات جالوا". ومع ذلك ، في سبتمبر 1993 ، تبين أن حساباته تحتوي على خطأ. بعد عام ، في 19 سبتمبر 1994 ، في ما كان يسميه "أهم لحظة في حياته العملية" ، عثر وايلز على كشف سمح له بإصلاح حل المشكلة إلى الحد الذي يمكن أن يرضي فيه الرياضيات. المجتمع.
وصف العمل
إثبات نظرية فيرمات بواسطة أندرو وايلز يستخدم طرقًا عديدة من الهندسة الجبرية ونظرية الأعداد وله العديد من التشعبات في هذهمجالات الرياضيات. كما أنه يستخدم التركيبات القياسية للهندسة الجبرية الحديثة ، مثل فئة المخططات ونظرية إيواساوا ، بالإضافة إلى طرق أخرى من القرن العشرين لم تكن متاحة لبيير دي فيرمات.
المقالتان اللتان تحتويان على الأدلة يبلغ طولهما 129 صفحة وقد تمت كتابتهما على مدار سبع سنوات. وصف جون كوتس هذا الاكتشاف بأنه أحد أعظم إنجازات نظرية الأعداد ، ووصفه جون كونواي بأنه الإنجاز الرياضي الرئيسي في القرن العشرين. من أجل إثبات نظرية فيرما الأخيرة من خلال إثبات نظرية النمطية للحالة الخاصة للمنحنيات الإهليلجية شبه الثابتة ، طور وايلز طرقًا قوية لرفع المعيارية وفتح طرقًا جديدة للعديد من المشكلات الأخرى. لحل نظرية فيرما الأخيرة ، حصل على وسام فارس وحصل على جوائز أخرى. عندما أصبح معروفًا أن وايلز قد فاز بجائزة أبيل ، وصفت الأكاديمية النرويجية للعلوم إنجازه بأنه "دليل مبهج وأساسي على نظرية فيرما الأخيرة."
كيف كان
كان نيك كاتز أحد الأشخاص الذين راجعوا مخطوطة ويلز الأصلية مع حل هذه النظرية. في سياق مراجعته ، سأل البريطاني عددًا من الأسئلة التوضيحية التي دفعت وايلز إلى الاعتراف بأن عمله يحتوي بوضوح على فجوة. في جزء هام من الإثبات ، تم ارتكاب خطأ أعطى تقديرًا لترتيب مجموعة معينة: نظام أويلر المستخدم لتوسيع طريقة كوليفاجين وفلاخ كان غير مكتمل. ومع ذلك ، فإن الخطأ لم يجعل عمله عديم الفائدة - فكل قطعة من عمل وايلز كانت مهمة جدًا ومبتكرة في حد ذاتها ، مثلها مثل العديد.التطورات والأساليب التي ابتكرها في سياق عمله والتي أثرت على جزء واحد فقط من المخطوطة. ومع ذلك ، فإن هذا العمل الأصلي ، الذي نُشر في عام 1993 ، لم يكن لديه دليل حقيقي على نظرية فيرما الأخيرة.
قضى وايلز ما يقرب من عام في محاولة إعادة اكتشاف حل للنظرية ، بمفرده أولاً ثم بالتعاون مع تلميذه السابق ريتشارد تيلور ، ولكن يبدو أن كل ذلك ذهب سدى. بحلول نهاية عام 1993 ، انتشرت شائعات تفيد بأن إثبات ويلز قد فشل في الاختبار ، ولكن لم يكن معروفًا مدى خطورة هذا الفشل. بدأ علماء الرياضيات في الضغط على وايلز للكشف عن تفاصيل عمله ، سواء تم ذلك أم لا ، حتى يتمكن المجتمع الأوسع من علماء الرياضيات من استكشاف واستخدام كل ما كان قادرًا على تحقيقه. بدلاً من تصحيح خطأه بسرعة ، اكتشف وايلز جوانب صعبة إضافية فقط في إثبات نظرية فيرما الأخيرة ، وأدرك أخيرًا مدى صعوبة الأمر.
يذكروايلز أنه في صباح يوم 19 سبتمبر 1994 ، كان على وشك الاستسلام والاستسلام ، وكاد يستسلم للفشل. كان مستعدًا لنشر عمله غير المكتمل حتى يتمكن الآخرون من البناء عليه والعثور على الخطأ. قرر عالم الرياضيات الإنجليزي أن يمنح نفسه فرصة أخيرة وقام بتحليل النظرية للمرة الأخيرة في محاولة لفهم الأسباب الرئيسية لعدم نجاح منهجه ، عندما أدرك فجأة أن نهج Kolyvagin-Flac لن ينجح حتىسيشمل أيضًا نظرية إيواساوا في عملية الإثبات ، مما يجعلها تعمل.
في 6 أكتوبر ، طلب وايلز من ثلاثة زملاء (بما في ذلك فالتينز) مراجعة عمله الجديد ، وفي 24 أكتوبر 1994 ، قدم مخطوطتين - "المنحنيات الإهليلجية المعيارية ونظرية فيرما الأخيرة" و "الخصائص النظرية لـ حلقة من بعض Hecke algebras "، والثاني الذي كتبه Wiles مع تايلور وأثبت أنه تم استيفاء شروط معينة لتبرير الخطوة المصححة في المقالة الرئيسية.
