كيف تجد حاصل ضرب المصفوفات. ضرب المصفوفة. حاصل الضرب القياسي للمصفوفات. حاصل ضرب ثلاث مصفوفات

2024 مؤلف: Angel Austin | [email protected]. آخر تعديل: 2023-12-17 05:16

المصفوفات (الجداول ذات العناصر الرقمية) يمكن استخدامها في حسابات متنوعة. بعضها هو الضرب في رقم ، متجه ، مصفوفة أخرى ، عدة مصفوفات. المنتج غير صحيح في بعض الأحيان. النتيجة الخاطئة هي نتيجة الجهل بقواعد أداء الإجراءات الحسابية. دعونا نتعرف على طريقة الضرب

مصفوفة ورقم

لنبدأ بأبسط شيء - ضرب جدول بأرقام في قيمة محددة. على سبيل المثال ، لدينا مصفوفة A تحتوي على العناصر_ij(أنا أرقام الصفوف و j هي أرقام الأعمدة) والرقم e. سيكون حاصل ضرب المصفوفة بالرقم e هو المصفوفة B مع العناصر b_ij، والتي توجد بالصيغة:

b_ij=e × a_ij.

ت. ه.للحصول على العنصر b₁₁، عليك أن تأخذ العنصر a₁₁وتضربه في الرقم المطلوب ، لتحصل على b₁₂مطلوب للعثور على منتج العنصر a₁₂والرقم e ، إلخ.

لنحل المشكلة رقم 1 المعروضة في الصورة. للحصول على المصفوفة B ، ما عليك سوى ضرب العناصر من A في 3:

1. a₁₁× 3=18. نكتب هذه القيمة في المصفوفة B في المكان الذي يتقاطع فيه العمود رقم 1 والصف رقم 1.
2. a₂₁× 3=15. حصلنا على العنصر b₂₁.
3. a₁₂× 3=-6. لقد تلقينا العنصر b₁₂. نكتبها في المصفوفة B في المكان الذي يتقاطع فيه العمود رقم 2 والصف رقم 1.
4. a₂₂× 3=9. هذه النتيجة هي العنصر b₂₂.
5. a₁₃× 3=12. أدخل هذا الرقم في المصفوفة بدلاً من العنصر b₁₃.
6. a₂₃× 3=-3. آخر رقم تم استلامه هو العنصر b₂₃.

وهكذا حصلنا على مصفوفة مستطيلة بها عناصر عددية

18	–6	12
15	9	–3

المتجهات وشرط وجود منتج المصفوفات

في التخصصات الرياضية ، هناك شيء مثل "المتجه". يشير هذا المصطلح إلى مجموعة مرتبة من القيم من₁إلى . يطلق عليهم اسم إحداثيات فضاء متجه ويتم كتابتهم في شكل عمود. هناك أيضًا مصطلح "ناقل ناقل". مكوناته مرتبة كسلسلة

يمكن استدعاء المتجهات المصفوفات:

• متجه العمود عبارة عن مصفوفة مبنية من عمود واحد ؛
• متجه الصف هو مصفوفة تتضمن صفًا واحدًا فقط.

عند الانتهاءعبر مصفوفات عمليات الضرب ، من المهم أن نتذكر أن هناك شرطًا لوجود منتج. لا يمكن تنفيذ الإجراء الحسابي A × B إلا عندما يكون عدد الأعمدة في الجدول A مساويًا لعدد الصفوف في الجدول B. تحتوي المصفوفة الناتجة عن الحساب دائمًا على عدد الصفوف في الجدول A وعدد الأعمدة في الجدول ب

عند الضرب ، لا يوصى بإعادة ترتيب المصفوفات (المضاعفات). لا يتوافق منتجهم عادةً مع قانون التبادلية (الإزاحة) الخاص بالضرب ، أي أن نتيجة العملية A × B لا تساوي نتيجة العملية B × A. المصفوفات. في بعض الحالات ، تكون نتيجة الضرب أ × ب مساوية لنتيجة الضرب ب × أ ، أي يكون المنتج تبادليًا. تسمى المصفوفات التي لها المساواة A × B=B × A مصفوفات التقليب. انظر أمثلة على هذه الجداول أدناه.

الضرب بواسطة متجه العمود

عند ضرب مصفوفة في متجه عمود ، يجب أن نأخذ في الاعتبار شرط وجود المنتج. يجب أن يتطابق عدد الأعمدة (n) في الجدول مع عدد الإحداثيات التي يتكون منها المتجه. نتيجة الحساب هي المتجه المحول. عدد إحداثياته يساوي عدد الأسطر (م) من الجدول.

