النظام الميكانيكي الذي يتكون من نقطة مادة (جسم) معلقة على خيط عديم الوزن غير مرن (كتلته لا تذكر مقارنة بوزن الجسم) في حقل جاذبية موحد يسمى البندول الرياضي (اسم آخر هو مذبذب). هناك أنواع أخرى من هذا الجهاز. بدلاً من الخيط ، يمكن استخدام قضيب عديم الوزن. يمكن أن يكشف البندول الرياضي بوضوح عن جوهر العديد من الظواهر المثيرة للاهتمام. بسعة التذبذب الصغيرة ، تسمى حركتها التوافقية.
نظرة عامة على النظام الميكانيكي
تم اشتقاق صيغة فترة التذبذب لهذا البندول من قبل العالم الهولندي Huygens (1629-1695). كان نيوتن هذا معاصرًا جدًا لهذا النظام الميكانيكي. في عام 1656 ابتكر أول ساعة بندول. قاموا بقياس الوقت بشكل استثنائيلتلك الأوقات الدقة. أصبح هذا الاختراع علامة فارقة في تطوير التجارب الفيزيائية والأنشطة العملية.
إذا كان البندول في حالة توازن (معلق عموديًا) ، فسيتم موازنة قوة الجاذبية بواسطة قوة شد الخيط. البندول المسطح على خيط غير مرن هو نظام ذو درجتين من الحرية مع اتصال. عندما تقوم بتغيير مكون واحد فقط ، تتغير خصائص جميع أجزائه. لذلك ، إذا تم استبدال الخيط بقضيب ، فسيكون لهذا النظام الميكانيكي درجة واحدة فقط من الحرية. ما هي خصائص البندول الرياضي؟ في هذا النظام الأبسط ، تنشأ الفوضى تحت تأثير اضطراب دوري. في حالة عدم تحرك نقطة التعليق ، ولكنها تتأرجح ، يكون للبندول وضع توازن جديد. مع التذبذبات السريعة لأعلى ولأسفل ، يكتسب هذا النظام الميكانيكي وضعًا مستقرًا مقلوبًا. لديها أيضا اسمها الخاص. يسمى بندول كابيتزا
خصائص البندول
البندول الرياضي له خصائص مثيرة جدا للاهتمام. تم تأكيد كل منهم من خلال القوانين الفيزيائية المعروفة. تعتمد فترة اهتزاز أي بندول آخر على ظروف مختلفة ، مثل حجم الجسم وشكله ، والمسافة بين نقطة التعليق ومركز الجاذبية ، وتوزيع الكتلة بالنسبة لهذه النقطة. هذا هو السبب في أن تحديد فترة الجسد المعلق مهمة صعبة إلى حد ما. من الأسهل كثيرًا حساب فترة البندول الرياضي ، وسيتم تقديم معادلته أدناه. نتيجة ملاحظات مماثلةيمكن للأنظمة الميكانيكية إنشاء الأنماط التالية:
• إذا قمنا بتعليق أوزان مختلفة مع الحفاظ على نفس طول البندول ، فستكون فترة اهتزازاتها هي نفسها ، على الرغم من أن كتلها ستختلف بشكل كبير. لذلك فإن فترة مثل هذا البندول لا تعتمد على كتلة الحمولة
• عند بدء تشغيل النظام ، إذا كان البندول ينحرف ليس بسبب زوايا كبيرة جدًا ، ولكن بزوايا مختلفة ، فسيبدأ في التأرجح مع نفس الفترة ، ولكن بمدى مختلف. طالما أن الانحرافات عن مركز التوازن ليست كبيرة جدًا ، فإن التذبذبات في شكلها ستكون قريبة جدًا من التذبذبات التوافقية. فترة هذا البندول لا تعتمد على سعة التذبذب بأي شكل من الأشكال. هذه الخاصية لهذا النظام الميكانيكي تسمى isochronism (مترجم من اليونانية "chronos" - الوقت ، "isos" - يساوي).
فترة البندول الرياضي
يمثل هذا المؤشر فترة التذبذبات الطبيعية. على الرغم من الصياغة المعقدة ، فإن العملية نفسها بسيطة للغاية. إذا كان طول خيط البندول الرياضي هو L ، وكان تسارع السقوط الحر g ، فإن هذه القيمة هي:
T=2π√L / ز
لا تعتمد فترة التذبذبات الطبيعية الصغيرة بأي حال من الأحوال على كتلة البندول وسعة التذبذبات. في هذه الحالة ، يتحرك البندول مثل بندول رياضي بطول منخفض.
