مساحة المخروط المقطوع. مثال الصيغة والمشكلة

2024 مؤلف: Angel Austin | [email protected]. آخر تعديل: 2023-12-17 05:16

تحظى شخصيات الثورة في الهندسة باهتمام خاص عند دراسة خصائصها وخصائصها. واحد منهم هو مخروط مبتور. تهدف هذه المقالة إلى الإجابة عن سؤال حول الصيغة التي يمكن استخدامها لحساب مساحة المخروط المقطوع.

أي شخصية نتحدث عنها؟

قبل وصف مساحة المخروط المقطوع ، من الضروري إعطاء تعريف هندسي دقيق لهذا الشكل. يتم اقتطاع مثل هذا المخروط ، والذي يتم الحصول عليه نتيجة قطع رأس مخروط عادي بواسطة مستوى. في هذا التعريف ، ينبغي التأكيد على عدد من الفروق الدقيقة. أولاً ، يجب أن يكون مستوى المقطع موازيًا لمستوى قاعدة المخروط. ثانيًا ، يجب أن يكون الشكل الأصلي مخروطًا دائريًا. بالطبع ، يمكن أن يكون شكل بيضاوي وزائدي ونوع آخر من الأشكال ، لكن في هذه المقالة سنقتصر على التفكير فقط في شكل مخروط دائري. الأخير موضح في الشكل أدناه.

من السهل تخمين أنه يمكن الحصول عليها ليس فقط بمساعدة قسم بالطائرة ، ولكن أيضًا بمساعدة عملية التناوب. لللقيام بذلك ، عليك أن تأخذ شكل شبه منحرف له زاويتان قائمتان وتدويره حول الجانب المجاور لهذه الزوايا القائمة. نتيجة لذلك ، ستصبح قواعد شبه المنحرف نصف قطر قواعد المخروط المقطوع ، وسيصف الجانب المائل الجانبي من شبه المنحرف السطح المخروطي.

تطوير الشكل

بالنظر إلى مساحة سطح المخروط المقطوع ، من المفيد تحقيق تطوره ، أي صورة سطح شكل ثلاثي الأبعاد على مستوى. يوجد أدناه مسح للشكل المدروس باستخدام معلمات عشوائية.

يمكن ملاحظة أن مساحة الشكل تتكون من ثلاثة مكونات: دائرتان وقطعة دائرية مقطوعة. من الواضح ، لتحديد المنطقة المطلوبة ، من الضروري إضافة مناطق جميع الأشكال المسماة. دعونا نحل هذه المشكلة في الفقرة التالية.

منطقة مخروطية مقطوعة

لتسهيل فهم المنطق التالي ، نقدم الملاحظة التالية:

• r1، r2 - نصف قطر القاعدتين الكبيرة والصغيرة على التوالي ؛
• h - ارتفاع الشكل ؛
• g - مصفوفة المخروط (طول الجانب المائل من شبه المنحرف).

من السهل حساب مساحة قواعد المخروط المقطوع. لنكتب التعابير المقابلة:

S_o1=pir₁²؛

S_o2=pir₂².

يصعب تحديد مساحة جزء من مقطع دائري إلى حد ما. إذا تخيلنا أن مركز هذا القطاع الدائري لم يتم قطعه ، فسيكون نصف قطره مساويًا للقيمة G. وليس من الصعب حسابه إذا أخذنا في الاعتبار القيمة المقابلة.مثلثات مخروطية متشابهة الزاوية. تساوي:

G=r₁ g / (r₁-r₂).

ثم مساحة القطاع الدائري بأكمله ، المبني على نصف القطر G والذي يعتمد على قوس بطول 2pir₁، ستكون متساوية إلى:

S₁=pir₁ G=pir₁² g / (r₁-r₂).

الآن لنحدد مساحة القطاع الدائري الصغير S₂، والتي ستحتاج إلى طرحها من S₁. تساوي:

S₂=pir₂ (G - g)=pir_2(r1 _{g / (r}1_-r2 _{) - ز)=pir}22 ^{g / (r}1_-r2 _).

مساحة السطح المخروطي المقطوع S_bتساوي الفرق بين S₁و S₂. نحصل على:

S_b=S₁- S₂=pir₁² g / (r₁-r₂) - pir₂² g / (r₁-r_2)=pig(r1_{+ r}2 _).

على الرغم من بعض الحسابات المرهقة ، حصلنا على تعبير بسيط إلى حد ما لمساحة السطح الجانبي للشكل.

إضافة مناطق القواعد و S_b، نصل إلى الصيغة الخاصة بمنطقة المخروط المقطوع:

S=S_o1+ S_o2+ S_b=pir 12^{+ pir}22^{+ pig(r}1_{+ r}2 _).

وهكذا ، لحساب قيمة S للشكل المدروس ، تحتاج إلى معرفة معلماته الخطية الثلاثة.

مثال على المشكلة

مخروط دائري مستقيمبنصف قطر 10 سم وارتفاع 15 سم تم قطعه بواسطة طائرة بحيث يتم الحصول على مخروط مبتور منتظم. مع العلم أن المسافة بين قاعدتي الشكل المقطوع هي 10 سم ، لا بد من إيجاد مساحة سطحه.

لاستخدام صيغة مساحة المخروط المقطوع ، تحتاج إلى إيجاد ثلاثة من معاملاته. واحد نعرفه:

r₁=10 سم

يسهل حساب الاثنان الآخران إذا أخذنا في الاعتبار مثلثات متشابهة ذات زوايا قائمة ، والتي يتم الحصول عليها نتيجة المقطع المحوري للمخروط. مع الأخذ في الاعتبار حالة المشكلة ، نحصل على:

r₂=105/15=3.33 سم.

أخيرًا ، سيكون دليل المخروط g المقطوع:

g=√ (10²+ (r₁-r₂)²)=12.02 سم

الآن يمكنك استبدال القيم r₁، r₂و g في صيغة S:

S=pir₁²+ pir₂ 2^{+ pig(r}1_{+ r}2 _{)=851.93 سم}2.

مساحة السطح المطلوبة للشكل حوالي 852 سم².