المثلث هو مضلع بثلاثة أضلاع (ثلاث زوايا). في أغلب الأحيان ، يُرمز إلى الأضلاع بأحرف صغيرة تتوافق مع الأحرف الكبيرة التي تشير إلى الرؤوس المعاكسة. في هذا المقال سنتعرف على أنواع هذه الأشكال الهندسية ، النظرية التي تحدد مجموع زوايا المثلث.
المشاهدات بالزوايا
يتم تمييز الأنواع التالية من المضلعات ذات الثلاثة رؤوس:
- بزاوية حادة ، حيث تكون جميع الزوايا حادة ؛
- مستطيل ، له زاوية قائمة واحدة ، بينما الأضلاع التي تشكله تسمى الأرجل ، والجانب الذي يوضع مقابل الزاوية اليمنى يسمى الوتر ؛
- منفرجة عندما يكون أحد الزوايا منفرجة ؛
- متساوي الساقين ، حيث يكون الضلعان متساويين ، ويطلق عليهما الجانب ، والثالث هو قاعدة المثلث ؛
- متساوي الأضلاع ، حيث أن الأضلاع الثلاثة متساوية.
خصائص
يسلطون الضوء على الخصائص الرئيسية التي تميز كل نوع من أنواع المثلثات:
- مقابل الجانب الأكبر توجد دائمًا زاوية أكبر ، والعكس صحيح ؛
- الأضلاع المتقابلة ذات الحجم المتساوي زوايا متساوية ، والعكس صحيح ؛
- أي مثلث له زاويتان حادتان ؛
- الزاوية الخارجية أكبر من أي زاوية داخلية غير مجاورة لها ؛
- مجموع أي زاويتين دائمًا أقل من 180 درجة ؛
- الزاوية الخارجية تساوي مجموع الزاويتين الأخريين التي لا تتقاطع معها
مجموع المثلث لنظرية الزوايا
تنص النظرية على أنه إذا جمعت جميع زوايا شكل هندسي معين ، والذي يقع على المستوى الإقليدي ، فسيكون مجموعهم 180 درجة. دعونا نحاول إثبات هذه النظرية.
لنحصل على مثلث اعتباطي برؤوس KMN
من خلال الرأس M ، ارسم خطًا مستقيمًا موازيًا للخط المستقيم KN (يسمى هذا الخط أيضًا الخط الإقليدي المستقيم). نضع علامة على النقطة A عليها بحيث تقع النقطتان K و A على جوانب مختلفة من الخط المستقيم MN. نحصل على زوايا متساوية AMN و KNM ، والتي ، مثل الزوايا الداخلية ، تقع بالعرض وتتشكل بواسطة قاطع MN مع خطوط مستقيمة KN و MA ، والتي تكون متوازية. ويترتب على ذلك أن مجموع زوايا المثلث الواقع عند الرأسين M و H يساوي حجم الزاوية KMA. تشكل الزوايا الثلاث المجموع ، والذي يساوي مجموع الزوايا KMA و MKN. لأن هذه الزوايا داخلية من جانب واحد بالنسبة لخطوط مستقيمة متوازية KN و MA مع KM قاطع ، مجموعهما 180 درجة. أثبتت النظرية.
النتيجة
النتيجة الطبيعية التالية من النظرية المثبتة أعلاه: أي مثلث له زاويتان حادتان. لإثبات ذلك ، لنفترض أن شكلًا هندسيًا له زاوية حادة واحدة فقط. يمكن أيضًا افتراض أن أيا من الزوايا ليست حادة. في هذه الحالة ، يجب أن تكون هناك زاويتان على الأقل تساويان 90 درجة أو أكبر منهما. ولكن بعد ذلك سيكون مجموع الزوايا أكبر من 180 درجة. لكن هذا لا يمكن أن يكون ، لأنه وفقًا للنظرية ، يكون مجموع زوايا المثلث 180 درجة - لا أكثر ولا أقل. هذا ما يجب إثباته.