تمت مراجعة هاتين الورقتين وتم نشرهما أخيرًا كنسخة كاملة في حوليات الرياضيات في مايو 1995. تم تحليل حسابات أندرو الجديدة على نطاق واسع وقبلها المجتمع العلمي في النهاية. في هذه الأوراق ، تم إنشاء نظرية النمطية للمنحنيات الإهليلجية شبه الثابتة - وهي الخطوة الأخيرة نحو إثبات نظرية فيرما الأخيرة ، بعد 358 عامًا من إنشائها.
تاريخ المشكلة الكبرى
حل هذه النظرية يعتبر أكبر مشكلة في الرياضيات لقرون عديدة. في عامي 1816 و 1850 ، قدمت الأكاديمية الفرنسية للعلوم جائزة لإثبات عام لنظرية فيرما الأخيرة. في عام 1857 ، منحت الأكاديمية 3000 فرنك وميدالية ذهبية لكومر لأبحاثه حول الأرقام المثالية ، على الرغم من أنه لم يتقدم للحصول على الجائزة. تم تقديم جائزة أخرى له في عام 1883 من قبل أكاديمية بروكسل.
جائزة ولفسكيل
في عام 1908 ، ورث عالم الرياضيات الصناعي الألماني بول ولفسكيل 100000 علامة ذهبية (كمية كبيرة في ذلك الوقت)أكاديمية غوتنغن للعلوم ، بحيث تصبح هذه الأموال جائزة للإثبات الكامل لنظرية فيرما الأخيرة. في 27 يونيو 1908 ، نشرت الأكاديمية تسعة قواعد للجائزة. من بين أمور أخرى ، تتطلب هذه القواعد نشر الدليل في مجلة محكمة. تم منح الجائزة بعد عامين فقط من نشرها. كان من المقرر أن تنتهي المسابقة في 13 سبتمبر 2007 - بعد حوالي قرن من بدايتها. في 27 يونيو 1997 ، تلقى Wiles جائزة Wolfschel المالية ثم 50،000 دولار أخرى. في مارس 2016 ، حصل على 600000 يورو من الحكومة النرويجية كجزء من جائزة أبيل "لإثبات مذهل لنظرية فيرما الأخيرة بمساعدة التخمين المعياري للمنحنيات شبه الثابتة ، وفتح حقبة جديدة في نظرية الأعداد". كان انتصار العالم للرجل الانجليزي المتواضع
قبل إثبات وايلز ، كانت نظرية فيرمات ، كما ذكرنا سابقًا ، تعتبر غير قابلة للحل تمامًا لعدة قرون. تم تقديم الآلاف من الأدلة غير الصحيحة في أوقات مختلفة إلى لجنة Wolfskell ، والتي بلغت حوالي 10 أقدام (3 أمتار) من المراسلات. فقط في العام الأول من وجود الجائزة (1907-1908) تم تقديم 621 طلبًا لحل النظرية ، على الرغم من أن عددهم بحلول السبعينيات انخفض إلى حوالي 3-4 طلبات في الشهر. وفقًا لـ F. Schlichting ، مراجع Wolfschel ، فإن معظم الأدلة كانت تستند إلى الأساليب الأولية التي يتم تدريسها في المدارس وغالبًا ما يتم تقديمها على أنها "أشخاص لديهم خلفيات تقنية ولكن وظائفهم غير ناجحة". وفقا لمؤرخ الرياضيات هوارد أفيس الأخيرحددت نظرية فيرما نوعًا من التسجيل - هذه هي النظرية التي تحتوي على أكبر عدد من البراهين غير الصحيحة.
ذهب أمجاد المزرعة إلى اليابانيين
كما ذكرنا سابقًا ، في حوالي عام 1955 ، اكتشف عالما الرياضيات اليابانيان غورو شيمورا ويوتاكا تانياما وجود صلة محتملة بين فرعين مختلفين تمامًا للرياضيات - المنحنيات الإهليلجية والأشكال المعيارية. تنص نظرية النمطية الناتجة (المعروفة آنذاك باسم تخمين تانياما-شيمورا) على أن كل منحنى بيضاوي مقياسي ، مما يعني أنه يمكن ربطه بشكل معياري فريد.
تم رفض النظرية في البداية باعتبارها غير مرجحة أو تخمينية للغاية ، ولكن تم أخذها على محمل الجد عندما وجد المنظر الأعداد أندريه ويل دليلاً يدعم الاستنتاجات اليابانية. نتيجة لذلك ، غالبًا ما يشار إلى الفرضية باسم فرضية تانياما-شيمورا-ويل. أصبحت جزءًا من برنامج Langlands ، وهو عبارة عن قائمة من الفرضيات المهمة التي يجب إثباتها في المستقبل.
حتى بعد التدقيق الجاد ، أدرك علماء الرياضيات الحديثون أن التخمين صعب للغاية ، أو ربما يتعذر الوصول إليه. الآن هذه النظرية الخاصة تنتظر أندرو وايلز ، الذي يمكن أن يفاجئ العالم كله بحلها.
نظرية فيرمات: برهان بيرلمان
على الرغم من الأسطورة الشعبية ، عالم الرياضيات الروسي غريغوري بيرلمان ، رغم كل عبقريته ، لا علاقة له بنظرية فيرما. وهو ، مع ذلك ، لا ينتقص منه بأي حال من الأحوال.مساهمات عديدة في المجتمع العلمي.
