من المستحيل أن تدعي أنك تعرف الرياضيات إذا كنت لا تعرف كيفية رسم الرسوم البيانية ، ورسم عدم المساواة على خط إحداثيات ، والعمل مع محاور الإحداثيات. يعد المكون المرئي في العلم أمرًا حيويًا ، لأنه بدون الأمثلة المرئية في الصيغ والحسابات ، قد تشعر أحيانًا بالارتباك الشديد. في هذه المقالة ، سوف نرى كيفية العمل مع محاور الإحداثيات ومعرفة كيفية إنشاء الرسوم البيانية للوظائف البسيطة.
التطبيق
خط الإحداثيات هو أساس أبسط أنواع الرسوم البيانية التي يصادفها الطالب في مساره التعليمي. يتم استخدامه في كل موضوع رياضي تقريبًا: عند حساب السرعة والوقت ، وإسقاط حجم الكائنات وحساب مساحتها ، في علم المثلثات عند العمل مع الجيب وجيب التمام.
القيمة الرئيسية لمثل هذا الخط المباشر هي الرؤية. نظرًا لأن الرياضيات هي علم يتطلب مستوى عالٍ من التفكير المجرد ، فإن الرسوم البيانية تساعد في تمثيل كائن ما في العالم الحقيقي. كيف يتصرف؟ في أي نقطة في الفضاء سوفبضع ثوان ، دقائق ، ساعات؟ ماذا يمكن أن يقال عنها بالمقارنة مع الأشياء الأخرى؟ ما هي سرعته في وقت تم اختياره بشكل عشوائي؟ كيف يميز حركته؟
ونتحدث عن السرعة لسبب ما - غالبًا ما يتم عرضها بواسطة الرسوم البيانية للوظائف. ويمكنهم أيضًا عرض التغيرات في درجة الحرارة أو الضغط داخل الجسم وحجمه واتجاهه بالنسبة إلى الأفق. وبالتالي ، غالبًا ما يكون بناء خط إحداثيات مطلوبًا في الفيزياء أيضًا.
رسم بياني أحادي البعد
هناك مفهوم متعدد الأبعاد. في الفضاء أحادي البعد ، يكفي رقم واحد لتحديد موقع النقطة. هذا هو الحال بالضبط مع استخدام خط الإحداثيات. إذا كانت المساحة ثنائية الأبعاد ، فسيلزم وجود رقمين. يتم استخدام المخططات من هذا النوع في كثير من الأحيان ، وسننظر فيها بالتأكيد لاحقًا في المقالة.
ما الذي يمكن رؤيته بمساعدة النقاط على المحور ، إذا كان هناك محور واحد فقط؟ يمكنك رؤية حجم الكائن ، وموقعه في الفضاء بالنسبة لبعض "الصفر" ، أي النقطة المختارة كنقطة مرجعية.
لن يكون تغيير المعلمات بمرور الوقت مرئيًا ، حيث سيتم عرض جميع القراءات للحظة معينة. ومع ذلك ، عليك أن تبدأ من مكان ما! فلنبدأ.
كيفية بناء محور إحداثيات
أولاً ، تحتاج إلى رسم خط أفقي - سيكون هذا هو محورنا. على الجانب الأيمن ، "شحذ" بحيث يبدو كسهم. وبالتالي ، سوف نشير إلى الاتجاه الذي ستكون فيه الأرقامزيادة. في الاتجاه الهابط ، لا يتم وضع السهم عادةً. تقليديا ، يشير المحور إلى اليمين ، لذلك سنتبع هذه القاعدة فقط.
لنضع علامة الصفر ، والتي ستعرض أصل الإحداثيات. هذا هو المكان الذي يؤخذ منه العد التنازلي ، سواء كان الحجم أو الوزن أو السرعة أو أي شيء آخر. بالإضافة إلى الصفر ، يجب علينا بالضرورة تحديد ما يسمى بسعر القسمة ، أي إدخال معيار الوحدة ، والذي بموجبه سنرسم كميات معينة على المحور. يجب القيام بذلك حتى تتمكن من إيجاد طول المقطع على خط الإحداثيات.
من خلال مسافة متساوية من بعضها البعض ، ضع النقاط أو "الشقوق" على الخط ، وتحتها اكتب 1 ، 2 ، 3 ، على التوالي ، وهكذا. والآن ، كل شيء جاهز. لكن مع الجدول الناتج ، ما زلت بحاجة إلى تعلم كيفية العمل.
