ما هو الحساب؟ متى بدأت البشرية في استخدام الأرقام والعمل معها؟ إلى أين تذهب جذور هذه المفاهيم اليومية مثل الأعداد والكسور والطرح والجمع والضرب ، والتي جعل الإنسان جزءًا لا يتجزأ من حياته ونظرته للعالم؟ أعجبت العقول اليونانية القديمة بعلوم مثل الرياضيات والحساب والهندسة باعتبارها أجمل سيمفونيات المنطق البشري.
ربما لا يكون الحساب بعمق العلوم الأخرى ، لكن ماذا سيحدث لها إذا نسي الشخص جدول الضرب الأولي؟ لم يكن التفكير المنطقي المعتاد بالنسبة لنا ، باستخدام الأرقام والكسور وغيرها من الأدوات ، سهلاً على الناس ولم يكن من الممكن لأسلافنا الوصول إليه لفترة طويلة. في الواقع ، قبل تطور الحساب ، لم يكن أي مجال من مجالات المعرفة البشرية علميًا حقًا.
الحساب هو ABC للرياضيات
الحساب هو علم الأرقام ، والذي يبدأ به أي شخص في التعرف على عالم الرياضيات الرائع. كما قال إم في لومونوسوف ، الحساب هو بوابة التعلم ، ويفتح لنا الطريق أمام معرفة العالم. لكنه على حقهل علم العالم يمكن فصله عن معرفة الأرقام والحروف والرياضيات والكلام؟ ربما في الأيام الخوالي ، ولكن ليس في العالم الحديث ، حيث التطور السريع للعلوم والتكنولوجيا يملي قوانينها الخاصة.
كلمة "حسابي" ("arithmos" اليونانية) من أصل يوناني ، تعني "رقم". تدرس الأرقام وكل ما يمكن ربطه بها. هذا هو عالم الأرقام: عمليات مختلفة على الأرقام ، والقواعد العددية ، وحل المشكلات المتعلقة بالضرب ، والطرح ، وما إلى ذلك.
من المقبول عمومًا أن الحساب هو الخطوة الأولى للرياضيات وأساس متين لأقسامه الأكثر تعقيدًا ، مثل الجبر والتحليل الرياضي والرياضيات العليا وما إلى ذلك.
الهدف الرئيسي من الحساب
أساس الحساب هو عدد صحيح ، يتم اعتبار خصائصه وأنماطه في الحساب الأعلى أو نظرية الأعداد. في الواقع ، تعتمد قوة المبنى بأكمله - الرياضيات - على مدى صحة النهج المتبع في اعتبار مثل هذه الكتلة الصغيرة كرقم طبيعي.
لذلك ، يمكن الإجابة على سؤال ماهية الحساب ببساطة: إنه علم الأرقام. نعم ، حول المجتمع المعتاد السبعة والتسعة وكل هذا المجتمع المتنوع. وتمامًا كما لا يمكنك كتابة الشعر بطريقة جيدة أو حتى أبسط الشعر بدون أبجدية أولية ، لا يمكنك حتى حل مشكلة أولية بدون حساب. لهذا السبب تقدمت جميع العلوم فقط بعد تطور الحساب والرياضيات ، قبل ذلك كانت مجرد مجموعة من الافتراضات.
الحساب علم وهمي
ما هو الحساب - العلوم الطبيعية أم الوهمية؟ في الواقع ، كما جادل الفلاسفة اليونانيون القدماء ، لا توجد أرقام ولا أرقام في الواقع. هذا مجرد شبح تم إنشاؤه في التفكير البشري عند التفكير في البيئة من خلال عملياتها. في الواقع ، ما هو الرقم؟ لا نرى في أي مكان حولنا شيئًا كهذا يمكن تسميته رقمًا ، بل الرقم هو طريقة للعقل البشري لدراسة العالم. أو ربما هي دراسة أنفسنا من الداخل؟ ظل الفلاسفة يتجادلون حول هذا الأمر لعدة قرون متتالية ، لذلك لا نتعهد بإعطاء إجابة شاملة. بطريقة أو بأخرى ، تمكن الحساب من أخذ مكانه بحزم لدرجة أنه في العالم الحديث لا يمكن اعتبار أي شخص متكيف اجتماعيًا دون معرفة أساسياته.
