مفهوم مهم في الرياضيات هو الوظيفة. بمساعدتها ، يمكنك تصور العديد من العمليات التي تحدث في الطبيعة ، وتعكس العلاقة بين كميات معينة باستخدام الصيغ والجداول والصور على الرسم البياني. مثال على ذلك هو اعتماد ضغط الطبقة السائلة على الجسم على عمق الانغماس ، والتسارع - على تأثير قوة معينة على الجسم ، وزيادة درجة الحرارة - على الطاقة المنقولة ، والعديد من العمليات الأخرى. تتضمن دراسة الوظيفة إنشاء رسم بياني ، وتوضيح خصائصه ، والنطاق والقيم ، وفترات الزيادة والنقصان. نقطة مهمة في هذه العملية هي إيجاد النقاط القصوى. حول كيفية القيام بذلك بشكل صحيح ، وسوف تستمر المحادثة.
حول المفهوم نفسه في مثال محدد
في الطب ، يمكن أن يخبر الرسم البياني للوظيفة عن تقدم المرض في جسم المريض ، مما يعكس حالته بصريًا. لنفترض أن الوقت بالأيام مرسوم على طول محور OX ، وأن درجة حرارة جسم الإنسان مخططة على طول محور OY. يوضح الشكل بوضوح كيف يرتفع هذا المؤشر بشكل حاد وثم يقع. من السهل أيضًا ملاحظة النقاط الفردية التي تعكس اللحظات التي تبدأ فيها الوظيفة ، بعد أن زادت سابقًا ، في الانخفاض ، والعكس صحيح. هذه هي النقاط القصوى ، أي القيم الحرجة (القصوى والدنيا) في هذه الحالة لدرجة حرارة المريض ، وبعدها تحدث تغيرات في حالته.
زاوية الميل
من السهل تحديد كيف يتغير مشتق الوظيفة من الشكل. إذا ارتفعت الخطوط المستقيمة في الرسم البياني بمرور الوقت ، فهذا يعني أنها موجبة. وكلما كانت أكثر حدة ، زادت قيمة المشتق ، حيث تزداد زاوية الميل. خلال فترات الانخفاض ، تأخذ هذه القيمة قيمًا سالبة ، وتتحول إلى الصفر عند النقاط القصوى ، ويتم رسم الرسم البياني للمشتق في الحالة الأخيرة بالتوازي مع محور OX.
يجب التعامل مع أي عملية أخرى بنفس الطريقة. لكن أفضل ما في هذا المفهوم يمكن أن يخبرنا عن حركة مختلف الأجسام ، كما هو موضح بوضوح على الرسوم البيانية.
حركة
افترض أن بعض الأشياء تتحرك في خط مستقيم ، وتكتسب السرعة بالتساوي. خلال هذه الفترة ، يمثل التغيير في إحداثيات الجسم بيانياً منحنى معينًا ، والذي قد يسميه عالم الرياضيات فرعًا من القطع المكافئ. في الوقت نفسه ، تتزايد الوظيفة باستمرار ، حيث تتغير مؤشرات الإحداثيات بشكل أسرع وأسرع مع كل ثانية. يوضح الرسم البياني للسرعة سلوك المشتق الذي تزداد قيمته أيضًا. هذا يعني أن الحركة ليس لها نقاط حرجة.
كان سيستمر إلى أجل غير مسمى. ولكن إذا قرر الجسم فجأة أن يبطئ ، فتوقف وابدأ في التحرك في مكان آخراتجاه؟ في هذه الحالة ، ستبدأ مؤشرات التنسيق في الانخفاض. وستمرر الدالة القيمة الحرجة وتتحول من زيادة إلى تناقص.
في هذا المثال ، يمكنك أن تفهم مرة أخرى أن النقاط القصوى على الرسم البياني للوظيفة تظهر في اللحظات التي تتوقف فيها عن أن تكون رتيبة.
المعنى المادي للمشتق
الموصوف سابقًا أظهر بوضوح أن المشتق هو أساسًا معدل تغير الوظيفة. يحتوي هذا الصقل على معناه المادي. النقاط القصوى هي مناطق حرجة على الرسم البياني. من الممكن اكتشافها وكشفها عن طريق حساب قيمة المشتق والتي يتبين أنها تساوي الصفر.
هناك علامة أخرى ، وهي شرط كاف لأقصى حد. المشتق في أماكن الانعطاف هذه يغير علامته: من "+" إلى "-" في منطقة الحد الأقصى ومن "-" إلى "+" في منطقة الحد الأدنى.
