المثلث هو أحد الأشكال الهندسية الأكثر شيوعًا ، والتي نعرفها بالفعل في المدرسة الابتدائية. يواجه كل طالب في دروس الهندسة مسألة كيفية العثور على مساحة المثلث. إذن ، ما هي ميزات العثور على مساحة يمكن تمييز الشكل المعطى؟ في هذه المقالة ، سننظر في الصيغ الأساسية اللازمة لإكمال مثل هذه المهمة ، وكذلك تحليل أنواع المثلثات.
أنواع المثلثات
يمكنك إيجاد مساحة المثلث بطرق مختلفة تمامًا ، لأنه في الهندسة يوجد أكثر من نوع واحد من الأشكال يحتوي على ثلاث زوايا. تشمل هذه الأنواع:
- مثلث حاد.
- زاوية بزاوية.
- متساوي الأضلاع (صحيح).
- مثلث يمين
- متساوي الساقين.
دعونا نلقي نظرة فاحصة على كل نوع من أنواع المثلثات الحالية.
حادمثلث
يعتبر هذا الشكل الهندسي الأكثر شيوعًا في حل المشكلات الهندسية. عندما يصبح من الضروري رسم مثلث عشوائي ، يأتي هذا الخيار للإنقاذ.
في المثلث الحاد ، كما يوحي الاسم ، تكون جميع الزوايا حادة ويصل مجموعها إلى 180 درجة.
المثلث الزاوي
هذا المثلث شائع جدًا أيضًا ، ولكنه أقل شيوعًا إلى حد ما من المثلث ذي الزاوية الحادة. على سبيل المثال ، عند حل المثلثات (أي أنك تعرف العديد من جوانبها وزواياها وتحتاج إلى إيجاد العناصر المتبقية) ، تحتاج أحيانًا إلى تحديد ما إذا كانت الزاوية منفرجة أم لا. جيب تمام الزاوية المنفرجة هو رقم سالب.
في مثلث منفرج ، تتجاوز قيمة إحدى الزوايا 90 درجة ، لذلك يمكن أن تأخذ الزاويتان المتبقيتان قيمًا صغيرة (على سبيل المثال ، 15 درجة أو حتى 3 درجات).
للعثور على مساحة مثلث من هذا النوع ، تحتاج إلى معرفة بعض الفروق الدقيقة ، والتي سنتحدث عنها لاحقًا.
المثلثات المنتظمة والمتساوية
المضلع المنتظم هو شكل يحتوي على عدد n من الزوايا وجميع الأضلاع والزوايا متساوية. هذا هو المثلث القائم. بما أن مجموع زوايا المثلث يساوي 180 درجة ، فإن كل زاوية من الزوايا الثلاث تساوي 60 درجة.
المثلث العادي ، بسبب خصائصه ، يسمى أيضًا شكل متساوي الأضلاع.
ومن الجدير بالذكر أيضًا أنه فيلا يمكن نقش المثلث العادي إلا بدائرة واحدة ويمكن حصر دائرة واحدة فقط حوله ، وتقع مراكزهم عند نقطة واحدة.
إلى جانب النوع متساوي الأضلاع ، يمكن للمرء أيضًا تحديد مثلث متساوي الساقين ، والذي يختلف قليلاً عنه. في مثل هذا المثلث ، ضلعان وزاويتان متساويتان مع بعضهما البعض ، والضلع الثالث (الذي تجاور زواياه متساوية) هو القاعدة.
يوضح الشكل مثلث متساوي الساقين DEF ، الزاويتان D و F متساويتان ، و DF هو القاعدة.
مثلث يمين
سمي المثلث القائم الزاوية لأن إحدى زواياه هي زاوية قائمة ، أي تساوي 90 درجة. مجموع الزاويتين الأخريين يصل إلى 90 درجة.
أكبر ضلع في مثل هذا المثلث ، يقع مقابل الزاوية 90 درجة ، هو الوتر ، بينما الضلعان الآخران هما الأرجل. بالنسبة لهذا النوع من المثلثات ، فإن نظرية فيثاغورس قابلة للتطبيق:
مجموع مربعات أطوال الساقين يساوي مربع طول الوتر.
يوضح الشكل مثلثًا قائمًا BAC مع وتر المثلث AC والساقين AB و BC.
لإيجاد مساحة المثلث بزاوية قائمة ، تحتاج إلى معرفة القيم العددية لأرجله.
دعنا ننتقل إلى الصيغ لإيجاد مساحة هذا الشكل.