كيف ظهر العدد الطبيعي
بالطبع ، الشيء الرئيسي الذي يعمل عليه الحساب هو رقم طبيعي ، مثل 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، … ، 152 … إلخ. إن حساب الأعداد الطبيعية هو نتيجة عد الأشياء العادية ، مثل الأبقار في المرج. ومع ذلك ، فإن تعريف "الكثير" أو "القليل" لم يعد مناسبًا للأشخاص ، وكان عليهم ابتكار تقنيات عد أكثر تقدمًا.
لكن الاختراق الحقيقي حدث عندما وصل الفكر الإنساني إلى نقطة أنه من الممكن تعيين 2 كيلوغرام ، و 2 لبنة ، وجزئين بنفس الرقم "اثنان". الحقيقة هي أنك تحتاج إلى التجريد من أشكال وخصائص ومعاني الأشياء ، ثم يمكنك القيام ببعض الإجراءات باستخدام هذه الكائنات في شكل أرقام طبيعية. هكذا ولد حساب الأعداد الذيمزيد من التطور والتوسع ، واحتلال مناصب أكبر من أي وقت مضى في حياة المجتمع.
مثل هذه المفاهيم المتعمقة للعدد مثل الأعداد الصفرية والسالبة ، والكسور ، وتسميات الأرقام بالأرقام وبطرق أخرى ، لها تاريخ غني ومثير للاهتمام من التطور.
حسابي وعملي مصريين
أقدم رفيقين بشريين في استكشاف العالم من حولنا وحل المشكلات اليومية هما الحساب والهندسة.
يُعتقد أن تاريخ الحساب نشأ في الشرق القديم: في الهند ومصر وبابل والصين. وهكذا ، فإن بردية الرندا من أصل مصري (سميت بهذا الاسم لأنها تخص صاحب نفس الاسم) ، ويعود تاريخها إلى القرن العشرين. يحتوي BC ، بالإضافة إلى البيانات القيمة الأخرى ، على توسيع كسر واحد في مجموع الكسور ذات المقامات المختلفة وبسط يساوي واحدًا.
على سبيل المثال: 2/73=1/60 + 1/219 + 1/292 + 1/365.
لكن ما هو الهدف من مثل هذا التحلل المعقد؟ والحقيقة أن النهج المصري لم يتسامح مع الأفكار المجردة حول الأرقام ، بل على العكس من ذلك ، أجريت الحسابات فقط لأغراض عملية. أي أن المصري سينخرط في شيء مثل الحسابات ، فقط من أجل بناء قبر ، على سبيل المثال. كان من الضروري حساب طول حافة الهيكل ، وهذا أجبر الشخص على الجلوس خلف ورق البردى. كما ترى فإن التقدم المصري في الحسابات كان سببه البناء الجماعي وليس حب العلم.
لهذا السبب ، لا يمكن تسمية الحسابات الموجودة على البرديات انعكاسات حول موضوع الكسور. على الأرجح ، هذا إعداد عملي ساعد في المستقبل.حل مسائل الكسور. أجرى المصريون القدماء ، الذين لم يعرفوا جداول الضرب ، حسابات طويلة إلى حد ما ، وتحللوا إلى العديد من المهام الفرعية. ربما تكون هذه إحدى تلك المهام الفرعية. من السهل أن ترى أن الحسابات باستخدام قطع العمل هذه شاقة للغاية وغير واعدة. ربما لهذا السبب لا نرى المساهمة العظيمة لمصر القديمة في تطوير الرياضيات.
