قياس الكواكب هو فرع من فروع الهندسة التي تدرس خصائص الأشكال المستوية. لا يشمل ذلك المثلثات والمربعات والمستطيلات المعروفة فحسب ، بل يشمل أيضًا الخطوط المستقيمة والزوايا. في قياس الكواكب ، توجد أيضًا مفاهيم مثل الزوايا في الدائرة: المركزية والمنقوشة. لكن ماذا يقصدون؟
ما هي الزاوية المركزية؟
لفهم ماهية الزاوية المركزية ، تحتاج إلى تحديد دائرة. الدائرة عبارة عن مجموعة من جميع النقاط على مسافة متساوية من نقطة معينة (مركز الدائرة).
من المهم جدًا تمييزها عن الدائرة. يجب أن نتذكر أن الدائرة عبارة عن خط مغلق ، والدائرة هي جزء من مستوى يحدها. يمكن كتابة مضلع أو زاوية في دائرة.
الزاوية المركزية هي الزاوية التي يتطابق رأسها مع مركز الدائرة وتتقاطع أضلاعها مع الدائرة عند نقطتين. يسمى القوس الذي تحدد زاويته بنقاط التقاطع القوس الذي تقع عليه الزاوية المعطاة.
النظر في المثال1.
في الصورة الزاوية AOB مركزية ، لأن رأس الزاوية ومركز الدائرة نقطة واحدة O. وهي تقع على القوس AB الذي لا يحتوي على النقطة C.
كيف تختلف الزاوية المحيطية عن الزاوية المركزية؟
ومع ذلك ، بالإضافة إلى الزوايا المركزية ، هناك أيضًا زوايا محفورة. ما هو اختلافهم؟ تمامًا مثل الزاوية المركزية ، فإن الزاوية المحاطة بدائرة تستند إلى قوس معين. لكن رأسه لا يتطابق مع مركز الدائرة ولكنه يقع عليه.
لنأخذ المثال التالي
تسمى الزاوية ACB بزاوية مقيدة في دائرة تتمركز عند النقطة O. وتنتمي النقطة C إلى الدائرة ، أي تقع عليها. الزاوية تقع على القوس AB.
ما هي الزاوية المركزية
من أجل التعامل بنجاح مع المشاكل في الهندسة ، لا يكفي أن تكون قادرًا على التمييز بين الزوايا المنقوشة والمركزية. كقاعدة ، لحلها ، عليك أن تعرف بالضبط كيفية إيجاد الزاوية المركزية في الدائرة ، وأن تكون قادرًا على حساب قيمتها بالدرجات.
إذن ، الزاوية المركزية تساوي درجة قياس القوس الذي تستند عليه.
في الصورة ، الزاوية AOB تقع على القوس AB يساوي 66 درجة. لذا فإن الزاوية AOB تساوي أيضًا 66 درجة.
وهكذا فإن الزوايا المركزية القائمة على أقواس متساوية متساوية.
في الشكل ، القوس DC يساوي القوس AB. إذن الزاوية AOB تساوي الزاوية DOC
كيفية العثور على الزاوية المحيطية
قد يبدو أن الزاوية المحددة في الدائرة تساوي الزاوية المركزية ،الذي يعتمد على نفس القوس. ومع ذلك ، هذا خطأ فادح. في الواقع ، حتى بمجرد النظر إلى الرسم ومقارنة هذه الزوايا مع بعضها البعض ، يمكنك أن ترى أن مقاييس الدرجات سيكون لها قيم مختلفة. إذن ما هي الزاوية الموضحة في الدائرة؟
درجة قياس الزاوية المحيطية هي نصف القوس الذي تستند عليه ، أو نصف الزاوية المركزية إذا كانت تعتمد على نفس القوس.
دعونا ننظر في مثال. الزاوية ACB مبنية على قوس يساوي 66 درجة.
إذن الزاوية DIA=66 °: 2=33 °
دعونا نفكر في بعض نتائج هذه النظرية.