حركة تحت تأثير الجاذبية
لنتخيل حالة أخرى. كان الأطفال يلعبون الكرة ، وألقوها بطريقة بدأت تتحرك بزاوية في الأفق. في اللحظة الأولى ، كانت سرعة هذا الجسم هي الأكبر ، ولكن تحت تأثير الجاذبية بدأت في الانخفاض ، ومع كل ثانية بنفس القيمة ، تساوي تقريبًا 9.8 م / ث 2. هذه هي قيمة التسارع الذي يحدث تحت تأثير جاذبية الأرض أثناء السقوط الحر. على سطح القمر ، سيكون أصغر بنحو ست مرات.
الرسم البياني الذي يصف حركة الجسم هو قطع مكافئ بفروع ،إلى أسفل. كيف تجد النقاط القصوى؟ في هذه الحالة ، هذا هو رأس الدالة ، حيث تكون سرعة الجسم (الكرة) صفرًا. يصبح مشتق الوظيفة صفرًا. في هذه الحالة ، يتغير الاتجاه ، وبالتالي قيمة السرعة ، إلى الاتجاه المعاكس. الجسم يطير لأسفل مع كل ثانية أسرع وأسرع ، ويتسارع بنفس المقدار - 9.8 م / ث2.
المشتق الثاني
في الحالة السابقة ، يتم رسم الرسم البياني لمعامل السرعة كخط مستقيم. يتم توجيه هذا الخط أولاً إلى أسفل ، لأن قيمة هذه الكمية تتناقص باستمرار. بعد أن وصلت إلى الصفر في إحدى النقاط الزمنية ، تبدأ مؤشرات هذه القيمة في الزيادة ، ويتغير اتجاه التمثيل الرسومي لوحدة السرعة بشكل كبير. الخط يشير الآن لأعلى.
السرعة ، كونها مشتق زمني للإحداثيات ، لها أيضًا نقطة حرجة. في هذه المنطقة ، تبدأ الوظيفة ، المتناقصة مبدئيًا ، في الزيادة. هذا هو مكان النقطة القصوى لمشتق الدالة. في هذه الحالة ، يصبح ميل المماس صفرًا. والتسارع ، كونه المشتق الثاني للتنسيق فيما يتعلق بالوقت ، يغير العلامة من "-" إلى "+". وتتسارع الحركة من البطء المنتظم.
مخطط تسريع
الآن النظر في أربع صور. يعرض كل منهم رسمًا بيانيًا للتغير بمرور الوقت لمثل هذه الكمية المادية مثل التسارع. في حالة الحرف "A" ، تظل قيمته موجبة وثابتة. هذا يعني أن سرعة الجسم ، مثل الإحداثيات الخاصة به ، تتزايد باستمرار. اذا كانتخيل أن الكائن سيتحرك بهذه الطريقة لفترة طويلة غير محدودة ، فإن الوظيفة التي تعكس اعتماد الإحداثيات في الوقت المحدد سوف تتزايد باستمرار. ويترتب على ذلك أنه لا توجد مناطق حرجة. لا توجد أيضًا نقاط قصوى على الرسم البياني للمشتق ، أي السرعة المتغيرة خطيًا.
الأمر نفسه ينطبق على الحالة "ب" مع تسارع موجب ومتزايد باستمرار. صحيح أن مخططات الإحداثيات والسرعة ستكون أكثر تعقيدًا إلى حد ما هنا.
عندما يميل التسارع إلى الصفر
عند مشاهدة الصورة "ب" تستطيع ان ترى صورة مختلفة تماما تميز حركة الجسم. سيتم تصوير سرعتها بيانياً على أنها قطع مكافئ بفروع تتجه لأسفل. إذا واصلنا الخط الذي يصف التغيير في التسارع حتى يتقاطع مع محور OX ، ثم بعد ذلك ، يمكننا أن نتخيل أنه حتى هذه القيمة الحرجة ، حيث تبين أن التسارع يساوي صفرًا ، ستزداد سرعة الجسم أكثر فأكثر. ستكون النقطة القصوى لمشتق دالة الإحداثيات أعلى القطع المكافئ ، وبعد ذلك سيغير الجسم بشكل جذري طبيعة الحركة ويبدأ في التحرك في الاتجاه الآخر.
