رباعي محصور في دائرة. الشكل الرباعي ABCD مرسوم في دائرة

2024 مؤلف: Angel Austin | [email protected]. آخر تعديل: 2024-01-02 17:40

مع تقسيم الرياضيات إلى الجبر والهندسة ، تصبح المادة التعليمية أكثر صعوبة. تظهر شخصيات جديدة وحالاتهم الخاصة. لفهم المادة جيدًا ، من الضروري دراسة مفاهيم وخصائص الأشياء والنظريات ذات الصلة.

مفاهيم عامة

الشكل الرباعي يعني الشكل الهندسي. يتكون من 4 نقاط. علاوة على ذلك ، لا توجد 3 منهم على نفس الخط المستقيم. هناك مقاطع تربط النقاط المحددة في السلسلة.

يتم عرض جميع الأشكال الرباعية التي تمت دراستها في دورة الهندسة المدرسية في الرسم البياني التالي. الخلاصة: أي كائن من الشكل المعروض له خصائص الشكل السابق

يمكن أن يكون الشكل الرباعي من الأنواع التالية:

• متوازي الأضلاع. يتم إثبات التوازي بين الجانبين المتقابلين من خلال النظريات المقابلة.
• ترابيز. شكل رباعي ذو قواعد متوازية. الطرفان الآخران ليسوا كذلك.
• مستطيل. الرقم الذي يحتوي على جميع الزوايا الأربع=90º.
• المعين. شكل مع كل الجوانب متساوية.
• مربع. يجمع خصائص آخر شكلين. جميع الجوانب متساوية وجميع الزوايا صحيحة

التعريف الرئيسي لهذا الموضوع رباعي محفور في دائرة. يتكون مما يلي. هذا شكل توصف حوله دائرة. يجب أن يمر عبر جميع القمم. مجموع الزوايا الداخلية للشكل الرباعي المدرج في دائرة يصل إلى 360 درجة.

لا يمكن نقش كل شكل رباعي. هذا يرجع إلى حقيقة أن المنصفات العمودية للأضلاع الأربعة قد لا تتقاطع عند نقطة واحدة. هذا سيجعل من المستحيل العثور على مركز دائرة تحيط بـ 4-gon.

حالات خاصة

هناك استثناءات لكل قاعدة. لذلك ، في هذا الموضوع هناك أيضًا حالات خاصة:

• متوازي الأضلاع ، على هذا النحو ، لا يمكن إدراجه في دائرة. فقط حالته الخاصة. إنه مستطيل.
• إذا كانت جميع رؤوس المعين على الخط المحيط ، فهو مربع.
• جميع رؤوس شبه المنحرف على حدود الدائرة. في هذه الحالة يتحدثون عن شكل متساوي الساقين

خصائص شكل رباعي محفور في دائرة

قبل حل المشكلات البسيطة والمعقدة حول موضوع معين ، تحتاج إلى التحقق من معرفتك. بدون دراسة المادة التعليمية يستحيل حل مثال واحد.

نظرية 1

مجموع الزوايا المتقابلة للشكل الرباعي المدرج في دائرة هو 180º.

إثبات

معطى: الشكل الرباعي ABCD مرسوم في دائرة. مركزها هو النقطة O. نحتاج إلى إثبات أن_<A +_<C=180º و_<ب +_{<د=180 درجة.}

بحاجة إلى النظر في الأرقام المقدمة.

1. _{<A مدرج في دائرة متمركزة عند النقطة O. يتم قياسه من خلال ½ BCD (نصف قوس).}
2. _{< C مدرج في نفس الدائرة. يتم قياسه من خلال ½ BAD (نصف قوس).}
3. BAD و BCD يشكلان دائرة كاملة ، أي أن حجمهما 360 درجة.
4. _<A +_{<C تساوي نصف مجموع نصف الأقواس الممثلة.}
5. ومن ثم_<A +_{<C=360º / 2=180º.}

بطريقة مماثلة ، دليل_<B و_{<د. ومع ذلك ، هناك حل ثان للمشكلة.}

1. من المعروف أن مجموع الزوايا الداخلية للشكل الرباعي هو 360 درجة.
2. لأن_<A +_<C=180º. وفقًا لذلك ،_<B +_{<D=360º - 180º=180 درجة.}

نظرية 2

(غالبًا ما يطلق عليه معكوس) إذا كان رباعي الأضلاع_<A +_<C=180º و_{< B +}<_{D=180º (إذا كانا معاكسين) ، فيمكن وصف دائرة حول هذا الشكل.}

إثبات

مجموع الزوايا المتقابلة للشكل الرباعي ABCD يساوي 180º._<A +_<C=180º ،_<B + _{<D=180 درجة. نحتاج إلى إثبات أنه يمكن تحديد دائرة حول ABCD.}

من مسار الهندسة ، من المعروف أنه يمكن رسم دائرة من خلال 3 نقاط من الشكل الرباعي. على سبيل المثال ، يمكنك استخدام النقاط أ ، ب ، ج. أين تقع النقطة د؟ هناك 3 تخمينات:

1. ينتهي بها الأمر داخل الدائرة. في هذه الحالة D لا تلمس الخط
2. خارج الدائرة. إنها تخطو أبعد من الخط المحدد.
3. اتضح على شكل دائرة

يجب افتراض أن D داخل الدائرة. مكان الرأس المشار إليه تحتلها D´. اتضح الشكل الرباعي ABCD´.