اليونان القديمة والحساب الفلسفي
أتقن الإغريق القدماء العديد من المعارف المتعلقة بالشرق القديم ، وهم عشاق مشهورون للانعكاسات التجريدية والتجريدية والفلسفية. لم يكونوا أقل اهتمامًا بالممارسة ، لكن من الصعب العثور على أفضل المنظرين والمفكرين. وقد أفاد هذا العلم ، لأنه من المستحيل الخوض في الحساب دون فصله عن الواقع. بالتأكيد ، يمكنك ضرب 10 أبقار و 100 لتر من الحليب ، لكنك لن تذهب بعيدًا.
ترك اليونانيون ذوو التفكير العميق بصمة مهمة في التاريخ ، وقد وصلت كتاباتهم إلينا:
- اقليدس و العناصر
- فيثاغورس.
- أرخميدس.
- إراتوستينس.
- زينو.
- أناكساجوراس.
وبالطبع ، فإن الإغريق ، الذين حولوا كل شيء إلى فلسفة ، وخاصة خلفاء أعمال فيثاغورس ، كانوا مفتونين جدًا بالأرقام لدرجة أنهم اعتبروها لغز انسجام العالم. تمت دراسة وبحث الأرقام إلى حد أن بعضها وأزواجها قد تم تخصيص خصائص خاصة لها. على سبيل المثال:
- الأرقام المثالية هي تلك التي تساوي مجموع كل مقسوماتها ، باستثناء الرقم نفسه (6=1 + 2 + 3).
- الأرقام المألوفة هي تلك الأرقام ، أحدهايساوي مجموع كل قواسم الثانية ، والعكس صحيح (عرف الفيثاغوريون زوجًا واحدًا فقط: 220 و 284).
اليونانيون الذين اعتقدوا أن العلم يجب أن يكون محبوبًا وليس معه من أجل الربح ، حققوا نجاحًا كبيرًا من خلال الاستكشاف واللعب وإضافة الأرقام. وتجدر الإشارة إلى أن أبحاثهم ليست كلها منتشرة على نطاق واسع ، فبعضها بقي فقط "للجمال".
مفكرو الشرق في العصور الوسطى
بنفس الطريقة ، في العصور الوسطى ، يدين الحساب بتطويره للمعاصرين الشرقيين. أعطانا الهنود الأرقام التي نستخدمها بنشاط ، مثل مفهوم "صفر" ، والنسخة الموضعية لحساب التفاضل والتكامل ، المألوفة للإدراك الحديث. من الكاشي الذي عمل في سمرقند في القرن الخامس عشر ورثنا الكسور العشرية التي بدونها يصعب تخيل الحساب الحديث.
من نواحٍ عديدة ، أصبح تعرّف أوروبا على إنجازات الشرق ممكنًا بفضل عمل العالم الإيطالي ليوناردو فيبوناتشي ، الذي كتب عمل "كتاب العداد" ، الذي يقدم الابتكارات الشرقية. أصبح حجر الزاوية في تطوير الجبر والحساب والأنشطة البحثية والعلمية في أوروبا.
الحساب الروسي
وأخيرًا ، بدأ الحساب ، الذي وجد مكانه وترسخ في أوروبا ، بالانتشار إلى الأراضي الروسية. نُشر أول حساب روسي في عام 1703 - كان كتابًا عن الحساب بقلم ليونتي ماغنيتسكي. لفترة طويلة ظل الكتاب المدرسي الوحيد في الرياضيات. يحتوي على اللحظات الأولية للجبر والهندسة.الأرقام المستخدمة في الأمثلة من قبل كتاب الحساب الأول في روسيا هي العربية. على الرغم من ظهور الأرقام العربية من قبل ، إلا أن هناك نقوشًا تعود إلى القرن السابع عشر.