تأرجح البندول الرياضي
يتذبذب البندول الرياضي ، والذي يمكن وصفه بمعادلة تفاضلية بسيطة:
س + ω2 خطيئة س=0 ،
حيث x (t) دالة غير معروفة (هذه هي زاوية الانحراف عن الأسفلموضع التوازن في الوقت t ، معبراً عنه بالتقدير الدائري) ؛ ω ثابت موجب ، يتم تحديده من معاملات البندول (ω=√g / L ، حيث g تسارع السقوط الحر و L طول البندول الرياضي (التعليق).
تبدو معادلة التقلبات الصغيرة بالقرب من موضع التوازن (المعادلة التوافقية) كما يلي:
س + ω2 خطيئة س=0
حركات تذبذبية للبندول
بندول رياضي يجعل التذبذبات الصغيرة تتحرك على طول الجيب الجيبي. تفي المعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية بجميع متطلبات ومعلمات مثل هذه الحركة. لتحديد المسار ، يجب تحديد السرعة والإحداثيات ، والتي يتم من خلالها تحديد الثوابت المستقلة:
x=خطيئة (θ0+ t) ،
حيث θ0هي المرحلة الأولية ، A هو سعة التذبذب ، ω هو التردد الدوري المحدد من معادلة الحركة.
البندول الرياضي (الصيغ للسعات الكبيرة)
هذا النظام الميكانيكي ، الذي يجعل اهتزازاته بسعة كبيرة ، يخضع لقوانين الحركة الأكثر تعقيدًا. بالنسبة لمثل هذا البندول ، يتم حسابهم بالصيغة:
sin x / 2=usn (t / u) ،
حيث sn هي جيب جاكوبي ، وهي بالنسبة إلى u < 1 دالة دورية ، وبالنسبة إلى u الصغيرة فهي تتطابق مع جيب مثلث بسيط. يتم تحديد قيمة u بالتعبير التالي:
u=(ε + 2) / 2ω2،
حيث ε=E / mL2 (mL2 هي طاقة البندول).
تحديد فترة التذبذب للبندول غير الخطينفذت حسب الصيغة:
T=2π / Ω ،
حيث Ω=π / 2ω / 2K (u) ، K هو التكامل البيضاوي ، π-3 ، 14.
حركة البندول على طول الفاصل
الفاصل هو مسار نظام ديناميكي بمساحة طور ثنائية الأبعاد. يتحرك البندول الرياضي على طوله بشكل غير دوري. في لحظة زمنية غير متناهية ، يسقط من الموضع الأعلى المتطرف إلى الجانب بسرعة صفر ، ثم يلتقطه تدريجيًا. يتوقف في النهاية ، ويعود إلى موقعه الأصلي.
إذا اقتربت سعة اهتزازات البندول من الرقم π ، فهذا يشير إلى أن الحركة على مستوى الطور تقترب من المطرس الفاصل. في هذه الحالة ، تحت تأثير قوة دورية دافعة صغيرة ، يُظهر النظام الميكانيكي سلوكًا فوضويًا.
عندما ينحرف البندول الرياضي عن موضع التوازن بزاوية معينة φ ، تظهر قوة الجاذبية العرضية Fτ=–mg sin. تعني علامة الطرح أن هذا المكون العرضي موجه في الاتجاه المعاكس لانحراف البندول. عندما يُشار إلى إزاحة البندول على طول قوس دائرة نصف قطرها L بالرمز x ، فإن إزاحته الزاوية تساوي φ=x / L. القانون الثاني لإسحاق نيوتن ، المصمم لإسقاطات متجه التسارع والقوة ، سيعطي القيمة المطلوبة:
mg τ=Fτ=–mg sin x / L
بناءً على هذه النسبة يتضح أن هذا البندول هو نظام غير خطي ، حيث أن القوة التي تسعى للعودةإلى موضع التوازن ، دائمًا ما يتناسب ليس مع الإزاحة x ، ولكن مع الخطيئة x / L.
