المنشور السداسي وخصائصه الرئيسية

2024 مؤلف: Angel Austin | [email protected]. آخر تعديل: 2024-01-02 17:40

الهندسة المكانية هي دراسة المنشورات. خصائصها الهامة هي الحجم الموجود فيها ، ومساحة السطح وعدد العناصر المكونة لها. في المقال ، سننظر في كل هذه الخصائص لمنشور سداسي.

ما المنشور الذي نتحدث عنه؟

المنشور السداسي هو شكل يتكون من مضلعين بستة جوانب وستة زوايا ، وستة متوازي أضلاع تربط الأشكال السداسية المميزة في شكل هندسي واحد.

يوضح الشكل مثالا على هذا المنشور.

يسمى السداسي المميز باللون الأحمر بقاعدة الشكل. من الواضح أن عدد قاعدته يساوي اثنين ، وكلاهما متطابق. تسمى الوجوه الصفراء المخضرة للمنشور بجوانبها. في الشكل يتم تمثيلهم بالمربعات ، لكن بشكل عام هم متوازي الأضلاع.

يمكن أن يكون المنشور السداسي مائلاً ومستقيمًا. في الحالة الأولى ، الزوايا بين القاعدة والجوانب ليست مستقيمة ، في الحالة الثانية تساوي 90o. أيضًا ، يمكن أن يكون هذا المنشور صحيحًا وغير صحيح. سداسية منتظمةيجب أن يكون المنشور مستقيمًا وله شكل سداسي منتظم في القاعدة. المنشور أعلاه في الشكل يلبي هذه المتطلبات ، لذلك يطلق عليه الصحيح. علاوة على ذلك في المقال سوف ندرس فقط خصائصه ، كحالة عامة.

العناصر

بالنسبة لأي منشور ، تكون عناصره الرئيسية هي الحواف والوجوه والرؤوس. المنشور السداسي ليس استثناء. يسمح لك الشكل أعلاه بحساب عدد هذه العناصر. إذن ، نحصل على 8 أوجه أو جوانب (قاعدتان وستة متوازي أضلاع جانبية) ، وعدد الرؤوس هو 12 (6 رؤوس لكل قاعدة) ، وعدد حواف المنشور السداسي هو 18 (ستة جوانب و 12 للقواعد)

في خمسينيات القرن الثامن عشر ، أسس ليونارد أويلر (عالم رياضيات سويسري) لجميع متعددات الوجوه ، والتي تشمل المنشور ، وهي علاقة رياضية بين أرقام العناصر المشار إليها. تبدو هذه العلاقة كما يلي:

عدد الحواف=عدد الوجوه + عدد الرؤوس - 2.

الأرقام أعلاه تلبي هذه الصيغة.

أقطار المنشور

يمكن تقسيم جميع الأقطار في المنشور السداسي إلى نوعين:

• من ترقد في سطوح وجوهها
• تلك التي تنتمي إلى الحجم الكامل للشكل.

الصورة أدناه توضح كل هذه الأقطار.

يمكن ملاحظة أن D₁هو قطري جانبي ، D₂و D₃الأقطار المنشور بأكمله ، D₄و D_{5- أقطار القاعدة.}

أطوال أقطار الجانبين متساوية مع بعضها البعض.من السهل حسابها باستخدام نظرية فيثاغورس المعروفة. لنفترض أن أ هو طول ضلع السداسي ، ب طول الحافة الجانبية. ثم القطر له الطول:

D₁=√ (a²+ b^2).

قطري D₄سهل التحديد أيضًا. إذا تذكرنا أن الشكل السداسي المنتظم يناسب دائرة نصف قطرها a ، فإن D_{4هو قطر هذه الدائرة ، أي نحصل على الصيغة التالية:}

D_4=2أ

قطري D₅من الصعب إلى حد ما العثور على قواعد. للقيام بذلك ، فكر في مثلث متساوي الأضلاع ABC (انظر الشكل). بالنسبة له AB=BC=a ، فإن الزاوية ABC تساوي 120^{o. إذا خفضنا الارتفاع من هذه الزاوية (سيكون أيضًا المنصف والمتوسط) ، فإن نصف قاعدة التيار المتردد سيساوي:}

AC / 2=ABsin (60o)=أ√3 / 2.

جانب التيار المتردد هو قطري D_{5، لذلك نحصل على:}

D_5=AC=√3أ.

الآن يبقى إيجاد الأقطار D₂و D_{3لمنشور سداسي منتظم. للقيام بذلك ، عليك أن ترى أنها هي الوتر للمثلث القائم الزاوية. باستخدام نظرية فيثاغورس ، نحصل على:}

D₂=√ (D₄²+ b^{2)=√ (4a}2^{+ b}2 ^{) ؛}

D₃=√ (D₅²+ b^{2)=√ (3a}2^{+ b}2 ^).

وبالتالي ، فإن أكبر قطري لأي قيم من a و b هود_2.

مساحة السطح

لفهم ما هو على المحك ، أسهل طريقة هي النظر في تطوير هذا المنشور. يظهر في الصورة

يمكن ملاحظة أنه لتحديد مساحة جميع جوانب الشكل قيد الدراسة ، من الضروري حساب مساحة المربع الرباعي ومساحة الشكل السداسي بشكل منفصل ، ثم ضربهما من خلال الأعداد الصحيحة المقابلة التي تساوي عدد كل n-gon في المنشور ، وأضف النتائج. السداسيات 2 ، المستطيلات 6.

لمساحة المستطيل نحصل على:

S_1=أب

ثم مساحة السطح الجانبي هي:

S_2=6أب.

لتحديد مساحة الشكل السداسي ، أسهل طريقة هي استخدام الصيغة المقابلة ، والتي تبدو مثل:

S=n / 4a2 ctg (pi / n).

استبدال الرقم n يساوي 6 في هذا التعبير ، نحصل على مساحة سداسي واحد:

S₆=6/4a² ctg (pi / 6)=3√3 / 2a2^.

يجب ضرب هذا التعبير في اثنين للحصول على مساحة قواعد المنشور:

S_os=3√3a^2.

يبقى إضافة S_osو S_{2للحصول على مساحة السطح الإجمالية للشكل:}

S=S_{نظام التشغيل}+ S₂=3√3a^{2+ 6أب=3أ(√3أ + 2ب).}

حجم المنشور

بعد صيغةمساحة القاعدة السداسية ، يكون حساب الحجم الموجود في المنشور المعني سهلاً مثل تقشير الكمثرى. للقيام بذلك ، تحتاج فقط إلى ضرب مساحة القاعدة الواحدة (السداسي) في ارتفاع الشكل ، الذي يساوي طوله طول الحافة الجانبية. نحصل على الصيغة:

V=S₆ b=3√3 / 2a^{2 b.}

لاحظ أن منتج القاعدة والارتفاع يعطيان قيمة حجم أي منشور على الإطلاق ، بما في ذلك المنشور المائل. ومع ذلك ، في الحالة الأخيرة ، يكون حساب الارتفاع معقدًا ، لأنه لن يكون مساويًا لطول الضلع الجانبي. أما بالنسبة للمنشور السداسي المنتظم ، فإن قيمة حجمه هي دالة لمتغيرين: الجانبين أ وب.