كيف يتم حساب إحداثيات المتجه y إذا كانت هناك مصفوفة A والمتجه x؟ للحسابات تم إنشاء الصيغ:

y₁=a₁₁x₁+ a_{12 x}2_{+… + a}1 _{x ،}

y₂=a₂₁x₁+ a₂₂x₂+… + a 2n_{x ،}

………………………………… ،

y_m=a_m1x₁+ a_{m2 x}2_{+… + a}mn_{x ،}

حيث x₁ ،…، x هي إحداثيات من متجه x ، m هو عدد الصفوف في المصفوفة والرقم للإحداثيات في متجه y الجديد ، n هو عدد الأعمدة في المصفوفة وعدد الإحداثيات في متجه x ، a₁₁، a_{12 ،…، a}mn - عناصر المصفوفة أ.

وهكذا ، للحصول على المكون i للمتجه الجديد ، يتم تنفيذ المنتج القياسي. يتم أخذ متجه الصف i من المصفوفة A ، ويتم ضربه في المتجه x المتاح.

لنحل المشكلة رقم 2. يمكنك إيجاد حاصل ضرب مصفوفة ومتجه لأن A به 3 أعمدة و x يتكون من 3 إحداثيات. نتيجة لذلك ، يجب أن نحصل على متجه عمود به 4 إحداثيات. دعنا نستخدم الصيغ أعلاه:

1. حساب y₁. 1 × 4 + (–1) × 2 + 0 × (–4). القيمة النهائية هي 2.
2. حساب y₂. 0 × 4 + 2 × 2 + 1 × (–4). عند الحساب ، نحصل على 0.
3. احسب y₃. 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × (–4). مجموع حاصل ضرب العوامل المشار إليها هو 6.
4. حساب y₄. (-1) × 4 + 0 × 2 + 1 × (–4). الإحداثيات هي -8.

ضرب مصفوفة متجهية الصف

لا يمكنك ضرب مصفوفة بأعمدة متعددة في متجه صف. في مثل هذه الحالات ، لا يتم استيفاء شرط وجود العمل. لكن من الممكن ضرب متجه الصف في مصفوفة. هذهيتم تنفيذ العملية الحسابية عندما يتطابق عدد الإحداثيات في المتجه مع عدد الصفوف في الجدول. ناتج حاصل ضرب المتجه والمصفوفة هو متجه صف جديد. يجب أن يساوي عدد إحداثياته عدد الأعمدة في المصفوفة.

حساب الإحداثي الأول لمتجه جديد يتضمن ضرب متجه الصف ومتجه العمود الأول من الجدول. يتم حساب الإحداثي الثاني بطريقة مماثلة ، ولكن بدلاً من متجه العمود الأول ، يتم أخذ متجه العمود الثاني. ها هي الصيغة العامة لحساب الإحداثيات:

y_k=a_1kx₁+ a_2kx₂+… + a_mkx_م ،

حيث y_kهو إحداثي من المتجه y ، (k بين 1 و n) ، m هو عدد الصفوف في المصفوفة وعدد الإحداثيات في المتجه x ، n هو عدد الأعمدة في المصفوفة وعدد الإحداثيات في المتجه y ، مع المؤشرات الأبجدية الرقمية هي عناصر المصفوفة A.

منتج المصفوفات المستطيلة

قد يبدو هذا الحساب معقدًا. ومع ذلك ، فإن عملية الضرب تتم بسهولة. لنبدأ بتعريف. حاصل ضرب المصفوفة A مع m من الصفوف و n من الأعمدة والمصفوفة B مع n من الصفوف والأعمدة p هو مصفوفة C مع m من الصفوف والأعمدة p ، حيث يكون العنصر c_ijهو مجموع حاصل ضرب العناصر في الصف الأول من الجدول A والعمود j من الجدول B. بعبارات أبسط ، فإن العنصر c_ijهو المنتج القياسي للصف الأول متجه من الجدول A ومتجه العمود j من الجدول B.

الآن دعونا نفهم عمليًا كيفية إيجاد حاصل ضرب المصفوفات المستطيلة. لنحل المشكلة رقم 3 لهذا ، تم استيفاء شرط وجود المنتج. لنبدأ في حساب العناصر c_ij:

1. سيتكون المصفوفة C من صفين و 3 أعمدة.
2. حساب العنصر c₁₁. للقيام بذلك ، نقوم بتنفيذ حاصل الضرب القياسي للصف رقم 1 من المصفوفة A والعمود رقم 1 من المصفوفة B. c₁₁=0 × 7 + 5 × 3 + 1 × 1=16. ثم ننتقل بطريقة مماثلة ، بتغيير الصفوف والأعمدة فقط (حسب فهرس العنصر)
3. ج₁₂=12.
4. c₁₃=9.
5. ج₂₁=31.
6. ج₂₂=18.
7. c₂₃=36.