فقط عندما يصنع البندول الرياضي اهتزازات صغيرة ، فهو مذبذب توافقي. بمعنى آخر ، يصبح نظامًا ميكانيكيًا قادرًا على أداء الاهتزازات التوافقية. هذا التقريب صالح عمليا لزوايا 15-20 درجة. ذبذبات البندول ذات السعات الكبيرة غير متناسقة.
قانون نيوتن للتذبذبات الصغيرة للبندول
إذا كان هذا النظام الميكانيكي يؤدي اهتزازات صغيرة ، فسيبدو قانون نيوتن الثاني على النحو التالي:
ملغ τ=Fτ=–mg / Lx.
بناءً على ذلك ، يمكننا أن نستنتج أن التسارع العرضي للبندول الرياضي يتناسب مع إزاحته بعلامة ناقص. هذه هي الحالة التي بسببها يصبح النظام مذبذبًا توافقيًا. معامل الكسب النسبي بين الإزاحة والتسارع يساوي مربع التردد الدائري:
ω02=g / L ؛ ω0=√ جرام / لتر
تعكس هذه الصيغة التردد الطبيعي للتذبذبات الصغيرة لهذا النوع من البندول. بناءً على هذا ،
T=2π / ω0=2π√ جم / لتر
حسابات تعتمد على قانون حفظ الطاقة
يمكن أيضًا وصف خصائص الحركات التذبذبية للبندول باستخدام قانون حفظ الطاقة. في هذه الحالة ، يجب أن يؤخذ في الاعتبار أن الطاقة الكامنة للبندول في مجال الجاذبية هي:
E=mg∆h=mgL (1 - cos α)=mgL2sin2 α / 2
إجمالي الطاقة الميكانيكيةيساوي الجهد الحركي أو الحد الأقصى: Epmax=Ekmsx=E
بعد كتابة قانون حفظ الطاقة ، خذ مشتق الجانبين الأيمن والأيسر من المعادلة:
Ep + Ek=const
بما أن مشتق القيم الثابتة هو 0 ، إذن (Ep + Ek) '=0. مشتق المجموع يساوي مجموع المشتقات:
Ep '=(mg / Lx2 / 2)'=mg / 2L2xx '=mg / Lv + Ek'=(mv2 / 2)=m / 2 (v2) '=m / 22vv '=mvα ،
ومن ثم:
Mg / Lxv + mva=v (mg / Lx + m α)=0.
بناءً على الصيغة الأخيرة ، نجد: α=- g / Lx.
تطبيق عملي للبندول الرياضي
يختلف تسارع السقوط الحر باختلاف خط العرض الجغرافي ، لأن كثافة قشرة الأرض في جميع أنحاء الكوكب ليست هي نفسها. في حالة وجود صخور ذات كثافة أعلى ، ستكون أعلى إلى حد ما. غالبًا ما يستخدم تسريع البندول الرياضي في الاستكشاف الجيولوجي. يتم استخدامه للبحث عن المعادن المختلفة. ببساطة عن طريق حساب عدد تقلبات البندول ، يمكنك العثور على الفحم أو الخام في أحشاء الأرض. هذا يرجع إلى حقيقة أن هذه الأحافير لها كثافة وكتلة أكبر من الصخور السائبة التي تحتها.
تم استخدام البندول الرياضي من قبل علماء بارزين مثل سقراط وأرسطو وأفلاطون وبلوتارخ وأرخميدس. يعتقد الكثير منهم أن هذا النظام الميكانيكي يمكن أن يؤثر على مصير وحياة الشخص. استخدم أرخميدس بندول رياضي في حساباته. في الوقت الحاضر ، العديد من علماء التنجيم والوسطاءاستخدم هذا النظام الميكانيكي لتحقيق نبوءاتهم أو البحث عن الأشخاص المفقودين.
كما استخدم الفلكي وعالم الطبيعة الفرنسي الشهير K. Flammarion بندول رياضي في أبحاثه. وادعى أنه بمساعدته كان قادرًا على التنبؤ باكتشاف كوكب جديد وظهور نيزك تونجوسكا وأحداث مهمة أخرى. خلال الحرب العالمية الثانية في ألمانيا (برلين) عمل معهد متخصص للبندول. اليوم ، معهد ميونيخ لعلم التخاطر يشارك في بحث مماثل. يسمي موظفو هذه المؤسسة عملهم بالبندول "الإشعاع الإشعاعي".
