جاء كل طالب في دراسة القياس الفراغي في المدرسة الثانوية عبر مخروط. سمتان مهمتان لهذا الشكل المكاني هما مساحة السطح والحجم. في هذه المقالة سوف نوضح كيفية إيجاد حجم المخروط الدائري.
مخروط دائري كرقم دوران للمثلث الأيمن
قبل الانتقال مباشرة إلى موضوع المقال ، من الضروري وصف المخروط من وجهة نظر هندسية.
يجب أن يكون هناك بعض المثلث الصحيح. إذا قمت بتدويرها حول أي من الأرجل ، فستكون نتيجة هذا الإجراء هي الشكل المطلوب ، كما هو موضح في الشكل أدناه.
هنا ، الساق AB جزء من محور المخروط ، وطولها يتوافق مع ارتفاع الشكل. الضلع الثاني (الجزء CA) سيكون نصف قطر المخروط. أثناء الدوران ، سيصف الدائرة التي تحد قاعدة الشكل. يُطلق على الوتر BC اسم المصفوفة المولدة للشكل ، أو مصفوفة توليدها. النقطة B هي الرأس الوحيد للمخروط.
نظرًا لخصائص المثلث ABC ، يمكننا كتابة العلاقة بين المولد g ونصف القطر r والارتفاع h على النحو التاليالمساواة:
g2=h2+ r2
هذه الصيغة مفيدة في حل العديد من المشاكل الهندسية مع الشكل المعني
صيغة حجم المخروط
حجم أي شكل مكاني هو مساحة الفضاء ، والتي تحددها أسطح هذا الشكل. هناك نوعان من هذه الأسطح لمخروط:
- الوحشي أو المخروطي. يتكون من جميع الأجيال.
- مؤسسة. في هذه الحالة هي دائرة
احصل على صيغة تحديد حجم المخروط. للقيام بذلك ، قمنا بتقطيعه عقليًا إلى عدة طبقات موازية للقاعدة. كل طبقة لها سمك dx يميل إلى الصفر. المساحة Sxللطبقة على مسافة x من أعلى الشكل تساوي التعبير التالي:
Sx=pir2 x2/ h2
يمكن التحقق من صحة هذا التعبير بشكل حدسي عن طريق استبدال القيم x=0 و x=h. في الحالة الأولى ، نحصل على مساحة تساوي صفرًا ، وفي الحالة الثانية ، ستكون مساوية لمساحة القاعدة المستديرة.
لتحديد حجم المخروط ، تحتاج إلى إضافة "أحجام" صغيرة لكل طبقة ، أي يجب استخدام حساب التفاضل والتكامل المتكامل:
V=∫0h(pir2 x 2/ h2 dx)=pir2/ h2 ∫0h(x2 dx)
بحساب هذا التكامل ، نصل إلى الصيغة النهائية لمخروط دائري:
الخامس=1/3pir2 h
من المثير للاهتمام ملاحظة أن هذه الصيغة مشابهة تمامًا للصيغة المستخدمة لحساب حجم الهرم التعسفي. هذه المصادفة ليست صدفة ، لأن أي هرم يتحول إلى مخروط عندما يزداد عدد حوافه إلى ما لا نهاية.
مشكلة حساب الحجم
من المفيد إعطاء مثال لحل المشكلة ، والذي سيوضح استخدام الصيغة المشتقة للمجلد V.
بمخروط دائري مساحة قاعدته 37 سم2، ومولد الشكل هو ثلاثة أضعاف نصف القطر. ما هو حجم المخروط؟
لنا الحق في استخدام صيغة الحجم إذا عرفنا كميتين: الارتفاع h ونصف القطر r. لنجد الصيغ التي تحددها وفقًا لحالة المشكلة
يمكن حساب نصف القطر r من خلال معرفة مساحة الدائرة So، لدينا:
So=pir2=>
r=√ (So/ pi)
باستخدام حالة المشكلة ، نكتب المساواة للمولد g:
g=3r=3√ (So/ pi)
معرفة صيغ r و g ، وحساب الارتفاع h:
h=√ (g2- r2)=√ (9So/ pi - So/ pi)=√ (8So/ pi)
وجدنا جميع المعلمات الضرورية. حان الوقت الآن لإدخالهم في صيغة V:
V=1/3pir2 h=1/3piSo/ pi√ (8So/ pi)=So/ 3√ (8So/ pi)
يبقى ليحل محلمنطقة القاعدة Soوحساب قيمة الحجم: V=119.75 cm3.