يتم حساب العناصر. الآن يبقى فقط عمل كتلة مستطيلة من الأرقام المستلمة

16	12	9
31	18	36

ضرب ثلاث مصفوفات: الجزء النظري

هل يمكنك إيجاد ناتج ثلاث مصفوفات؟ هذه العملية الحسابية مجدية. يمكن الحصول على النتيجة بعدة طرق. على سبيل المثال ، هناك 3 جداول مربعة (من نفس الترتيب) - A و B و C. لحساب المنتج ، يمكنك:

1. اضرب A و B أولاً ثم اضرب الناتج في C.
2. أولاً أوجد حاصل ضرب B و C ثم اضرب المصفوفة A في النتيجة

إذا كنت بحاجة إلى ضرب المصفوفات المستطيلة ، فأنت بحاجة أولاً إلى التأكد من أن هذه العملية الحسابية ممكنة. ينبغيالمنتجات A × B و B × C موجودة

الضرب التدريجي ليس خطأ. هناك شيء مثل "اتحاد ضرب المصفوفة". يشير هذا المصطلح إلى المساواة (أ × ب) × ج=أ × (ب × ج).

ممارسة ضرب المصفوفات الثلاثة

المصفوفات المربعة

ابدأ بضرب المصفوفات المربعة الصغيرة. يوضح الشكل أدناه المشكلة رقم 4 التي يتعين علينا حلها.

سوف نستخدم خاصية التجميع. أولاً نضرب إما A و B أو B و C. نتذكر شيئًا واحدًا فقط: لا يمكنك مبادلة العوامل ، أي أنه لا يمكنك ضرب B × A أو C × B. بهذه الضرب ، سنحصل على نتيجة خاطئة.

تقدم القرار.

الخطوة الأولى. لإيجاد حاصل الضرب المشترك ، نضرب أولاً في ب. عند ضرب مصفوفتين ، سنسترشد بالقواعد الموضحة أعلاه. إذن ، نتيجة ضرب A و B ستكون مصفوفة D تتكون من صفين وعمودين ، أي أن المصفوفة المستطيلة ستتضمن 4 عناصر. دعنا نعثر عليهم من خلال إجراء الحساب:

• د₁₁=0 × 1 + 5 × 6=30 ؛
• د₁₂=0 × 4 + 5 × 2=10 ؛
• د₂₁=3 × 1 + 2 × 6=15 ؛
• د₂₂=3 × 4 + 2 × 2=16.

نتيجة وسيطة جاهزة.

30	10
15	16

الخطوة الثانية. الآن لنضرب المصفوفة D في المصفوفة C. النتيجة يجب أن تكون مصفوفة مربعة G مع صفين وعمودين. حساب العناصر:

• ز₁₁=30 × 8 + 10 × 1=250 ؛
• ز₁₂=30 × 5 + 10 × 3=180 ؛
• ز₂₁=15 × 8 + 16 × 1=136 ؛
• ز₂₂=15 × 5 + 16 × 3=123.

نتيجة حاصل ضرب المصفوفات المربعة هو جدول G مع العناصر المحسوبة

250	180
136	123

المصفوفات المستطيلة

يوضح الشكل أدناه المشكلة رقم 5. مطلوب مضاعفة المصفوفات المستطيلة وإيجاد حل.

دعونا نتحقق مما إذا كان شرط وجود النواتج A × B و B × C مستوفى ، حيث تسمح لنا أوامر المصفوفات المشار إليها بإجراء الضرب. لنبدأ في حل المشكلة

تقدم القرار.

الخطوة الأولى. اضرب B في C لتحصل على D. تحتوي المصفوفة B على 3 صفوف و 4 أعمدة ، والمصفوفة C بها 4 صفوف وعمودان. هذا يعني أننا سنحصل على مصفوفة D مكونة من 3 صفوف وعمودين. دعونا نحسب العناصر. فيما يلي مثالان للعمليات الحسابية:

• د₁₁=3 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1=0 ؛
• د₁₂=3 × 2 + 0 × 3 + 1 × 1 + 0 × 6=7.

نواصل حل المشكلة. نتيجة لمزيد من العمليات الحسابية ، نجد القيم d₂₁، d₂ 2، d₃₁و d₃₂. هذه العناصر هي 0 و 19 و 1 و 11 على التوالي. دعونا نكتب القيم التي تم العثور عليها في مصفوفة مستطيلة.