أنواع النقاط على خط الإحداثيات
من النظرة الأولى على الرسومات المقترحة في الكتب المدرسية ، يتضح: النقاط على المحور يمكن ملؤها أو عدم ملؤها. هل تعتقد أنها مصادفة؟ مُطْلَقاً! تُستخدم النقطة "الصلبة" للتفاوت غير الصارم - النقطة التي تُقرأ على أنها "أكبر من أو تساوي". إذا احتجنا إلى تقييد الفترة الزمنية (على سبيل المثال ، يمكن أن تأخذ "x" قيمًا من صفر إلى واحد ، ولكنها لا تشملها) ، فسنستخدم نقطة "مجوفة" ، أي في الواقع ، دائرة صغيرة على المحور. وتجدر الإشارة إلى أن الطلاب لا يحبون حقًا عدم المساواة الصارمة ، لأن التعامل معهم أكثر صعوبة.
اعتمادًا على النقاط التي تريدهاباستخدام الرسم البياني ، سيتم أيضًا استدعاء الفواصل الزمنية المبنية. إذا كانت المتباينة في كلا الطرفين غير صارمة ، فسنحصل على جزء. إذا اتضح من ناحية أنه "مفتوح" ، فسيتم استدعاؤه بنصف فترة. أخيرًا ، إذا كان جزء من الخط محددًا على كلا الجانبين بنقاط مجوفة ، فسيتم تسميته بالفاصل الزمني.
الطائرة
عند إنشاء خطين مستقيمين على مستوى الإحداثيات ، يمكننا بالفعل النظر في الرسوم البيانية للوظائف. لنفترض أن الخط الأفقي هو محور الوقت ، والخط العمودي هو المسافة. والآن يمكننا تحديد المسافة التي سيتغلب عليها الجسم في دقيقة أو ساعة من السفر. وبالتالي ، فإن العمل باستخدام مستوى يجعل من الممكن مراقبة التغيير في حالة الكائن. هذا أكثر إثارة للاهتمام من استكشاف حالة ثابتة.
أبسط رسم بياني على هذا المستوى هو خط مستقيم ، فهو يعكس الوظيفة Y (X)=aX + b. هل الخط ينحني؟ هذا يعني أن الكائن يغير خصائصه أثناء الدراسة.
تخيل أنك تقف على سطح مبنى ممسكًا بحجر في يدك الممدودة. عندما تحرره ، سوف يطير لأسفل ، ويبدأ حركته من السرعة الصفرية. لكنه سيتغلب في ثانية على 36 كيلومترًا في الساعة. سيستمر الحجر في التسارع أكثر ، ومن أجل رسم حركته على الرسم البياني ، ستحتاج إلى قياس سرعته في عدة نقاط زمنية عن طريق تحديد نقاط على المحور في الأماكن المناسبة.
العلامات الموجودة على خط الإحداثيات الأفقية بشكل افتراضي تسمى X1 و X2 و X3 وعلى الخط العمودي - Y1 و Y2 و Y3 على التوالي. إسقاطمنهم إلى المستوى وإيجاد التقاطعات ، نجد شظايا من النمط الناتج. من خلال ربطهم بخط واحد ، نحصل على رسم بياني للوظيفة. في حالة سقوط الحجر ، ستبدو الدالة التربيعية كما يلي: Y (X)=aXX + bX + c.
مقياس
بالطبع ، ليس من الضروري وضع قيم صحيحة بجانب الأقسام بخط مستقيم. إذا كنت تفكر في حركة حلزون يزحف بسرعة 0.03 متر في الدقيقة ، فاضبط كقيم على جزء الإحداثيات. في هذه الحالة ، اضبط الفاصل الزمني للمقياس على 0.01 متر.
من الملائم بشكل خاص تنفيذ مثل هذه الرسومات في دفتر ملاحظات في قفص - هنا يمكنك على الفور معرفة ما إذا كانت هناك مساحة كافية على الورقة للرسم البياني الخاص بك ، إذا تجاوزت الهوامش. ليس من الصعب حساب قوتك ، لأن عرض الخلية في مثل هذا الكمبيوتر المحمول يبلغ 0.5 سم. استغرق الأمر - تقليل الصورة. لن تؤدي التغييرات في مقياس الرسم البياني إلى فقدانه أو تغيير خصائصه.
