ثوان ، الظل - كل هذا يمكن سماعه مئات المرات في دروس الهندسة. لكن التخرج من المدرسة انتهى ، مرت السنين ، وكل هذه المعرفة تم نسيانها. ما الذي يجب تذكره؟
جوهر
ربما يكون مصطلح "ظل الدائرة" مألوفًا لدى الجميع. لكن من غير المحتمل أن يتمكن الجميع من صياغة تعريفه بسرعة. في هذه الأثناء ، المماس هو خط مستقيم يقع في نفس المستوى مع دائرة تتقاطع معه عند نقطة واحدة فقط. قد تكون هناك مجموعة كبيرة ومتنوعة منهم ، لكن لديهم جميعًا نفس الخصائص ، والتي سيتم مناقشتها أدناه. كما قد تتخيل ، فإن نقطة الاتصال هي المكان الذي تتقاطع فيه الدائرة والخط. في كلتا الحالتين تكون واحدة ولكن إذا كان هناك أكثر فإنها تكون قاطعة.
تاريخ الاكتشاف والدراسة
ظهر مفهوم الظل في العصور القديمة. تم تنفيذ إنشاء هذه الخطوط المستقيمة ، أولاً على شكل دائرة ، ثم إلى القطع الناقص والقطوع المكافئة والقطوع الزائدة بمساعدة مسطرة وبوصلة ، حتى في المراحل الأولى من تطور الهندسة. طبعا التاريخ لم يحفظ اسم المكتشف الامن الواضح أنه حتى في ذلك الوقت ، كان الناس مدركين تمامًا لخصائص مماس الدائرة.
في العصر الحديث ، اندلع الاهتمام بهذه الظاهرة مرة أخرى - بدأت جولة جديدة من دراسة هذا المفهوم ، جنبًا إلى جنب مع اكتشاف منحنيات جديدة. لذلك ، قدم جاليليو مفهوم السيكلويد ، وقام فيرما وديكارت ببناء مماس له. أما الدوائر فيبدو أنه لم يبق من أسرار القدماء في هذه المنطقة.
خصائص
سيكون نصف القطر المرسوم على نقطة التقاطع عموديًا على الخط. هذا
الخاصية الرئيسية ، ولكنها ليست الخاصية الوحيدة التي يمتلكها مماس الدائرة. ميزة أخرى مهمة تتضمن بالفعل خطين مستقيمين. لذلك ، من خلال نقطة واحدة خارج الدائرة ، يمكن رسم مماسين ، في حين أن مقاطعهما ستكون متساوية. توجد نظرية أخرى حول هذا الموضوع ، ولكن نادرًا ما يتم تغطيتها في إطار دورة مدرسية قياسية ، على الرغم من أنها ملائمة للغاية لحل بعض المشكلات. يبدو مثل هذا. من نقطة واحدة تقع خارج الدائرة ، يتم رسم الظل والقاطع إليها. يتم تشكيل الأجزاء AB و AC و AD. A هو تقاطع الخطوط ، B هي نقطة الاتصال ، C و D هي التقاطعات. في هذه الحالة ، ستكون المساواة التالية صحيحة: طول مماس الدائرة ، تربيعًا ، سيكون مساويًا لمنتج المقطعين AC و AD.
مما سبق هناك نتيجة مهمة. لكل نقطة في الدائرة ، يمكنك بناء ظل ، ولكن واحد فقط. والدليل على ذلك بسيط للغاية: نظريًا ، بإسقاط عمودي من نصف القطر عليه ، نكتشف أن الشكل المتشكللا يمكن أن يوجد المثلث. وهذا يعني أن الظل هو الوحيد.
مبنى
من بين المشاكل الأخرى في الهندسة ، هناك فئة خاصة ، كقاعدة عامة ، وليس
يحبها التلاميذ و الطلاب. لحل المهام من هذه الفئة ، ما عليك سوى بوصلة ومسطرة. هذه هي مهام البناء. هناك أيضا طرق لبناء الظل.