في الحالة الأخيرة ، "G" ، لا يمكن تحديد طبيعة الحركة بدقة. هنا نعلم فقط أنه لا يوجد تسارع لبعض الفترة قيد الدراسة. هذا يعني أن الجسم يمكن أن يبقى في مكانه أو أن الحركة تحدث بسرعة ثابتة.
تنسيق مهمة الإضافة
دعنا ننتقل إلى المهام التي غالبًا ما توجد في دراسة الجبر في المدرسة ويتم تقديمها من أجلهاالتحضير للامتحان. يوضح الشكل أدناه الرسم البياني للوظيفة. مطلوب لحساب مجموع النقاط القصوى.
لنفعل ذلك للمحور y من خلال تحديد إحداثيات المناطق الحرجة حيث يتم ملاحظة تغيير في خصائص الوظيفة. ببساطة ، نجد القيم على طول المحور السيني لنقاط الانعطاف ، ثم ننتقل إلى إضافة الحدود الناتجة. وفقًا للرسم البياني ، من الواضح أنهم يأخذون القيم التالية: -8 ؛ -7 ؛ -5 ؛ -3 ؛ -2 ؛ واحد؛ 3. هذا يصل إلى -21 ، وهي الإجابة.
الحل الأمثل
ليس من الضروري شرح مدى أهمية اختيار الحل الأمثل في أداء المهام العملية. بعد كل شيء ، هناك العديد من الطرق لتحقيق الهدف ، وأفضل طريقة للخروج ، كقاعدة عامة ، هي طريقة واحدة فقط. هذا ضروري للغاية ، على سبيل المثال ، عند تصميم السفن والمركبات الفضائية والطائرات والهياكل المعمارية للعثور على الشكل الأمثل لهذه الأشياء من صنع الإنسان.
تعتمد سرعة المركبات إلى حد كبير على التقليل الكفء للمقاومة التي تتعرض لها عند التحرك عبر الماء والهواء ، من الأحمال الزائدة الناشئة تحت تأثير قوى الجاذبية والعديد من المؤشرات الأخرى. تحتاج السفينة في البحر إلى صفات مثل الاستقرار أثناء العاصفة ؛ بالنسبة للسفينة النهرية ، يكون الحد الأدنى من الغاطس مهمًا. عند حساب التصميم الأمثل ، يمكن أن تعطي النقاط القصوى على الرسم البياني بصريًا فكرة عن أفضل حل لمشكلة معقدة. غالبًا ما تكون مهام من هذا النوعيتم حلها في الاقتصاد ، في المجالات الاقتصادية ، في العديد من مواقف الحياة الأخرى.
من التاريخ القديم
المشاكل الشديدة التي احتلت حتى الحكماء القدماء. نجح العلماء اليونانيون في كشف لغز المناطق والأحجام من خلال الحسابات الرياضية. كانوا أول من فهم أنه على مستوى مختلف الأشكال مع المحيط نفسه ، دائمًا ما يكون للدائرة أكبر مساحة. وبالمثل ، تُمنح الكرة الحجم الأقصى بين الأجسام الأخرى الموجودة في الفضاء والتي لها نفس مساحة السطح. كرست شخصيات مشهورة مثل أرخميدس وإقليدس وأرسطو وأبولونيوس أنفسهم لحل مثل هذه المشاكل. نجح مالك الحزين في العثور على نقاط متطرفة ، والتي ، بعد أن لجأت إلى الحسابات ، صنعت أجهزة بارعة. وشمل ذلك الآلات الأوتوماتيكية التي تتحرك بالبخار والمضخات والتوربينات التي تعمل على نفس المبدأ.
بناء قرطاج
هناك وسيلة إيضاح تستند حبكةها إلى حل إحدى المشكلات الشديدة. كانت نتيجة نهج الأعمال الذي أظهرته الأميرة الفينيقية ، التي لجأت إلى الحكماء طلباً للمساعدة ، هي بناء قرطاج. تم تقديم قطعة الأرض لهذه المدينة القديمة والشهيرة إلى ديدو (كان ذلك اسم الحاكم) من قبل زعيم إحدى القبائل الأفريقية. لم تبد له مساحة التخصيص في البداية كبيرة جدًا ، لأنه وفقًا للعقد كان يجب تغطيتها بجلد أكسيد. لكن الأميرة أمرت جنودها بتقطيعها إلى شرائح رفيعة وإخراج حزام منها. اتضح أنها كانت طويلة جدًا لدرجة أنها غطت الموقع ،حيث تناسب المدينة بأكملها.