- الزوايا المحيطية ، إذا كانت تستند إلى نفس القوس أو الوتر أو الأقواس المتساوية ، فهي متساوية.
- إذا كانت الزوايا المحفورة تعتمد على نفس الوتر ، لكن رؤوسها تقع على جانبيها المتقابل ، فإن مجموع مقاييس الدرجات لهذه الزوايا هو 180 درجة ، لأنه في هذه الحالة تستند كلتا الزاويتين على الأقواس ، قياس الدرجة الكلية الذي هو 360 درجة (دائرة كاملة) ، 360 درجة: 2=180 درجة
- إذا كانت الزاوية المحيطية مبنية على قطر الدائرة المعينة ، فإن قياس درجتها هو 90 درجة ، لأن القطر يرسم قوسًا يساوي 180 درجة ، 180 درجة: 2=90 درجة
- إذا كانت الزوايا المركزية والدائرية في دائرة تستند إلى نفس القوس أو الوتر ، فإن الزاوية المحيطية تساوي نصف الزاوية المركزية.
أين يمكن العثور على المشاكل المتعلقة بهذا الموضوع؟ أنواعها وحلولها
بما أن الدائرة وخصائصها من أهم أقسام الهندسة ، وقياس الكواكب على وجه الخصوص ، فإن الزوايا المنقوشة والمركزية في الدائرة هي موضوع واسع بالتفصيلدرس في المناهج المدرسية. تم العثور على المهام المخصصة لخصائصهم في امتحان الدولة الرئيسي (OGE) وامتحان الحالة الموحدة (USE). كقاعدة عامة لحل هذه المسائل يجب إيجاد زوايا الدائرة بالدرجات
الزوايا على أساس نفس القوس
ربما يكون هذا النوع من المشاكل هو الأسهل ، لأنه لحلها تحتاج إلى معرفة خاصيتين بسيطتين فقط: إذا كانت كلتا الزاويتين منقوشة وتتكئان على نفس الوتر ، فإنهما متساويتان ، إذا كانت إحداهما متساوية المركزية ، فإن الزاوية المحيطية المقابلة تساوي نصفها. ومع ذلك ، عند حلها ، يجب أن يكون المرء حذرًا للغاية: في بعض الأحيان يكون من الصعب ملاحظة هذه الخاصية ، ويصل الطلاب ، عند حل مثل هذه المشكلات البسيطة ، إلى طريق مسدود. النظر في مثال.
المشكلة رقم 1
بالنظر إلى الدائرة المتمركزة عند النقطة O. الزاوية AOB هي 54 درجة. أوجد درجة قياس الزاوية DIA.
يتم حل هذه المهمة في خطوة واحدة. الشيء الوحيد الذي تحتاجه للعثور على إجابة سريعة هو ملاحظة أن القوس الذي يرتكز عليه كلا الركنين هو قوس مشترك. رؤية هذا ، يمكنك تطبيق الخاصية المألوفة بالفعل. الزاوية ACB تساوي نصف الزاوية AOB. إذن
1) AOB=54 °: 2=27 °.
الجواب: 54 °.
الزوايا بناءً على أقواس مختلفة من نفس الدائرة
في بعض الأحيان لا يتم تحديد حجم القوس الذي تقع عليه الزاوية المطلوبة بشكل مباشر في ظروف المشكلة. من أجل حسابها ، تحتاج إلى تحليل حجم هذه الزوايا ومقارنتها بالخصائص المعروفة للدائرة.
المشكلة 2
في دائرة متمركزة عند O ، الزاوية AOC120 درجة ، والزاوية AOB 30 درجة. اعثر على ركنك
بادئ ذي بدء ، تجدر الإشارة إلى أنه من الممكن حل هذه المشكلة باستخدام خصائص المثلثات متساوية الساقين ، لكن هذا سيتطلب المزيد من العمليات الحسابية. لذلك سنقوم هنا بتحليل الحل باستخدام خصائص الزوايا المركزية والمنقوشة في الدائرة.
إذن ، الزاوية AOC تقع على القوس AC وهي مركزية ، مما يعني أن القوس AC يساوي الزاوية AOC.
