الدوال المثلثية العكسية تسبب تقليديًا صعوبات لأطفال المدارس. قد تكون القدرة على حساب ظل القوس لرقم ما مطلوبة في مهام الاستخدام في قياس التخطيط والقياس الفراغي. لحل معادلة ومشكلة مع معلمة بنجاح ، يجب أن يكون لديك فهم لخصائص وظيفة قوس الظل.
التعريف
الظل القوسي للرقم x هو رقم y الذي يكون الظل فيه x. هذا هو التعريف الرياضي.
تتم كتابة دالة قوس ظل الزاوية بالصيغة y=arctg x.
بشكل عام: y=Carctg (kx + a).
حساب
لفهم كيفية عمل الدالة المثلثية العكسية لقوس الزاوية ، عليك أولاً أن تتذكر كيف يتم تحديد قيمة ظل الرقم. دعونا نلقي نظرة فاحصة.
ظل x هو نسبة جيب x إلى جيب تمام x. إذا كانت واحدة على الأقل من هاتين الكميتين معروفة ، فيمكن الحصول على معامل الثانية من الهوية المثلثية الأساسية:
sin2x + cos2x=1.
باعتراف الجميع ، سيلزم إجراء تقييم لفتح الوحدة.
إذاالرقم نفسه معروف ، وليس خصائصه المثلثية ، ثم في معظم الحالات من الضروري تقدير ظل الرقم تقريبًا من خلال الرجوع إلى جدول Bradis.
الاستثناءات هي ما يسمى بالقيم القياسية.
معروضة في الجدول التالي:
بالإضافة إلى ما سبق ، يمكن اعتبار أي قيم تم الحصول عليها من البيانات عن طريق إضافة رقم من النموذج ½πк (к - أي عدد صحيح ، π=3 ، 14) قياسية.
ينطبق الأمر نفسه تمامًا على ظل القوس: غالبًا ما يمكن رؤية القيمة التقريبية من الجدول ، ولكن لا يُعرف على وجه اليقين سوى عدد قليل من القيم:
من الناحية العملية ، عند حل مسائل الرياضيات المدرسية ، من المعتاد إعطاء إجابة في شكل تعبير يحتوي على قوس الظل ، وليس تقديره التقريبي. على سبيل المثال ، arctg 6، arctg (-).
رسم رسم بياني
بما أن الظل يمكن أن يأخذ أي قيمة ، فإن مجال دالة قوس الظل هو خط الأعداد بالكامل. دعونا نشرح بمزيد من التفصيل.
يتوافق الظل نفسه مع عدد لا حصر له من الوسائط. على سبيل المثال ، ليس ظل الصفر فقط يساوي صفرًا ، ولكن أيضًا ظل أي رقم على الشكل π ك ، حيث ك عدد صحيح. لذلك ، وافق علماء الرياضيات على اختيار قيم ظل القوس من الفاصل الزمني من -½ π إلى ½ π. يجب فهمه بهذه الطريقة. نطاق دالة قوس الظل هو الفاصل الزمني (-π ؛ ½ π). لم يتم تضمين نهايات الفجوة ، لأن الظل -p و p غير موجودين.
في الفاصل الزمني المحدد ، يكون الظل بشكل مستمريزيد. هذا يعني أن الوظيفة العكسية للماس القوسي تتزايد باستمرار على خط الأعداد بالكامل ، ولكنها مقيدة من أعلى وأسفل. نتيجة لذلك ، يحتوي على خطين مقاربين أفقيين: y=-π و y=½ π.
في هذه الحالة ، tg 0=0 ، نقاط تقاطع أخرى مع محور الإحداثيات ، باستثناء (0 ؛ 0) ، لا يمكن أن يكون الرسم البياني بسبب الزيادة.
كما يلي من تكافؤ دالة الظل ، فإن قوس الظل له خاصية مماثلة.
لإنشاء رسم بياني ، خذ عدة نقاط من بين القيم القياسية:
مشتق الدالة y=arctg x عند أي نقطة يتم حسابها بواسطة الصيغة:
لاحظ أن مشتقها إيجابي في كل مكان. هذا يتوافق مع الاستنتاج الذي تم التوصل إليه سابقًا حول الزيادة المستمرة في الوظيفة.
يتلاشى المشتق الثاني من قوس الزاوية عند النقطة 0 ، ويكون سالبًا للقيم الموجبة للوسيطة ، والعكس صحيح.
هذا يعني أن الرسم البياني لوظيفة الظل القوسي له نقطة انعطاف عند الصفر ومحدب لأسفل على الفاصل الزمني (-∞ ؛ 0] ومحدب لأعلى على الفترة [0 ؛ +).
