حتى في المدرسة ، درس كل منا المعادلات ، وبالتأكيد نظم المعادلات. لكن لا يعرف الكثير من الناس أن هناك عدة طرق لحلها. اليوم سوف نحلل بالتفصيل جميع طرق حل نظام المعادلات الجبرية الخطية ، والتي تتكون من أكثر من اثنين من المساواة.
التاريخ
من المعروف اليوم أن فن حل المعادلات وأنظمتها نشأت في بابل القديمة ومصر. ومع ذلك ، ظهرت المساواة في شكلها المعتاد بعد ظهور علامة المساواة "=" ، والتي تم تقديمها في عام 1556 من قبل عالم الرياضيات الإنجليزي ريكورد. بالمناسبة ، تم اختيار هذه العلامة لسبب: إنها تعني جزأين متوازيين متساويين. في الواقع ، لا يوجد مثال أفضل للمساواة.
مؤسس تسميات الحروف المجهولة وعلامات الدرجات هو عالم الرياضيات الفرنسي فرانسوا فيت. ومع ذلك ، اختلفت تسمياته بشكل كبير عن اليوم. على سبيل المثال ، أشار إلى مربع رقم غير معروف بالحرف Q (خط الطول "quadratus") ، والمكعب بالحرف C (lat. "cubus"). تبدو هذه التسميات الآن غير مريحة ، ولكن بعد ذلككانت الطريقة الأكثر مفهومة لكتابة أنظمة المعادلات الجبرية الخطية.
ومع ذلك ، فإن عيب طرق الحل آنذاك هو أن علماء الرياضيات اعتبروا الجذور الإيجابية فقط. ربما يرجع ذلك إلى حقيقة أن القيم السالبة ليس لها فائدة عملية. بطريقة أو بأخرى ، كان علماء الرياضيات الإيطاليون نيكولو تارتاجليا وجيرولامو كاردانو ورافائيل بومبيلي هم أول من فكر في الجذور السلبية في القرن السادس عشر. والمظهر الحديث ، الطريقة الرئيسية لحل المعادلات التربيعية (من خلال التمييز) تم إنشاؤه فقط في القرن السابع عشر بفضل أعمال ديكارت ونيوتن.
في منتصف القرن الثامن عشر ، وجد عالم الرياضيات السويسري غابرييل كريمر طريقة جديدة لتسهيل حل أنظمة المعادلات الخطية. سميت هذه الطريقة باسمه وما زلنا نستخدمها حتى يومنا هذا. لكننا سنتحدث عن طريقة كرامر بعد قليل ، لكن في الوقت الحالي سنناقش المعادلات الخطية وطرق حلها بشكل منفصل عن النظام.
المعادلات الخطية
المعادلات الخطية هي أبسط معادلات متغيرة (متغيرات). يتم تصنيفها على أنها جبرية. تتم كتابة المعادلات الخطية بشكل عام على النحو التالي:2+… a x =ب. سنحتاج إلى تمثيلهم في هذا النموذج عند تجميع الأنظمة والمصفوفات بشكل أكبر.
أنظمة المعادلات الجبرية الخطية
تعريف هذا المصطلح هو: إنه مجموعة من المعادلات التي لها مجاهيل مشتركة وحل مشترك. كقاعدة عامة ، يتم تحديد كل شيء في المدرسة من خلال الأنظمةمع اثنين أو حتى ثلاث معادلات. لكن هناك أنظمة تحتوي على أربعة مكونات أو أكثر. دعنا أولاً نتعرف على كيفية كتابتها بحيث يكون حلها مناسبًا لاحقًا. أولاً ، ستبدو أنظمة المعادلات الجبرية الخطية أفضل إذا تمت كتابة جميع المتغيرات كـ x مع الفهرس المناسب: 1 ، 2 ، 3 ، وهكذا. ثانيًا ، يجب اختزال جميع المعادلات إلى الشكل المتعارف عليه: a1 x1+ a2 x2+… a x =ب
بعد كل هذه الخطوات ، يمكننا البدء في الحديث عن كيفية إيجاد حل لأنظمة المعادلات الخطية. ستكون المصفوفات مفيدة جدًا لهذا
المصفوفات
المصفوفة هي جدول يتكون من صفوف وأعمدة ، وتقع عناصرها عند تقاطعها. يمكن أن تكون هذه إما قيمًا أو متغيرات محددة. في أغلب الأحيان ، لتعيين العناصر ، يتم وضع الرموز الفرعية تحتها (على سبيل المثال ،11أو23). الفهرس الأول يعني رقم الصف والثاني رقم العمود. في المصفوفات ، وكذلك في أي عنصر رياضي آخر ، يمكنك إجراء عمليات مختلفة. لذا يمكنك:
1) اطرح واجمع جداول من نفس الحجم
2) اضرب مصفوفة في عدد أو متجه.
