نظرية فيثاغورس: مربع الوتر يساوي مجموع تربيع الساقين

2024 مؤلف: Angel Austin | [email protected]. آخر تعديل: 2023-12-17 05:16

يعرف كل طالب أن مربع الوتر يساوي دائمًا مجموع الأرجل ، كل منها مربعة. هذا البيان يسمى نظرية فيثاغورس. وهي من أشهر النظريات في علم المثلثات والرياضيات بشكل عام. النظر في الأمر بمزيد من التفصيل.

مفهوم المثلث القائم

قبل الشروع في النظر في نظرية فيثاغورس ، حيث يكون مربع الوتر مساويًا لمجموع تربيع الأرجل ، يجب أن نفكر في مفهوم وخصائص المثلث القائم الزاوية ، والتي من أجلها نظرية صالح

المثلث شكل مسطح بثلاث زوايا وثلاثة جوانب. المثلث القائم الزاوية ، كما يوحي اسمه ، له زاوية قائمة واحدة ، هذه الزاوية هي 90o.

من الخصائص العامة لجميع المثلثات ، من المعروف أن مجموع الزوايا الثلاث لهذا الشكل هو 180^o، مما يعني أنه بالنسبة لمثلث قائم الزاوية ، يكون مجموع زاويتان غير صحيحتين 180^o-90^o=90^o. الحقيقة الأخيرة تعني أن أي زاوية في مثلث قائم الزاوية ليست زاوية قائمة ستكون دائمًا أقل من 90^o.

الضلع الذي يقع مقابل الزاوية اليمنى يسمى الوتر. الضلعان الآخران هما أرجل المثلث ، يمكن أن يكونا متساويين ، أو يمكن أن يختلفا. من المعروف من علم المثلثات أنه كلما زادت الزاوية التي يقع ضدها ضلع في مثلث ، زاد طول هذا الضلع. هذا يعني أنه في مثلث قائم الزاوية ، سيكون الوتر (يقع مقابل الزاوية 90^o) دائمًا أكبر من أي من الأرجل (تقع مقابل الزوايا < 90^o).

تدوين رياضي لنظرية فيثاغورس

تقول هذه النظرية أن مربع الوتر يساوي مجموع الأرجل ، كل منها مربعة سابقًا. لكتابة هذه الصيغة رياضياً ، ضع في اعتبارك مثلث قائم الزاوية يكون فيه الجانبان a و b و c هما الساقان والوتر ، على التوالي. في هذه الحالة ، يمكن تمثيل النظرية ، التي يتم ذكرها على أن مربع الوتر يساوي مجموع مربعات الساقين ، بالصيغة التالية: c²=a 2^{+ b}2^{. من هنا ، يمكن الحصول على صيغ أخرى مهمة للممارسة: أ=(ج}2^{- ب}2 ^{) ، ب=√ (ج}2^{- a}2 ^{) و c=√ (a}2^{+ b}2 ^).

لاحظ أنه في حالة مثلث متساوي الأضلاع قائم الزاوية ، أي أ=ب ، الصيغة: مربع الوتر يساوي مجموع الأرجل ، كل منهاتربيع ، مكتوبًا رياضيًا على النحو التالي: c²=a²+ b²=2a^{2، مما يعني المساواة: c=a√2.}

الخلفية التاريخية

نظرية فيثاغورس ، التي تقول أن مربع الوتر يساوي مجموع الأرجل ، كل منها مربعة ، كانت معروفة قبل فترة طويلة من اهتمام الفيلسوف اليوناني الشهير بها. تؤكد العديد من أوراق البردي في مصر القديمة ، وكذلك الألواح الطينية الخاصة بالبابليين ، أن هذه الشعوب استخدمت الخاصية المميزة لجوانب المثلث القائم. على سبيل المثال ، تم بناء أحد الأهرامات المصرية الأولى ، هرم خفرع ، الذي يعود تاريخ بنائه إلى القرن السادس والعشرين قبل الميلاد (2000 سنة قبل حياة فيثاغورس) ، بناءً على معرفة نسبة العرض إلى الارتفاع في مثلث قائم الزاوية 3 × 4 × 5.

لماذا إذن سميت النظرية الآن باسم اليوناني؟ الجواب بسيط: فيثاغورس هو أول من يثبت هذه النظرية رياضيًا. الكتابات البابلية والمصرية الباقية تذكر فقط استخدامها ، لكنها لا تقدم أي دليل رياضي.

يُعتقد أن فيثاغورس أثبت النظرية قيد الدراسة باستخدام خصائص المثلثات المتشابهة ، والتي حصل عليها برسم ارتفاع في مثلث قائم الزاوية من الزاوية 90oإلى الوتر

مثال على استخدام نظرية فيثاغورس

ضع في اعتبارك مشكلة بسيطة: من الضروري تحديد طول الدرج المائل L ، إذا كان من المعروف أن ارتفاعه H=3متر ، والمسافة من الحائط الذي يرتكز عليه السلم إلى قدمه P=2.5 متر

في هذه الحالة ، H و P هي الأرجل ، و L هي الوتر. نظرًا لأن طول الوتر يساوي مجموع مربعات الأرجل ، نحصل على: L²=H²+ P 2^{، حيث L=√ (H}2^{+ P}2 ^{)=√ (3}2^{+ 2، 5}2 ^{)=3.905 متر أو 3 أمتار و 90.5 سم.}