أحد فروع الرياضيات التي يتعامل معها تلاميذ المدارس مع أكبر الصعوبات هو علم المثلثات. لا عجب: من أجل إتقان هذا المجال من المعرفة بحرية ، فأنت بحاجة إلى التفكير المكاني ، والقدرة على إيجاد الجيب وجيب التمام والظلال والمظلات باستخدام الصيغ ، وتبسيط التعبيرات ، والقدرة على استخدام الرقم pi في العمليات الحسابية. بالإضافة إلى ذلك ، يجب أن تكون قادرًا على تطبيق علم المثلثات عند إثبات النظريات ، وهذا يتطلب إما ذاكرة رياضية مطورة أو القدرة على استنتاج سلاسل منطقية معقدة.
أصول علم المثلثات
يجب أن تبدأ مقدمة هذا العلم بتعريف الجيب وجيب التمام وظل الزاوية ، ولكن عليك أولاً معرفة ما يفعله علم المثلثات بشكل عام.
تاريخياً ، كانت المثلثات القائمة هي الهدف الرئيسي للبحث في هذا القسم من العلوم الرياضية. إن وجود زاوية 90 درجة يجعل من الممكن إجراء عمليات مختلفة تسمح بعمليتينجوانب وزاوية واحدة أو زاويتان وجانب واحد لتحديد قيم جميع معلمات الشكل المعني. في الماضي ، لاحظ الناس هذا النمط وبدأوا في استخدامه بنشاط في تشييد المباني والملاحة وعلم الفلك وحتى الفن.
البداية
في البداية ، تحدث الناس عن علاقة الزوايا والأضلاع حصريًا على مثال المثلثات القائمة. ثم تم اكتشاف الصيغ الخاصة ، والتي جعلت من الممكن توسيع حدود الاستخدام في الحياة اليومية لهذا القسم من الرياضيات.
دراسة علم المثلثات في المدرسة اليوم تبدأ بالمثلثات القائمة ، وبعد ذلك يتم استخدام المعرفة المكتسبة من قبل الطلاب في الفيزياء وحل المعادلات المثلثية المجردة ، والتي يبدأ العمل بها في المدرسة الثانوية.
حساب المثلثات الكروية
في وقت لاحق ، عندما وصل العلم إلى المستوى التالي من التطور ، بدأ استخدام الصيغ ذات الجيب وجيب التمام والظل والظل في الهندسة الكروية ، حيث يتم تطبيق قواعد أخرى ، ومجموع الزوايا في المثلث دائمًا ما يكون أكثر من 180 درجة. لم يدرس هذا القسم في المدرسة ، لكن من الضروري معرفة وجوده ، على الأقل لأن سطح الأرض ، وسطح أي كوكب آخر ، محدب ، مما يعني أن أي علامة على السطح ستكون "على شكل قوس" "في فضاء ثلاثي الأبعاد.
خذ كرة أرضية وخيط. اربط الخيط بأي نقطتين على الكرة الأرضية بحيث يكون مشدودًا. انتبه - لقد اكتسب شكل قوس. إنها تتعامل مع مثل هذه الأشكالالهندسة الكروية المستخدمة في الجيوديسيا وعلم الفلك وغيرها من المجالات النظرية والتطبيقية.
مثلث يمين
بعد أن تعلمت قليلاً عن طرق استخدام علم المثلثات ، دعنا نعود إلى علم المثلثات الأساسي من أجل فهم أفضل لماهية الجيب وجيب التمام والظل ، وما هي الحسابات التي يمكن إجراؤها بمساعدتهم وما هي الصيغ التي يجب استخدامها.
بادئ ذي بدء ، تحتاج إلى فهم المفاهيم المتعلقة بالمثلث الأيمن. أولًا ، الوتر هو الضلع المقابل للزاوية 90 درجة. هي الأطول. نتذكر أنه وفقًا لنظرية فيثاغورس ، فإن قيمتها العددية تساوي جذر مجموع مربعات الضلعين الآخرين.
على سبيل المثال ، إذا كان طول ضلعين 3 و 4 سنتيمترات على التوالي ، فسيكون طول الوتر 5 سنتيمترات. بالمناسبة ، علم المصريون القدماء بهذا الأمر منذ حوالي أربعة آلاف ونصف سنة.
يسمى الجانبان المتبقيان اللذان يشكلان الزاوية اليمنى الأرجل. بالإضافة إلى ذلك ، يجب أن نتذكر أن مجموع زوايا المثلث في نظام إحداثيات مستطيل يساوي 180 درجة.