الكتاب نفسه مزين بصور أرخميدس وفيثاغورس ، وعلى الورقة الأولى - صورة حسابية على شكل امرأة. تجلس على العرش ، تحتها مكتوبة بالعبرية كلمة تدل على اسم الله ، وعلى الدرجات التي تؤدي إلى العرش ، نقشت الكلمات "الانقسام" ، "الضرب" ، "الإضافة" ، إلخ. الحقائق التي تعتبر الآن مألوفة.
كتاب مدرسي من 600 صفحة يغطي كلاً من الأساسيات مثل جداول الجمع والضرب وتطبيقات العلوم الملاحية.
لا عجب أن المؤلف اختار صور المفكرين اليونانيين لكتابه ، لأنه هو نفسه كان مفتونًا بجمال الحساب ، قائلاً: "الحساب هو البسط ، هناك فن صادق ، لا يحسد عليه …". هذا النهج في الحساب له ما يبرره تمامًا ، لأنه مقدمة واسعة النطاق يمكن اعتبارها بداية التطور السريع للفكر العلمي في روسيا والتعليم العام.
الأعداد الأولية غير الممتازة
العدد الأولي هو عدد طبيعي يحتوي على قسومتين موجبتين فقط: 1 ونفسه. جميع الأرقام الأخرى ، باستثناء الرقم 1 ، تسمى مركب. أمثلة على الأعداد الأولية: 2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، وجميع الأعداد الأخرى التي ليس لها قواسم بخلاف 1 ونفسها.
بالنسبة للرقم 1 ، فهو على حساب خاص - هناك اتفاق على أنه لا ينبغي اعتباره بسيطًا ولا مركبًا.للوهلة الأولى ، رقم بسيط يخفي العديد من الألغاز التي لم يتم حلها داخل نفسه.
تقول نظرية
إقليدس أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد الأولية ، وقد ابتكر إراتوستينس "غربالًا" حسابيًا خاصًا يزيل الأعداد غير الأولية ، ويترك فقط الأعداد البسيطة.
جوهرها هو وضع خط تحت الرقم الأول غير المشطوب ، ومن ثم شطب الأرقام المضاعفة له. نكرر هذا الإجراء عدة مرات - ونحصل على جدول الأعداد الأولية.
النظرية الأساسية في الحساب
من بين الملاحظات حول الأعداد الأولية ، يجب ذكر النظرية الأساسية للحساب بطريقة خاصة.
تقول النظرية الأساسية في الحساب أن أي عدد صحيح أكبر من 1 هو إما عدد أولي ، أو يمكن أن يتحلل إلى منتج من الأعداد الأولية حتى ترتيب العوامل ، وبطريقة فريدة.
ثبت أن النظرية الأساسية في الحساب مرهقة إلى حد ما ، ولم يعد فهمها يبدو وكأنه أبسط الأساسيات.
للوهلة الأولى ، الأعداد الأولية هي مفهوم أولي ، لكنها ليست كذلك. كما اعتبرت الفيزياء ذات مرة أن الذرة بدائية حتى وجدت الكون كله بداخلها. قصة رائعة لعالم الرياضيات دون تزغير "أول خمسين مليون بريم" مكرسة للأعداد الأولية.
من "ثلاث تفاحات" إلى القوانين الاستنتاجية
ما يمكن أن نطلق عليه حقًا الأساس المعزز لكل العلوم هو قوانين الحساب. حتى في مرحلة الطفولة يواجه الجميع الحساب بدراسة عدد أرجل وأذرع الدمى ،عدد المكعبات والتفاح وما إلى ذلك. هذه هي الطريقة التي ندرس بها الحساب ، والذي ينتقل بعد ذلك إلى قواعد أكثر تعقيدًا.
طوال حياتنا تعرفنا على قواعد الحساب ، والتي أصبحت بالنسبة للرجل العادي الأكثر فائدة من كل ما يقدمه العلم. إن دراسة الأرقام هي "الحساب-الطفل" ، والتي تقدم الإنسان إلى عالم الأرقام على شكل أرقام في مرحلة الطفولة المبكرة.