إذن ، إعطاء دائرة ونقطة خارج حدودها. ومن الضروري رسم ظل من خلالها. كيف افعلها؟ بادئ ذي بدء ، تحتاج إلى رسم قطعة بين مركز الدائرة O ونقطة معينة. ثم ، باستخدام البوصلة ، قسّمها إلى نصفين. للقيام بذلك ، تحتاج إلى ضبط نصف القطر - أكثر بقليل من نصف المسافة بين مركز الدائرة الأصلية والنقطة المحددة. بعد ذلك ، تحتاج إلى بناء قوسين متقاطعين. علاوة على ذلك ، لا يلزم تغيير نصف قطر البوصلة ، وسيكون مركز كل جزء من الدائرة هو النقطة الأولية و O على التوالي. يجب أن تكون تقاطعات الأقواس متصلة ، والتي ستقسم المقطع إلى نصفين. ضع نصف قطر على البوصلة مساويًا لهذه المسافة. بعد ذلك ، مع وجود المركز عند نقطة التقاطع ، ارسم دائرة أخرى. ستقع كل من النقطة الأولية و O عليها. في هذه الحالة ، سيكون هناك تقاطعين آخرين مع الدائرة الموضحة في المسألة. ستكون نقاط الاتصال للنقطة المحددة في البداية.
ممتع
كان بناء الظل للدائرة هو الذي أدى إلى ولادة
حساب التفاضل. كان أول عمل حول هذا الموضوعنشره عالم الرياضيات الألماني الشهير لايبنيز. قدم إمكانية إيجاد الحدود القصوى والدنيا والظل ، بغض النظر عن القيم الكسرية وغير المنطقية. حسنًا ، يتم استخدامه الآن في العديد من العمليات الحسابية الأخرى أيضًا.
إلى جانب ذلك ، يرتبط ظل الدائرة بالمعنى الهندسي للماس. هذا هو المكان الذي يأتي منه اسمه. ترجمت من اللاتينية ، tangens تعني "الظل". وبالتالي ، فإن هذا المفهوم لا يرتبط فقط بالهندسة وحساب التفاضل ، ولكن أيضًا بعلم المثلثات.
دائرتان
لا يؤثر الظل دائمًا على شكل واحد فقط. إذا كان من الممكن رسم عدد كبير من الخطوط المستقيمة لدائرة واحدة ، فلماذا لا يكون العكس؟ تستطيع. لكن المهمة في هذه الحالة معقدة بشكل خطير ، لأن مماس دائرتين قد لا يمر عبر أي نقاط ، والموضع النسبي لجميع هذه الأرقام يمكن أن يكون
مختلفة.
أنواع وأصناف
عندما يتعلق الأمر بدائرتين وواحد أو أكثر من الخطوط ، حتى لو كان معروفًا أن هذه الظلال ، فلا يتضح على الفور كيف تقع كل هذه الأشكال فيما يتعلق ببعضها البعض. بناءً على ذلك ، هناك العديد من الأصناف. لذلك ، يمكن أن تحتوي الدوائر على نقطة أو نقطتين مشتركتين أو لا تحتوي عليها على الإطلاق. في الحالة الأولى ، سوف يتقاطعون ، وفي الحالة الثانية ، سوف يتلامسون. وهنا نوعان. إذا كانت إحدى الدوائر ، كما كانت ، مضمنة في الثانية ، فإن اللمسة تسمى داخلية ، إن لم تكن كذلك ، فهي خارجية. فهم متبادلموقع الأشكال ممكن ليس فقط بناءً على الرسم ، ولكن أيضًا الحصول على معلومات حول مجموع أنصاف أقطارها والمسافة بين مراكزها. إذا كانت هاتان الكميتان متساويتين ، فإن الدوائر تتلامس. إذا كانت الأولى أكبر ، فإنها تتقاطع ، وإذا كانت أصغر ، فليس لديهم نقاط مشتركة.
نفس الشيء مع الخطوط المستقيمة. لأي دائرتين ليس لديهما نقاط مشتركة ، يمكنك
بناء أربعة مماسات. سوف يتقاطع اثنان منهم بين الأشكال ، ويطلق عليهم اسم داخلي. زوجان آخران خارجيان.