إحداثيات النقطة والجزء
عندما يتم إعطاء مسألة رياضية في الدرس ، يمكن أن تحتوي على معلمات لأشكال هندسية مختلفة ، سواء في شكل أطوال الأضلاع ، والمحيط ، والمساحة ، وفي شكل إحداثيات. في هذه الحالة ، قد تحتاج إلى إنشاء شكل والحصول على بعض البيانات المرتبطة به. السؤال الذي يطرح نفسه: كيف تجد المعلومات المطلوبة على خط الإحداثيات؟ وكيف نبني الشكل؟
على سبيل المثال ، نحن نتحدث عن نقطة. ثم سيظهر حرف كبير في حالة المشكلة ، وستظهر عدة أرقام بين قوسين ، وغالبًا ما يكون رقمان (وهذا يعني أننا سنعد في الفضاء ثنائي الأبعاد).إذا كان هناك ثلاثة أرقام بين قوسين ، مفصولة بفاصلة منقوطة أو فاصلة ، فهذا يعد مسافة ثلاثية الأبعاد. كل من القيم هي إحداثيات على المحور المقابل: أولاً على طول الأفقي (X) ، ثم على طول الرأسي (Y).
تذكر كيفية رسم قطعة؟ لقد مررتها على الهندسة. إذا كانت هناك نقطتان ، فيمكن رسم خط بينهما. يشار إلى إحداثياتهم بين قوسين إذا ظهر مقطع في المشكلة. على سبيل المثال: أ (15 ، 13) - ب (1 ، 4). لإنشاء مثل هذا الخط ، تحتاج إلى البحث عن النقاط ووضع علامة عليها على مستوى الإحداثيات ، ثم توصيلها. هذا كل شيء!
وأي مضلعات ، كما تعلم ، يمكن رسمها باستخدام المقاطع. تم حل المشكلة.
الحسابات
لنفترض أن هناك كائنًا يتميز موضعه على طول المحور X برقمين: يبدأ عند النقطة بالإحداثيات (-3) وينتهي عند (+2). إذا أردنا معرفة طول هذا الجسم ، فعلينا طرح الرقم الأصغر من العدد الأكبر. لاحظ أن العدد السالب يمتص علامة الطرح ، لأن "a ناقص في a ناقص يساوي a زائد". نضيف (2 + 3) ونحصل على 5. هذه هي النتيجة المطلوبة
مثال آخر: حصلنا على نقطة النهاية وطول الكائن ، ولكن ليس نقطة البداية (ونحتاج إلى العثور عليها). اجعل موضع النقطة المعروفة (6) ، ويكون حجم الشيء قيد الدراسة (4). نحصل على الإجابة بطرح الطول من الإحداثي النهائي. المجموع: (6-4)=2.
الأرقام السالبة
غالبًا ما يكون مطلوبًا من الناحية العملية العمل مع القيم السلبية. في هذه الحالة سنفعلتحرك إلى اليسار على طول محور الإحداثيات. على سبيل المثال ، يطفو جسم ارتفاعه 3 سم في الماء. ثلثه مغمور في السائل ، وثلثا في الهواء. بعد ذلك ، باختيار سطح الماء كمحور ، نحصل على رقمين باستخدام أبسط الحسابات الحسابية: النقطة العلوية للكائن لها الإحداثيات (+2) ، والنقطة السفلية - (-1) سنتيمتر.
من السهل أن نرى أنه في حالة الطائرة ، لدينا أربعة أرباع خط الإحداثيات. كل واحد منهم لديه رقمه الخاص. في الجزء الأول (أعلى اليمين) ستكون هناك نقاط لها إحداثيان موجبان ، في الجزء الثاني - أعلى اليسار - ستكون قيم المحور X سالبة ، وعلى طول المحور Y - موجبة. يتم حساب الثالث والرابع بشكل أكبر عكس اتجاه عقارب الساعة.
خاصية مهمة
أنت تعلم أنه يمكن تمثيل الخط بعدد لا حصر له من النقاط. يمكننا أن ننظر بعناية كما نحب أي عدد من القيم في كل اتجاه للمحور ، لكننا لن نلتقي بالقيم المتكررة. يبدو ساذجًا ومفهومًا ، لكن هذا البيان ينبع من حقيقة مهمة: كل رقم يتوافق مع نقطة واحدة فقط على خط الإحداثيات.
الخلاصة
تذكر أن أي محاور وأرقام ، وإذا أمكن ، رسومات يجب أن تُبنى على مسطرة. وحدات القياس لم يخترعها الإنسان بالصدفة - إذا ارتكبت خطأ أثناء الرسم ، فإنك تخاطر برؤية صورة مختلفة عما كان ينبغي أن تكون عليه.
كن حذرًا ودقيقًا في التخطيط والحسابات. الرياضيات مثل أي علم يدرس في المدرسة تحب الدقة. ضع القليل من الجهد والجيدالتقييمات لن تكون طويلة في المستقبل.