التعريف
أخيرًا ، بوجود فهم قوي للقاعدة الهندسية ، يمكننا أن ننتقل إلى تعريف الجيب وجيب التمام والظل للزاوية.
جيب الزاوية هو نسبة الضلع المقابل (أي الضلع المقابل للزاوية المرغوبة) إلى الوتر. جيب تمام الزاوية هو نسبة الضلع المجاورة إلى الوتر.
تذكر أنه لا الجيب ولا جيب التمام يمكن أن يكون أكبر من واحد! لماذا ا؟لأن الوتر هو افتراضيًا أطول ضلع في مثلث قائم الزاوية. بغض النظر عن طول الساق ، ستكون أقصر من الوتر ، مما يعني أن النسبة ستكون دائمًا أقل من واحد. وبالتالي ، إذا حصلت على جيب أو جيب التمام بقيمة أكبر من 1 في إجابة المشكلة ، فابحث عن خطأ في الحسابات أو التفكير. من الواضح أن هذه الإجابة خاطئة.
أخيرًا ، ظل الزاوية هو نسبة الضلع المقابل إلى الضلع المجاور. نفس النتيجة ستعطي قسمة الجيب على جيب التمام. انظر: وفقًا للصيغة ، نقسم طول الضلع على الوتر ، وبعد ذلك نقسم على طول الضلع الثاني ونضرب في الوتر. وهكذا نحصل على نفس النسبة كما في تعريف الظل.
ظل التمام ، على التوالي ، هو نسبة الضلع المجاور للزاوية إلى الضلع المقابل. نحصل على نفس النتيجة بقسمة الوحدة على الظل.
إذن ، لقد نظرنا في تعريفات ما هو الجيب وجيب التمام والظل والظل ، ويمكننا التعامل مع الصيغ.
صيغ بسيطة
في علم المثلثات لا يمكن للمرء الاستغناء عن الصيغ - كيف يمكن إيجاد الجيب وجيب التمام والظل والظل بدونها؟ لكن هذا هو بالضبط المطلوب عند حل المشاكل
الصيغة الأولى التي تحتاج إلى معرفتها عند البدء في دراسة علم المثلثات تنص على أن مجموع مربعي الجيب وجيب التمام لزاوية يساوي واحدًا. هذه الصيغة هي نتيجة مباشرة لنظرية فيثاغورس ، لكنها توفر الوقت إذا كنت بحاجة لمعرفة قيمة الزاوية وليس الضلع.
العديد من الطلاب لا يتذكرون الصيغة الثانية ، أيضا جداشائع في حل مشاكل المدرسة: مجموع واحد ومربع ظل الزاوية يساوي واحدًا مقسومًا على مربع جيب تمام الزاوية. ألقِ نظرة فاحصة: بعد كل شيء ، هذا هو نفس البيان كما في الصيغة الأولى ، تم تقسيم جانبي الهوية فقط على مربع جيب التمام. اتضح أن عملية حسابية بسيطة تجعل الصيغة المثلثية غير معروفة تمامًا. تذكر: معرفة ما هو الجيب وجيب التمام والظل والظل ، وقواعد التحويل وبعض الصيغ الأساسية ، يمكنك في أي وقت اشتقاق الصيغ الأكثر تعقيدًا المطلوبة بشكل مستقل على قطعة من الورق.
صيغ الزاوية المزدوجة وإضافة الوسائط
هناك صيغتان أخريان للتعلم تتعلقان بقيم الجيب وجيب التمام لمجموع الزوايا وفرقها. يتم عرضها في الشكل أدناه. يرجى ملاحظة أنه في الحالة الأولى ، يتم ضرب الجيب وجيب التمام في المرتين ، وفي الحالة الثانية ، يتم إضافة حاصل الضرب الزوجي للجيب وجيب التمام.
هناك أيضًا صيغ مرتبطة بوسائط مزدوجة الزاوية. إنها مشتقة تمامًا من سابقاتها - كممارسة ، حاول الحصول عليها بنفسك ، مع أخذ زاوية ألفا مساوية لزاوية بيتا.
أخيرًا ، لاحظ أنه يمكن تحويل صيغ الزاوية المزدوجة لتقليل درجة الجيب وجيب التمام والظل ألفا.
نظريات
النظريتان الرئيسيتان في علم المثلثات الأساسيان هما نظرية الجيب ونظرية جيب التمام. بمساعدة هذه النظريات ، يمكنك بسهولة فهم كيفية العثور على الجيب وجيب التمام والظل ، وبالتالي مساحة الشكل والحجمكل جانب ، إلخ.