0	7
0	19
1	11

الخطوة الثانية. اضرب A في D لتحصل على المصفوفة النهائية F. سيكون لها صفان وعمودان. حساب العناصر:

• f₁₁=2 × 0 + 6 × 0 + 1 × 1=1 ؛
• f₁₂=2 × 7 + 6 × 19 + 1 × 11=139 ؛
• f₂₁=0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1=3 ؛
• f₂₂=0 × 7 + 1 × 19 + 3 × 11=52.

قم بتكوين مصفوفة مستطيلة ، وهي النتيجة النهائية لضرب ثلاث مصفوفات.

1	139
3	52

مقدمة للعمل المباشر

من الصعب جدًا فهم مادة منتج Kronecker للمصفوفات. كما أن لها اسمًا إضافيًا - عمل مباشر. ما هو المقصود بهذا المصطلح؟ لنفترض أن لدينا الجدول A بالرتبة m × n والجدول B بالرتبة p × q. الناتج المباشر للمصفوفة A والمصفوفة B هو مصفوفة مرتبة mp × nq

لدينا مصفوفتان مربعتان A ، B ، والتي تظهر في الصورة. الأول يتكون من عمودين وصفين ، والثاني به 3 أعمدة و 3 صفوف. نرى أن المصفوفة الناتجة عن المنتج المباشر تتكون من 6 صفوف ونفس عدد الأعمدة بالضبط.

كيف يتم حساب عناصر المصفوفة الجديدة في منتج مباشر؟ العثور على إجابة لهذا السؤال سهل للغاية إذا قمت بتحليل الصورة. املأ السطر الأول أولاً. خذ العنصر الأول من الصف العلوي بالجدول A واضربه بالتسلسل في عناصر الصف الأولمن الجدول ب. بعد ذلك ، خذ العنصر الثاني من الصف الأول من الجدول A واضربه بالتسلسل في عناصر الصف الأول من الجدول B. لملء الصف الثاني ، خذ العنصر الأول من الصف الأول من الجدول A مرة أخرى و اضربها في عناصر الصف الثاني من الجدول B.

تسمى المصفوفة النهائية التي تم الحصول عليها عن طريق المنتج المباشر مصفوفة الكتلة. إذا قمنا بتحليل الشكل مرة أخرى ، يمكننا أن نرى أن نتيجتنا تتكون من 4 كتل. تشتمل جميعها على عناصر المصفوفة B. بالإضافة إلى ذلك ، يتم ضرب عنصر من كل كتلة بواسطة عنصر محدد من المصفوفة A. في الكتلة الأولى ، يتم ضرب جميع العناصر بـ₁₁، في الثاني - بواسطة_{12 ، في الثالث - على}21_{، في الرابع - على}22.

محدد المنتج

عند النظر في موضوع ضرب المصفوفات ، يجدر النظر في مصطلح مثل "محدد حاصل ضرب المصفوفات". ما هو المحدد؟ هذه خاصية مهمة للمصفوفة المربعة ، قيمة معينة يتم تخصيصها لهذه المصفوفة. التعيين الحرفي للمحدد هو det.

بالنسبة للمصفوفة A التي تتكون من عمودين وصفين ، يسهل العثور على المحدد. هناك معادلة صغيرة هي الفرق بين منتجات عناصر محددة:

det A=a₁₁× a₂₂- a₁₂× a₂₁.

دعنا نفكر في مثال لحساب المحدد لجدول من الدرجة الثانية. توجد مصفوفة أ يكون فيها أ₁₁=2 ، و₁₂=3 ، و₂₁=5 و 22_{=1. لحساب المحدد ، استخدم الصيغة:}

det A=2 × 1-3 × 5=2-15=–13.

بالنسبة لمصفوفات 3 × 3 ، يتم حساب المحدد باستخدام صيغة أكثر تعقيدًا. يتم تقديمه أدناه للمصفوفة أ:

det A=a₁₁a₂₂a₃₃+ a_{12 a}23_a31_{+ a}13_a21_{a 32}- a₁₃a₂₂a₃₁- a₁₁a₂₃a₃₂- a₁₂a₂₁أ₃₃.

لتذكر الصيغة ، توصلنا إلى قاعدة المثلث الموضحة في الصورة. أولاً ، يتم ضرب عناصر القطر الرئيسي. يتم إضافة منتجات تلك العناصر المشار إليها بزوايا المثلثات ذات الجوانب الحمراء إلى القيمة التي تم الحصول عليها. بعد ذلك ، يتم طرح منتج عناصر القطر الثانوي ويتم طرح منتجات تلك العناصر المشار إليها بزوايا المثلثات ذات الجوانب الزرقاء.