أصول حساب التفاضل والتكامل
والآن دعونا ننتقل من العصور القديمة إلى حقبة لاحقة. من المثير للاهتمام ، أنه في القرن السابع عشر ، طُلب من كبلر فهم أسس التحليل الرياضي من خلال لقاء مع بائع نبيذ. كان التاجر ضليعًا في مهنته لدرجة أنه يمكنه بسهولة تحديد حجم المشروب في البرميل بمجرد إنزال عاصبة حديدية فيه. بالتفكير في مثل هذا الفضول ، تمكن العالم الشهير من حل هذه المعضلة بنفسه. اتضح أن المحاربين الماهرين في تلك الأوقات حصلوا على تعليق من صنع الأوعية بطريقة تجعلهم عند ارتفاع معين ونصف قطر محيط حلقات التثبيت لديهم سعة قصوى.
كان هذا لسبب كيبلر لمزيد من التفكير. توصل بوشر إلى الحل الأمثل من خلال بحث طويل وأخطاء ومحاولات جديدة ، ونقل تجربتهم من جيل إلى جيل. لكن كبلر أراد تسريع العملية وتعلم كيفية فعل الشيء نفسه في وقت قصير من خلال الحسابات الرياضية. تحولت كل تطوراته ، التي التقطها زملاؤه ، إلى نظريات معروفة الآن لـ Fermat و Newton - Leibniz.
مشكلة المنطقة القصوى
لنتخيل ان لدينا سلك طوله 50 سم كيف نصنع منه مستطيل بمساحة اكبر؟
عند البدء في اتخاذ القرار ، يجب على المرء أن ينطلق من حقائق بسيطة ومعروفة. من الواضح أن محيط الشكل سيكون 50 سم ، ويتكون أيضًا من ضعف أطوال كلا الجانبين. هذا يعني أنه بعد تحديد أحدهما كـ "X" ، يمكن التعبير عن الآخر كـ (25 - X).
من هنا نحصلمساحة تساوي X (25 - X). يمكن تمثيل هذا التعبير كدالة تأخذ العديد من القيم. حل المشكلة يتطلب إيجاد الحد الأقصى مما يعني أنه يجب عليك معرفة النقاط القصوى.
للقيام بذلك ، نجد المشتق الأول ونساويها بالصفر. النتيجة هي معادلة بسيطة: 25 - 2X=0.
منها نتعلم أن أحد الجوانب X=12 ، 5.
لذلك ، آخر: 25-12 ، 5=12 ، 5.
اتضح أن حل المشكلة سيكون مربعًا بطول 12.5 سم.
كيفية العثور على السرعة القصوى
دعونا ننظر في مثال آخر. تخيل أن هناك جسمًا توصف حركته المستقيمة بالمعادلة S=- t3+ 9t2- 24t - 8 ، حيث المسافة يتم التعبير عن السفر بالأمتار ، والوقت بالثواني. مطلوب للعثور على السرعة القصوى. كيف افعلها؟ تم تنزيله أوجد السرعة ، أي المشتق الأول.
نحصل على المعادلة: V=- 3t2+ 18t - 24. الآن ، لحل المشكلة ، نحتاج مرة أخرى إلى إيجاد النقاط القصوى. يجب أن يتم ذلك بنفس الطريقة كما في المهمة السابقة. أوجد المشتق الأول للسرعة وعدله بالصفر.
نحصل على: - 6t + 18=0. ومن ثم t=3 s. هذا هو الوقت الذي تأخذ فيه سرعة الجسم قيمة حرجة. نستبدل البيانات التي تم الحصول عليها في معادلة السرعة ونحصل على: V=3 m / s.
لكن كيف نفهم أن هذه هي السرعة القصوى بالضبط ، لأن النقاط الحرجة للدالة يمكن أن تكون قيمها القصوى أو الدنيا؟ للتحقق ، تحتاج إلى العثور على ثانيةمشتق من السرعة. يتم التعبير عنها بالرقم 6 بعلامة ناقص. هذا يعني أن النقطة التي تم العثور عليها هي الحد الأقصى. وفي حالة وجود قيمة موجبة للمشتق الثاني ، سيكون هناك قيمة صغرى. لذلك ، تبين أن الحل الذي تم العثور عليه صحيح.
المهام المعطاة كمثال ليست سوى جزء من تلك التي يمكن حلها من خلال القدرة على إيجاد النقاط القصوى للدالة. في الواقع ، هناك الكثير. ومثل هذه المعرفة تفتح إمكانيات غير محدودة للحضارة الإنسانية.