تنص نظرية الجيب على أنه نتيجة قسمة طول كل جانب من جوانب المثلث على قيمة الزاوية المقابلة ، نحصل على نفس العدد. علاوة على ذلك ، فإن هذا الرقم سيكون مساويًا لنصف قطر الدائرة المقيدة ، أي الدائرة التي تحتوي على جميع نقاط المثلث المحدد.
تعمم نظرية جيب التمام نظرية فيثاغورس ، وتسقطها على أي مثلثات. اتضح أنه من مجموع مربعي الضلعين ، اطرح حاصل ضربهما مضروبًا في جيب التمام المزدوج للزاوية المجاورة لهما - ستكون القيمة الناتجة مساوية لمربع الضلع الثالث. وهكذا ، تبين أن نظرية فيثاغورس حالة خاصة من نظرية جيب التمام.
أخطاء بسبب الغفلة
حتى مع معرفة ماهية الجيب وجيب التمام والظل ، فمن السهل ارتكاب خطأ بسبب شرود الذهن أو خطأ في أبسط الحسابات. لتجنب مثل هذه الأخطاء ، دعونا نلقي نظرة على أكثرها شيوعًا.
أولاً ، لا تحوّل الكسور الشائعة إلى كسور عشرية قبل الحصول على النتيجة النهائية - يمكنك ترك الإجابة ككسر مشترك ، ما لم يُنص على خلاف ذلك في الشرط. لا يمكن وصف مثل هذا التحول بالخطأ ، ولكن يجب أن نتذكر أنه في كل مرحلة من مراحل المهمة ، قد تظهر جذور جديدة ، والتي ، وفقًا لفكرة المؤلف ، يجب تقليصها. في هذه الحالة ، سوف تضيع الوقت في عمليات حسابية غير ضرورية. هذا صحيح بشكل خاص لقيم مثل جذر ثلاثة أو اثنين ، لأنها تحدث في المهام في كل خطوة. الشيء نفسه ينطبق على التقريب.ارقام قبيحه
بعد ذلك ، لاحظ أن نظرية جيب التمام تنطبق على أي مثلث ، لكن ليس نظرية فيثاغورس! إذا نسيت عن طريق الخطأ طرح ضعف حاصل ضرب الأضلاع في جيب تمام الزاوية بينهما ، فلن تحصل على نتيجة خاطئة تمامًا فحسب ، بل ستظهر أيضًا سوء فهم كامل للموضوع. هذا أسوأ من خطأ إهمال.
ثالثًا ، لا تخلط بين قيم الزوايا 30 و 60 درجة للجيب وجيب التمام والظل والظل. تذكر هذه القيم ، لأن جيب الزاوية 30 درجة يساوي جيب التمام 60 ، والعكس صحيح. من السهل الخلط بينها ، وستحصل حتما على نتيجة خاطئة
التطبيق
العديد من الطلاب ليسوا في عجلة من أمرهم لبدء دراسة علم المثلثات ، لأنهم لا يفهمون معناها التطبيقي. ما هو الجيب ، وجيب التمام ، والظل للمهندس أو الفلك؟ هذه هي المفاهيم التي بفضلها يمكنك حساب المسافة إلى النجوم البعيدة ، والتنبؤ بسقوط نيزك ، وإرسال مسبار بحث إلى كوكب آخر. بدونها ، من المستحيل بناء مبنى أو تصميم سيارة أو حساب الحمل على السطح أو مسار كائن ما. وهذه ليست سوى الأمثلة الأكثر وضوحًا! بعد كل شيء ، علم المثلثات بشكل أو بآخر يستخدم في كل مكان ، من الموسيقى إلى الطب.
في الختام
إذن ، أنت تعرف ما هي الجيب وجيب التمام والظل. يمكنك استخدامها في العمليات الحسابية وحل مشاكل المدرسة بنجاح.
بيت القصيديتم تقليل علم المثلثات إلى حقيقة أنه وفقًا لمعايير المثلث المعروفة ، من الضروري حساب المجهول. هناك ستة معامِلات إجمالاً: أطوال الأضلاع الثلاثة وقياسات الزوايا الثلاث. يكمن الاختلاف الكامل في المهام في حقيقة أنه يتم تقديم بيانات إدخال مختلفة.
كيف تجد الجيب وجيب التمام والظل بناءً على الأطوال المعروفة للساقين أو الوتر ، كما تعلم الآن. نظرًا لأن هذه المصطلحات لا تعني أكثر من نسبة ، والنسبة هي كسر ، فإن الهدف الرئيسي للمسألة المثلثية هو إيجاد جذور معادلة عادية أو نظام معادلات. وهنا ستساعدك الرياضيات المدرسية المعتادة.