الآن دعنا نتحدث عن محدد حاصل ضرب المصفوفات. هناك نظرية تقول أن هذا المؤشر يساوي حاصل ضرب محددات جداول المضاعف. دعنا نتحقق من هذا بمثال. لدينا مصفوفة أ بإدخالات أ₁₁=2 ، و₁₂=3 ، و₂₁=1 و22_{=1 والمصفوفة B مع إدخالات b}11_{=4، b}12_{=5، b}21_{=1 و b}22_{=2. أوجد المحددات للمصفوفتين A و B ، والمنتج A × B ومحدد هذا المنتج.}

تقدم القرار.

الخطوة الأولى. احسب محدد A: det A=2 × 1-3 × 1=–1. بعد ذلك ، احسب المحدد لـ B: det B=4 × 2-5 × 1=3.

الخطوة الثانية. لنجدالمنتج A × B. يشير إلى المصفوفة الجديدة بالحرف C. احسب عناصرها:

• ج₁₁=2 × 4 + 3 × 1=11 ؛
• c₁₂=2 × 5 + 3 × 2=16 ؛
• c₂₁=1 × 4 + 1 × 1=5 ؛
• ج₂₂=1 × 5 + 1 × 2=7.

الخطوة الثالثة. احسب محدد C: det C=11 × 7 - 16 × 5=–3. قارن مع القيمة التي يمكن الحصول عليها بضرب محددات المصفوفات الأصلية. الأرقام هي نفسها. النظرية أعلاه صحيحة.

رتبة المنتج

رتبة المصفوفة هي خاصية تعكس الحد الأقصى لعدد الصفوف أو الأعمدة المستقلة خطيًا. لحساب الرتبة ، يتم إجراء التحويلات الأولية للمصفوفة:

• إعادة ترتيب صفين متوازيين ؛
• ضرب كل عناصر صف معين من الجدول بعدد غير صفري ؛
• إضافة إلى عناصر صف واحد من العناصر من صف آخر ، مضروبة في رقم محدد.

بعد التحويلات الأولية ، انظر إلى عدد السلاسل غير الصفرية. عددهم هو رتبة المصفوفة. تأمل المثال السابق. قدم مصفوفتين: أ مع العناصر أ₁₁=2 ، أ₁₂=3 ، أ₂₁=1 و أ₂₂=1 و ب مع العناصر ب₁₁=4 ، ب₁₂=5 ، ب 21_{=1 و b}22_{=2. سنستخدم أيضًا المصفوفة C التي تم الحصول عليها نتيجة الضرب. إذا أجرينا تحويلات أولية ، فلن يكون هناك صفوف صفرية في المصفوفات المبسطة. وهذا يعني أن كلا من رتبة الجدول أ ، ورتبة الجدول ب ، والرتبةالجدول C هو 2.}

الآن دعنا نولي اهتماما خاصا لرتبة منتج المصفوفات. هناك نظرية تقول أن مرتبة منتج الجداول التي تحتوي على عناصر رقمية لا تتجاوز مرتبة أي من العوامل. يمكن إثبات ذلك. لنفترض أن A مصفوفة k × s و B مصفوفة s × m. حاصل ضرب A و B يساوي C.

دعونا ندرس الصورة أعلاه. يُظهر العمود الأول من المصفوفة C ورمزها المبسط. هذا العمود عبارة عن مجموعة خطية من الأعمدة المضمنة في المصفوفة أ. وبالمثل ، يمكن للمرء أن يقول عن أي عمود آخر من المصفوفة المستطيلة ج. وهكذا ، فإن الفضاء الجزئي المكون من نواقل العمود بالجدول C في الفضاء الجزئي الذي شكله متجهات العمود بالجدول A. بهذا ، فإن أبعاد الفضاء الفرعي رقم 1 لا يتجاوز أبعاد الفضاء الفرعي رقم 2. وهذا يعني أن الترتيب في أعمدة الجدول C لا يتجاوز الترتيب في أعمدة الجدول A ، أي ص (ج) ≦ ص (أ). إذا جادلنا بطريقة مماثلة ، فيمكننا التأكد من أن صفوف المصفوفة C هي مجموعات خطية لصفوف المصفوفة B. وهذا يدل على عدم المساواة r (C) ≦ r (B).

كيفية العثور على منتج المصفوفات موضوع معقد إلى حد ما. يمكن إتقانها بسهولة ، ولكن لتحقيق مثل هذه النتيجة ، سيتعين عليك قضاء الكثير من الوقت في حفظ جميع القواعد والنظريات الموجودة.