خاصية الزاوية الخارجية
ما مجموع زوايا المثلث الخارجية؟ يمكن الإجابة على هذا السؤال بإحدى طريقتين. الأول هو أنه من الضروري إيجاد مجموع الزوايا التي تؤخذ واحدة عند كل رأس ، أي ثلاث زوايا. يشير الثاني إلى أنك بحاجة إلى إيجاد مجموع الزوايا الست عند الرءوس. أولاً ، دعنا نتعامل مع الخيار الأول. إذن ، يحتوي المثلث على ستة زوايا خارجية - اثنتان في كل رأس.
لكل زوج زوايا متساوية لأنها عمودية:
∟1=∟4، ∟2=∟5، ∟3=∟6.
علاوة على ذلك ، من المعروف أن الزاوية الخارجية للمثلث تساوي مجموع زاويتين داخليتين لا تتقاطعان معه. لذلك ،
∟1=A + C، ∟2=A + ∟B، ∟3=B + C.
ومن هذا اتضح أن مجموع الخارجيةالزوايا ، التي تؤخذ واحدة عند كل رأس ، ستكون مساوية لـ:
∟1 + ∟2 + ∟3=A + C + ∟A + B + ∟B + C=2 x (A + ∟B + C).
بالنظر إلى أن مجموع الزوايا يساوي 180 درجة ، فيمكن القول إن ∟A + ∟B + C=180 درجة. وهذا يعني أن ∟1 + ∟2 + ∟3=2 × 180 درجة=360 درجة. إذا تم استخدام الخيار الثاني ، فسيكون مجموع الزوايا الست ، على التوالي ، ضعف الحجم. أي أن مجموع الزوايا الخارجية للمثلث سيكون:
∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + 6=2 x (∟1 + ∟2 + ∟2)=720 درجة.
مثلث يمين
ما مجموع الزوايا الحادة للمثلث القائم؟ تأتي إجابة هذا السؤال ، مرة أخرى ، من النظرية التي تنص على أن مجموع زوايا المثلث يساوي 180 درجة. وبياننا (الخاصية) يبدو كالتالي: في المثلث القائم الزاوية ، مجموع الزوايا الحادة 90 درجة. دعونا نثبت صحتها
لنحصل على مثلث KMN ، حيث ∟Н=90 درجة. من الضروري إثبات أن ∟K + M=90 درجة.
إذن ، وفقًا لنظرية مجموع الزاوية ∟К + ∟М + ∟Н=180 درجة. حالتنا تقول أن ∟Н=90 درجة. لذلك اتضح أن ∟K + M + 90 °=180 درجة. أي ∟K + M=180 درجة - 90 درجة=90 درجة. هذا ما كان علينا إثباته.
بالإضافة إلى الخصائص المذكورة أعلاه للمثلث الأيمن ، يمكنك إضافة ما يلي:
- الزوايا التي تقع على الساقين حادة
- الوتر مثلث أكثر من أي من الأرجل ؛
- مجموع الساقين أكبر من الوتر ؛
- ساقالمثلث الذي يقع مقابل زاوية 30 درجة يساوي نصف الوتر أي يساوي نصفه.
كخاصية أخرى لهذا الشكل الهندسي ، يمكن تمييز نظرية فيثاغورس. صرحت أنه في مثلث بزاوية 90 درجة (مستطيل) ، مجموع مربعات الساقين يساوي مربع الوتر.
مجموع زوايا المثلث متساوي الساقين
قلنا سابقًا أن متساوي الساقين هو مضلع له ثلاثة رؤوس ، يحتوي على ضلعين متساويين. هذه الخاصية لشكل هندسي معين معروفة: الزوايا الموجودة في قاعدته متساوية. دعنا نثبت ذلك
خذ المثلث KMN وهو متساوي الساقين ، KN هو قاعدته
نحن مطالبون بإثبات أن ∟К=∟Н. لنفترض أن MA هو منصف المثلث KMN. مثلث MCA ، مع الأخذ بعين الاعتبار العلامة الأولى للمساواة ، يساوي مثلث MCA. على وجه التحديد ، بشرط أن يكون KM=NM ، MA جانبًا شائعًا ، ∟1=∟2 ، نظرًا لأن MA هو منصف. باستخدام حقيقة أن هذين المثلثين متساويان ، يمكننا القول أن ∟K=∟Н. لذلك تم إثبات النظرية.