الحساب العالي هو علم استنتاجي يدرس قوانين الحساب. نحن نعرف معظمهم ، على الرغم من أننا قد لا نعرف صيغتهم بالضبط.
قانون الجمع والضرب
اثنان أي رقمان طبيعيان أ و ب يمكن التعبير عنهما كمجموع أ + ب ، والذي سيكون أيضًا عددًا طبيعيًا. تطبق القوانين التالية على الإضافة:
- تبادلي ، الذي يقول أن المجموع لا يتغير من إعادة ترتيب المصطلحات ، أو أ + ب=ب + أ.
- الترابطية ، والتي تقول أن المجموع لا يعتمد على طريقة تجميع المصطلحات في أماكن ، أو أ + (ب + ج)=(أ + ب) + ج.
قواعد الحساب ، مثل الجمع ، من أبسط القواعد ، لكنها تستخدمها جميع العلوم ، ناهيك عن الحياة اليومية.
يمكن التعبير عن أي رقمين طبيعيين أ و ب كمنتج أب أو أب ، وهو أيضًا رقم طبيعي. تنطبق نفس القوانين التبادلية والترابطية على المنتج كما هو الحال مع الإضافة:
- أب=بأ ؛
- أ(بج)=(أب)ج.
أتساءلأن هناك قانونًا يوحد الجمع والضرب ، ويسمى أيضًا قانون التوزيع أو التوزيع:
أ (ب + ج)=أب + أك
هذا القانون في الواقع يعلمنا العمل مع الأقواس من خلال توسيعها ، وبالتالي يمكننا العمل مع صيغ أكثر تعقيدًا. هذه هي القوانين التي ستوجهنا خلال عالم الجبر الغريب والمعقد.
قانون الحساب
قانون النظام يستخدمه المنطق البشري كل يوم ، حيث يقارن الساعات ويعد الأوراق النقدية. ومع ذلك ، يجب إضفاء الطابع الرسمي عليه في شكل تركيبات محددة.
إذا كان لدينا رقمان طبيعيان أ وب ، فإن الخيارات التالية ممكنة:
- أ يساوي ب ، أو أ=ب ؛
- أ أقل من ب ، أو < ب ؛
- أ أكبر من ب ، أو > ب.
من بين ثلاثة خيارات ، هناك خيار واحد فقط يمكن أن يكون عادلاً. القانون الأساسي الذي يحكم الأمر يقول: إذا كان أ < ب و ب < ج ، إذن أ < ج.
هناك أيضًا قوانين تتعلق بترتيب الضرب والجمع: إذا كانت a< هي b ، فإن a + c < b + c و ac< bc.
تعلمنا قوانين الحساب العمل مع الأرقام والعلامات والأقواس ، وتحويل كل شيء إلى سيمفونية متناغمة من الأرقام.
حساب التفاضل والتكامل الموضعي وغير الموضعي
يمكن القول أن الأرقام هي لغة رياضية ، يعتمد الكثير على ملاءمتها. هناك العديد من أنظمة الأرقام التي تختلف عن بعضها البعض مثل الحروف الهجائية للغات المختلفة.
دعونا ننظر في أنظمة الأرقام من وجهة نظر تأثير الموقع على القيمة الكميةالأرقام في هذا الموقف. لذلك ، على سبيل المثال ، النظام الروماني غير موضعي ، حيث يتم ترميز كل رقم بمجموعة معينة من الأحرف الخاصة: I / V / X / L / C / D / M. إنها متساوية ، على التوالي ، مع الأرقام 1 / 5/10/50/100/500/1000. في مثل هذا النظام ، لا يغير الرقم تعريفه الكمي اعتمادًا على الموضع الذي يوجد فيه: أولاً ، ثانيًا ، إلخ. للحصول على أرقام أخرى ، تحتاج إلى إضافة الأرقام الأساسية. على سبيل المثال:
- DCC=700.
- CCM=800.