إذا كنا نتحدث عن الدوائر التي لديها نقطة مشتركة واحدة ، فإن المهمة تكون مبسطة إلى حد كبير. الحقيقة هي أنه بالنسبة لأي ترتيب متبادل في هذه الحالة ، سيكون لديهم ظل واحد فقط. وسوف يمر عبر نقطة تقاطعهم. لذا فإن بناء الصعوبة لن يسبب
إذا كان الشكلان بهما نقطتان من التقاطع ، فيمكن بناء خط مستقيم لهما ، بحيث يكون مماسًا للدائرة ، سواء الأولى والثانية ، ولكن الخارجية فقط. حل هذه المشكلة مشابه لما سيتم مناقشته أدناه.
حل المشكلات
ليس من السهل إنشاء الظلال الداخلية والخارجية لدائرتين ، على الرغم من إمكانية حل هذه المشكلة. الحقيقة هي أنه يتم استخدام الرقم المساعد لهذا ، لذا فكر في هذه الطريقة بنفسك
إشكالية للغاية. إذن ، لدينا دائرتان لهما أنصاف أقطار مختلفة ومركزان O1 و O2. بالنسبة لهم ، تحتاج إلى بناء زوجين من الظل.
بادئ ذي بدء ، بالقرب من وسط أكبرالدوائر تحتاج إلى بناء مساعدة. في هذه الحالة ، يجب تحديد الفرق بين أنصاف أقطار الشكلين الأوليين على البوصلة. يتم إنشاء ماسات الدائرة المساعدة من مركز الدائرة الأصغر. بعد ذلك ، من O1 و O2 ، يتم رسم الخطوط العمودية على هذه الخطوط حتى تتقاطع مع الأشكال الأصلية. على النحو التالي من الخاصية الرئيسية للظل ، تم العثور على النقاط المرغوبة في كلتا الدائرتين. حُلت المشكلة على الأقل الجزء الأول منها
من أجل بناء الظلال الداخلية ، عليك أن تحل عمليا
مهمة مماثلة. مرة أخرى ، هناك حاجة إلى رقم إضافي ، ولكن هذه المرة سيكون نصف قطرها مساويًا لمجموع الأرقام الأصلية. يتم إنشاء الظلال لها من وسط إحدى الدوائر المحددة. يمكن فهم المسار الإضافي للحل من المثال السابق.
الظل لدائرة أو حتى اثنتين أو أكثر ليس مهمة صعبة. بالطبع ، توقف علماء الرياضيات منذ فترة طويلة عن حل مثل هذه المشكلات يدويًا ويثقون في حسابات البرامج الخاصة. لكن لا تعتقد أنه ليس من الضروري الآن أن تكون قادرًا على القيام بذلك بنفسك ، لأنه من أجل صياغة مهمة لجهاز كمبيوتر بشكل صحيح ، عليك أن تفعل الكثير وتفهمه. لسوء الحظ ، هناك مخاوف من أنه بعد الانتقال النهائي إلى نموذج اختبار التحكم في المعرفة ، ستؤدي مهام البناء إلى المزيد والمزيد من الصعوبات للطلاب.
بالنسبة لإيجاد الظلال المشتركة لمزيد من الدوائر ، فليس من الممكن دائمًا ، حتى لو كانت تقع في نفس المستوى. لكن في بعض الحالات يمكنك أن تجد مثل هذا الخط المستقيم.
أمثلة الحياة
غالبًا ما تتم مصادفة الظل المشترك لدائرتين من الناحية العملية ، على الرغم من أنه لا يمكن ملاحظته دائمًا. الناقلات وأنظمة الكتل وأحزمة نقل البكرة وشد الخيط في ماكينة الخياطة وحتى مجرد سلسلة دراجات - كل هذه أمثلة من الحياة. لذلك لا تعتقد أن المشاكل الهندسية تبقى من الناحية النظرية فقط: في الهندسة والفيزياء والبناء والعديد من المجالات الأخرى ، تجد تطبيقات عملية.