صيغ المنطقة الأساسية
في الهندسة ، هناك صيغتان مناسبتان لإيجاد مساحة معظم أنواع المثلثات ، وهما المثلثات الحادة الزاوية والمنفرجة الزاوية والعادية ومثلثات متساوية الساقين. دعونا نحلل كل منهم.
بالجانب والارتفاع
هذه الصيغة عالمية لإيجاد مساحة الشكل التي ندرسها. للقيام بذلك ، يكفي معرفة طول الضلع وطول الارتفاع المرسوم عليه. تبدو الصيغة نفسها (نصف حاصل ضرب القاعدة والارتفاع) كما يلي:
S=½AH،
حيث A هو جانب المثلث المحدد و H هو ارتفاع المثلث.
على سبيل المثال ، لإيجاد مساحة مثلث حاد الزاوية ACB ، تحتاج إلى ضرب جانبه AB في ارتفاع القرص المضغوط وقسمة القيمة الناتجة على اثنين.
ومع ذلك ، ليس من السهل دائمًا العثور على منطقة المثلث بهذه الطريقة. على سبيل المثال ، لاستخدام هذه الصيغة لمثلث منفرج الزاوية ، عليك الاستمرار في أحد أضلاعه وبعد ذلك فقط ارسم ارتفاعًا له.
في الممارسة العملية ، يتم استخدام هذه الصيغة في كثير من الأحيان أكثر من غيرها.
على جانبين وركن
هذه الصيغة ، مثل الصيغة السابقة ، مناسبة لمعظم المثلثات ومعناها هي نتيجة لصيغة إيجاد المساحة بجانب المثلث وارتفاعه. أي أن الصيغة قيد الدراسة يمكن اشتقاقها بسهولة من الصيغة السابقة. تبدو صياغتها كما يلي:
S=½sinOAB،
حيث A و B هما أضلاع مثلث و O هي الزاوية بين الجانبين A و B
تذكر أنه يمكن عرض جيب الزاوية في جدول خاص سمي على اسم عالم الرياضيات السوفيتي البارز في إم براديس.
والآن ننتقل إلى الصيغ الأخرى ،مناسب فقط لأنواع استثنائية من المثلثات.
مساحة المثلث الأيمن
بالإضافة إلى الصيغة العامة ، والتي تتضمن الحاجة إلى رسم ارتفاع في مثلث ، يمكن العثور على منطقة المثلث الذي يحتوي على زاوية قائمة من ساقيه.
هكذا مساحة المثلث الذي يحتوي على زاوية قائمة هي نصف حاصل ضرب ساقيه ، أو:
S=½أب ،
حيث a و b هي أرجل مثلث قائم الزاوية.
مثلث منتظم
يختلف هذا النوع من الأشكال الهندسية في أنه يمكن العثور على مساحته بالقيمة المحددة لواحد فقط من جوانبها (حيث أن جميع جوانب المثلث العادي متساوية). لذلك ، بعد أن حققت مهمة "إيجاد مساحة المثلث عندما تكون الأضلاع متساوية" ، تحتاج إلى استخدام الصيغة التالية:
S=A2 √3 / 4 ،
حيث A هو جانب مثلث متساوي الأضلاع.
صيغة هيرون
الخيار الأخير لإيجاد مساحة المثلث هو صيغة هيرون. لاستخدامها ، تحتاج إلى معرفة أطوال الأضلاع الثلاثة للشكل. تبدو صيغة هيرون كما يلي:
S=√p (p - a) (p - b) (p - c) ،
حيث a و b و c هي جوانب هذا المثلث.
في بعض الأحيان المهمة المعطاة: "مساحة المثلث العادي - أوجد طول ضلعه." في هذه الحالة ، تحتاج إلى استخدام الصيغة المعروفة بالفعل لإيجاد مساحة المثلث العادي واشتقاق قيمة الضلع (أو مربعه) منه:
A2=4S / √3.
مشاكل الامتحان
في مهام GIAهناك العديد من الصيغ في الرياضيات. بالإضافة إلى ذلك ، غالبًا ما يكون من الضروري إيجاد مساحة المثلث على ورق متقلب.
في هذه الحالة ، من الأنسب رسم الارتفاع إلى أحد جانبي الشكل وتحديد طوله بالخلايا واستخدام الصيغة العامة لإيجاد المنطقة:
S=½AH.
إذن ، بعد دراسة الصيغ الواردة في المقال ، لن تواجهك مشاكل في إيجاد منطقة مثلث من أي نوع.