3) التحويل: تحويل صفوف المصفوفة إلى أعمدة والأعمدة إلى صفوف.
4) اضرب المصفوفات إذا كان عدد صفوف أحدها يساوي عدد أعمدة الآخر.
سنناقش كل هذه التقنيات بمزيد من التفصيل لأنها ستكون مفيدة لنا في المستقبل. يعد طرح المصفوفات وإضافتها أمرًا سهلاً للغاية. لذاعندما نأخذ مصفوفات من نفس الحجم ، فإن كل عنصر في جدول واحد يتوافق مع كل عنصر في آخر. وبالتالي ، نضيف (نطرح) هذين العنصرين (من المهم أن يكونا في نفس المواضع في مصفوفاتهما). عند ضرب مصفوفة في رقم أو متجه ، تحتاج ببساطة إلى ضرب كل عنصر من عناصر المصفوفة في ذلك الرقم (أو المتجه). التحويل هو عملية مثيرة للاهتمام للغاية. من الممتع جدًا أحيانًا رؤيته في الحياة الواقعية ، على سبيل المثال ، عند تغيير اتجاه جهاز لوحي أو هاتف. الرموز الموجودة على سطح المكتب عبارة عن مصفوفة ، وعندما تقوم بتغيير الموضع ، فإنها تنقلب وتصبح أكثر اتساعًا ، لكن ارتفاعها يتناقص.
دعونا نلقي نظرة أخرى على عملية مثل ضرب المصفوفة. على الرغم من أنه لن يكون مفيدًا لنا ، إلا أنه سيظل من المفيد معرفته. يمكنك ضرب مصفوفتين فقط إذا كان عدد الأعمدة في أحد الجداول يساوي عدد الصفوف في الجدول الآخر. لنأخذ الآن عناصر صف من إحدى المصفوفات وعناصر العمود المقابل لمصفوفة أخرى. نضربهم ببعضهم البعض ثم نضيفهم (أي ، على سبيل المثال ، منتج العناصر a11و12ب 12 و b22ستكون مساوية لـ: a11 b12+ a 12 b22 ). وبالتالي ، يتم الحصول على عنصر واحد من الجدول ، ويتم تعبئته بطريقة مماثلة.
الآن يمكننا البدء في النظر في كيفية حل نظام المعادلات الخطية.
طريقة غاوس
يبدأ هذا الموضوع بالمرور حتى في المدرسة. نحن نعلم جيدًا مفهوم "نظام معادلتين خطيتين" ونعرف كيفية حلهما.ولكن ماذا لو كان عدد المعادلات أكثر من اثنين؟ ستساعدنا طريقة غاوس في هذا
بالطبع ، هذه الطريقة ملائمة للاستخدام إذا قمت بعمل مصفوفة خارج النظام. لكن لا يمكنك تحويلها وحلها في أنقى صورها
إذن كيف تحل هذه الطريقة نظام معادلات جاوس الخطية؟ بالمناسبة ، على الرغم من تسمية هذه الطريقة باسمه ، فقد تم اكتشافها في العصور القديمة. يقترح Gauss ما يلي: تنفيذ العمليات باستخدام المعادلات من أجل تقليل المجموعة بأكملها في النهاية إلى شكل متدرج. وهذا يعني أنه من الضروري أن يتناقص واحد غير معروف من أعلى إلى أسفل (إذا تم وضعه بشكل صحيح) من المعادلة الأولى إلى الأخيرة. بعبارة أخرى ، نحتاج إلى التأكد من حصولنا ، على سبيل المثال ، على ثلاث معادلات: في الأولى - ثلاثة مجاهيل ، في الثانية - اثنان ، في الثالثة - واحدة. ثم من المعادلة الأخيرة نجد المجهول الأول ، نعوض بقيمته في المعادلة الثانية أو الأولى ، ثم نجد المتغيرين المتبقيين.