النتيجة هي:_<B +_<D´=2d.

إذا واصلنا AD´ إلى التقاطع مع الدائرة الحالية المتمركزة عند النقطة E وقمنا بتوصيل E و C ، نحصل على رباعي ABCE منقوش. من النظرية الأولى تتبع المساواة:

وفقًا لقوانين الهندسة ، فإن التعبير غير صالح لأن_<D´ هو الزاوية الخارجية للمثلث CD´E. وفقًا لذلك ، يجب أن يكون أكثر من_{<E. من هذا يمكننا أن نستنتج أن D يجب أن يكون إما على الدائرة أو خارجها.}

وبالمثل ، يمكن إثبات خطأ الافتراض الثالث عندما يتجاوز D´´ حدود الشكل الموصوف.

من فرضيتين يتبع الفرضية الصحيحة الوحيدة. يقع Vertex D على خط الدائرة. بمعنى آخر ، يتطابق D مع E. ويترتب على ذلك أن جميع نقاط الشكل الرباعي تقع على السطر الموصوف.

من هؤلاءنظريتان ، والنتيجة الطبيعية تتبع:

يمكن كتابة أي مستطيل في دائرة. هناك نتيجة أخرى. يمكن إحاطة الدائرة بأي مستطيل

يمكن نقش شبه منحرف مع الوركين المتساويين في دائرة. بمعنى آخر ، يبدو الأمر كالتالي: يمكن وصف دائرة حول شبه منحرف بحواف متساوية

عدة أمثلة

المشكلة 1. الشكل الرباعي ABCD محفور في دائرة._<ABC=105º ،_<CAD=35º. تحتاج إلى العثور على_{<ABD. يجب كتابة الإجابة بالدرجات}

القرار. في البداية ، قد يبدو من الصعب العثور على الإجابة.

1. عليك أن تتذكر الخصائص من هذا الموضوع. وهي: مجموع الزوايا المتقابلة=180º.

_<ADC=180º -_{<ABC=180º - 105º=75º}

في الهندسة ، من الأفضل التمسك بالمبدأ: اعثر على كل ما تستطيع. مفيد لاحقا.

2. الخطوة التالية: استخدم نظرية مجموع المثلث

_<ACD=180º -_<CAD -_{<ADC=180º - 35º - 75º=70º}

تم تسجيل

_<ABD و_{<ACD. حسب الشرط ، فإنهم يعتمدون على قوس واحد. وفقًا لذلك ، لديهم قيم متساوية:}

_<ABD=_<ACD=70º

الإجابة:_<ABD=70º.

المشكلة 2. BCDE عبارة عن رباعي محفور في دائرة._<B=69º ،_<C=84º. مركز الدائرة هو النقطة E. ابحث عن -_<E.

القرار.

1. بحاجة للعثور على_{<E بواسطة النظرية 1.}

_<E=180º -_{<C=180º - 84º=96º}

الجواب:_<E=96º.

المشكلة 3. إعطاء شكل رباعي محفور في دائرة. تظهر البيانات في الشكل. من الضروري إيجاد قيم غير معروفة x ، y ، z.

الحل:

z=180º - 93º=87º (حسب النظرية 1)

x=½(58º + 106º)=82º

y=180º - 82º=98º (حسب النظرية 1)

الإجابة: z=87º ، x=82º ، y=98º.

المشكلة 4. يوجد رباعي محفور في دائرة. القيم موضحة في الشكل. أوجد س ، ص.

الحل:

س=180 درجة - 80 درجة=100 درجة

y=180º - 71º=109º

الإجابة: س=100º ، ص=109º.

مشاكل الحل المستقل

مثال 1. إعطاء دائرة. مركزها هو النقطة O. AC و BD أقطار._<ACB=38º. تحتاج إلى العثور على_{<AOD. يجب أن تكون الإجابة بالدرجات.}

مثال 2. إعطاء شكل رباعي ABCD ودائرة محيطة به._<ABC=110º ،_<ABD=70º. ابحث عن_{<CAD. اكتب إجابتك بالدرجات}

مثال 3. إعطاء دائرة ورباعي منقوش ABCD. زاويتان لهما 82 درجة و58º. تحتاج إلى إيجاد أكبر الزوايا المتبقية وتدوين الإجابة بالدرجات.

مثال 4. الشكل الرباعي ABCD معطى. الزوايا أ ، ب ، ج معطاة بنسبة 1: 2: 3. من الضروري إيجاد الزاوية D إذا كان من الممكن كتابة الشكل الرباعي المحدد في دائرة. يجب أن تكون الإجابة بالدرجات.

مثال 5. الشكل الرباعي ABCD معطى. تشكل جوانبها أقواسًا للدائرة المحصورة. قيم الدرجة AB و BC و CD و AD ، على التوالي ، هي: 78 درجة ، و 107 درجة ، و 39 درجة ، و 136 درجة. يجب أن تجد_{<من المربع المحدد واكتب الإجابة بالدرجات.}