نظام الأرقام الأكثر دراية لدينا باستخدام الأرقام العربية هو الموضع. في مثل هذا النظام ، يحدد رقم الرقم عدد الأرقام ، على سبيل المثال ، الأرقام المكونة من ثلاثة أرقام: 333 ، 567 ، إلخ. يعتمد وزن أي رقم على الموضع الذي يوجد فيه هذا الرقم أو ذاك ، على سبيل المثال ، الرقم 8 في الموضع الثاني له قيمة 80. هذا نموذجي للنظام العشري ، وهناك أنظمة موضعية أخرى ، على سبيل المثال ، ثنائي.
الحساب الثنائي
نحن على دراية بالنظام العشري ، الذي يتكون من أرقام مكونة من رقم واحد وأرقام متعددة الأرقام. الرقم الموجود على يسار العدد متعدد الأرقام أكبر بعشر مرات من الرقم الموجود على اليمين. لذلك ، نحن معتادون على قراءة 2 ، 17 ، 467 ، إلخ. القسم المسمى "الحساب الثنائي" له منطق ونهج مختلفان تمامًا. هذا ليس مفاجئًا ، لأن الحساب الثنائي تم إنشاؤه ليس لمنطق الإنسان ، ولكن لمنطق الكمبيوتر. إذا نشأ حساب الأرقام من عد العناصر ، والذي تم استخراجه أكثر من خصائص الكائن إلى الحساب "المجرد" ، فلن يعمل هذا مع الكمبيوتر. لتكون قادرة على المشاركةبمعرفته بجهاز كمبيوتر ، كان على الشخص أن يخترع مثل هذا النموذج من حساب التفاضل والتكامل.
الحساب الثنائي يعمل مع الأبجدية الثنائية التي تتكون من 0 و 1 فقط ، واستخدام هذه الأبجدية يسمى النظام الثنائي.
الفرق بين الحساب الثنائي والحساب العشري هو أن أهمية الموضع على اليسار لم تعد 10 ، بل مرتين. الأرقام الثنائية هي من 111 ، 1001 ، إلخ. كيف نفهم مثل هذه الأرقام؟ لذلك ، ضع في اعتبارك الرقم 1100:
- الرقم الأول على اليسار هو 18=8 ، تذكر أن الرقم الرابع ، مما يعني أنه يحتاج إلى الضرب في 2 ، نحصل على الموضع 8.
- الرقم الثاني 14=4 (الموضع 4)
- الرقم الثالث 02=0 (الموضع 2)
- الرقم الرابع 01=0 (الموضع 1)
- إذن العدد 1100=8 + 4 + 0 + 0=12.
أي عند الانتقال إلى رقم جديد على اليسار ، يتم مضاعفة أهميته في النظام الثنائي في 2 ، وفي النظام العشري - 10 - يحتوي هذا النظام على ناقص واحد: زيادة كبيرة جدًا في الأرقام اللازمة لكتابة الأرقام. يمكن العثور على أمثلة لتمثيل الأرقام العشرية كأرقام ثنائية في الجدول التالي.
الأرقام العشرية في شكل ثنائي موضحة أدناه.
يتم استخدام كل من النظامين الثماني والست عشري أيضًا.
هذا الحساب الغامض
ما هو الحساب ، "مرتين" أو الألغاز غير المكتشفة للأرقام؟ كما ترى ، قد يبدو الحساب بسيطًا للوهلة الأولى ، لكن سهولة استخدامه غير الواضحة خادعة. يمكن أيضًا دراستها من قبل الأطفال جنبًا إلى جنب مع العمة البومة منكارتون "طفل الحساب" ، ويمكنك الانغماس في بحث علمي عميق لنظام شبه فلسفي. في التاريخ ، انتقلت من عد الأشياء إلى عبادة جمال الأرقام. هناك شيء واحد مؤكد: مع وضع الفرضيات الأساسية للحساب ، يمكن لكل العلوم الاعتماد على كتفها القوية.