لكننا مهتمون بمجموع زوايا المثلث (متساوي الساقين). نظرًا لأنه في هذا الصدد ليس له خصائصه الخاصة ، فسنبدأ من النظرية التي تم النظر فيها سابقًا. أي يمكننا القول أن ∟K + M + H=180 درجة ، أو 2 × ∟K + M=180 درجة (منذ K=H). لن نثبت هذه الخاصية ، حيث تم إثبات نظرية مثلث مجموع نفسها من قبل.
باستثناء ما تمت مناقشتهخصائص حول زوايا المثلث ، هناك أيضًا مثل هذه العبارات المهمة:
- في مثلث متساوي الساقين ، الارتفاع الذي تم إنزاله إلى القاعدة هو الوسيط ومنصف الزاوية بين الأضلاع المتساوية وكذلك محور التماثل لقاعدته ؛
- متوسطات (منصفات ، ارتفاعات) يتم رسمها على جوانب مثل هذا الشكل الهندسي متساوية.
مثلث متساوي الأضلاع
يطلق عليه أيضًا الحق ، إنه المثلث الذي تتساوى فيه جميع الجوانب. لذلك ، فإن الزوايا متساوية أيضًا. كل واحدة 60 درجة. دعونا نثبت هذه الخاصية.
افترض أن لدينا مثلث KMN. نحن نعلم أن KM=NM=KN. وهذا يعني أنه وفقًا لخاصية الزوايا الواقعة على القاعدة في مثلث متساوي الساقين ، ∟К=∟М=∟Н. بما أن مجموع زوايا المثلث ، وفقًا للنظرية ، هو ∟К + ∟М + ∟Н=180 درجة ، إذن 3 × ∟К=180 درجة أو ∟К=60 درجة ، ∟М=60 درجة ، Н=60 درجة. هكذا ثبت البيان.
كما ترى من الدليل أعلاه بناءً على النظرية ، فإن مجموع زوايا مثلث متساوي الأضلاع ، مثل مجموع زوايا أي مثلث آخر ، هو 180 درجة. لا داعي لإثبات هذه النظرية مرة أخرى.
هناك أيضًا خصائص مميزة لمثلث متساوي الأضلاع:
- الوسيط ، والمنصف ، والارتفاع في مثل هذا الشكل الهندسي هي نفسها ، ويتم حساب طولها على النحو التالي (أ س √3): 2 ؛
- إذا وصفت دائرة حول مضلع معين ، فسيكون نصف قطرهايساوي (أ س √3): 3 ؛
- إذا قمت بتسجيل دائرة في مثلث متساوي الأضلاع ، فسيكون نصف قطرها (أ س √3): 6 ؛
- يتم حساب مساحة هذا الشكل الهندسي بالصيغة: (a2 x √3): 4.
المثلث الزاوي
حسب تعريف المثلث المنفرج ، تقع إحدى زواياه بين 90 و 180 درجة. لكن بالنظر إلى أن الزاويتين الأخريين لهذا الشكل الهندسي حادتان ، فيمكننا استنتاج أنهما لا تتجاوزان 90 درجة. لذلك ، يعمل مجموع نظرية الزوايا في المثلث عند حساب مجموع الزوايا في المثلث المنفرج. اتضح أنه يمكننا القول بأمان ، استنادًا إلى النظرية المذكورة أعلاه ، أن مجموع زوايا المثلث المنفرج يساوي 180 درجة. مرة أخرى ، هذه النظرية لا تحتاج إلى إعادة إثبات.