طريقة كرامر
لإتقان هذه الطريقة ، من الضروري إتقان مهارات الجمع وطرح المصفوفات ، كما يجب أن تكون قادرًا على إيجاد المحددات. لذلك ، إذا كنت تفعل كل هذا بشكل سيئ أو لا تعرف كيف على الإطلاق ، فسيتعين عليك التعلم والممارسة.
ما هو جوهر هذه الطريقة ، وكيفية صنعها بحيث يتم الحصول على نظام معادلات كرامر الخطية؟ كل شيء بسيط للغاية. علينا أن نبني مصفوفة من المعاملات العددية (دائمًا تقريبًا) لنظام المعادلات الجبرية الخطية. للقيام بذلك ، ما عليك سوى أخذ الأرقام الموجودة أمام المجهول وترتيبهاالجدول بالترتيب الذي تم تسجيلها به في النظام. إذا كان الرقم مسبوقًا بعلامة "-" ، فسنكتب معاملًا سالبًا. لذلك ، قمنا بتجميع المصفوفة الأولى من معاملات المجهول ، دون تضمين الأرقام بعد العلامات المتساوية (بطبيعة الحال ، يجب اختزال المعادلة إلى الشكل المتعارف عليه ، عندما يكون الرقم على اليمين فقط ، وكل المجهول مع المعاملات على اليسار). ثم تحتاج إلى إنشاء عدة مصفوفات أخرى - واحدة لكل متغير. للقيام بذلك ، نستبدل كل عمود بالمعاملات في المصفوفة الأولى بعمود من الأرقام بعد علامة التساوي. وهكذا نحصل على عدة مصفوفات ثم نجد محدداتها.
بعد أن وجدنا المحددات المسألة صغيرة. لدينا مصفوفة أولية ، وهناك العديد من المصفوفات الناتجة التي تتوافق مع متغيرات مختلفة. للحصول على حلول النظام ، نقسم محدد الجدول الناتج على محدد الجدول الأولي. الرقم الناتج هو قيمة أحد المتغيرات. وبالمثل ، نجد كل المجهول.
طرق أخرى
هناك عدة طرق أخرى للحصول على حل أنظمة المعادلات الخطية. على سبيل المثال ، ما يسمى بطريقة Gauss-Jordan ، والتي تستخدم لإيجاد حلول لنظام المعادلات التربيعية وترتبط أيضًا باستخدام المصفوفات. هناك أيضًا طريقة جاكوبي لحل نظام المعادلات الجبرية الخطية. إنه الأسهل للتكيف مع الكمبيوتر ويستخدم في الحوسبة.
حالات صعبة
يحدث التعقيد عادة عندما يكون عدد المعادلات أقل من عدد المتغيرات. ثم يمكننا أن نقول على وجه اليقين إما أن النظام غير متسق (أي أنه ليس له جذور) ، أو أن عدد حلوله يميل إلى اللانهاية. إذا كانت لدينا الحالة الثانية ، فسنحتاج إلى كتابة الحل العام لنظام المعادلات الخطية. سوف يحتوي على متغير واحد على الأقل.
الخلاصة
ها نحن نصل إلى النهاية. للتلخيص: لقد قمنا بتحليل ماهية النظام والمصفوفة ، تعلمنا كيفية إيجاد حل عام لنظام المعادلات الخطية. بالإضافة إلى ذلك ، تم النظر في خيارات أخرى. اكتشفنا كيف يتم حل نظام المعادلات الخطية: طريقة غاوس وطريقة كرامر. تحدثنا عن الحالات الصعبة وطرق أخرى لإيجاد الحلول.
في الواقع ، هذا الموضوع أكثر شمولاً ، وإذا كنت تريد فهمه بشكل أفضل ، ننصحك بقراءة المزيد من الأدبيات المتخصصة.