AC=120 °
بنفس الطريقة الزاوية AOB تقع على القوس AB.
AB=30 درجة.
بمعرفة هذا وقياس درجة الدائرة بأكملها (360 درجة) ، يمكنك بسهولة العثور على حجم القوس BC.
BC=360 ° - AC - AB
BC=360 ° - 120 ° - 30 °=210 °
رأس الزاوية CAB ، النقطة A ، يقع على الدائرة. ومن ثم ، فإن الزاوية CAB منقوشة وتساوي نصف القوس CB.
CAB زاوية=210 درجة: 2=110 °
الجواب: 110 °
مشاكل على أساس نسب القوس
بعض المشاكل لا تحتوي على بيانات عن الزوايا على الإطلاق ، لذلك يجب البحث عنها فقط على أساس النظريات المعروفة وخصائص الدائرة.
المشكلة 1
أوجد الزاوية المحددة في دائرة يدعمها وتر يساوي نصف قطر الدائرة المعينة.
إذا قمت برسم خطوط عقليًا تربط أطراف المقطع بمركز الدائرة ، فستحصل على مثلث. بعد فحصها ، يمكنك أن ترى أن هذه الخطوط هي نصف قطر الدائرة ، مما يعني أن جميع جوانب المثلث متساوية. نعلم أن كل زوايا مثلث متساوي الأضلاعتساوي 60 درجة. ومن ثم ، فإن القوس AB الذي يحتوي على رأس المثلث يساوي 60 درجة. من هنا نجد القوس AB الذي تستند إليه الزاوية المرغوبة.
AB=360 درجة - 60 درجة=300 درجة
الزاوية ABC=300 درجة: 2=150 درجة
الجواب: 150 °
المشكلة 2
في دائرة متمركزة عند النقطة O ، ترتبط الأقواس على أنها 3: 7. أوجد الزاوية المحيطية الأصغر.
بالنسبة للحل ، نشير إلى جزء واحد على أنه X ، ثم أحد القوسين يساوي 3X ، والثاني ، على التوالي ، 7X. مع العلم أن درجة قياس الدائرة هي 360 درجة ، يمكننا كتابة معادلة.
3X + 7X=360 °
10x=360 درجة
X=36 °
وفقًا للشرط ، تحتاج إلى إيجاد زاوية أصغر. من الواضح ، إذا كانت قيمة الزاوية تتناسب طرديًا مع القوس الذي تستند إليه ، فإن الزاوية المطلوبة (الأصغر) تقابل قوسًا يساوي 3X.
إذن الزاوية الأصغر هي (36 °3): 2=108 °: 2=54 °
الجواب: 54 °
المشكلة 3
في دائرة متمركزة عند النقطة O ، تكون الزاوية AOB 60 درجة وطول القوس الأصغر 50. احسب طول القوس الأكبر.
لحساب طول قوس أكبر ، تحتاج إلى عمل نسبة - كيف يرتبط القوس الأصغر بالقوس الأكبر. للقيام بذلك ، نحسب مقدار كلا القوسين بالدرجات. القوس الأصغر يساوي الزاوية التي تقع عليه. قياس درجته 60 درجة. القوس الأكبر يساوي الفرق بين درجة قياس الدائرة (تساوي 360 درجة بغض النظر عن البيانات الأخرى) والقوس الأصغر.
القوس الكبير هو 360 درجة - 60 درجة=300 درجة.
منذ 300 درجة: 60 درجة=5 ، يكون القوس الأكبر 5 أضعاف الأصغر.
قوس كبير=505=250
الجواب: 250
إذن ، بالطبع ، هناك آخرونطرق لحل مشاكل مماثلة ، ولكن جميعها تستند بطريقة ما إلى خصائص الزوايا المركزية والمنقوشة والمثلثات والدوائر. من أجل حلها بنجاح ، تحتاج إلى دراسة الرسم بعناية ومقارنته ببيانات المشكلة ، وكذلك أن تكون قادرًا على تطبيق معرفتك النظرية في الممارسة.
