في كثير من الأحيان في العلوم الرياضية هناك عدد من الصعوبات والأسئلة ، والعديد من الإجابات ليست واضحة دائمًا. لم يكن هناك استثناء كان موضوعًا مثل العلاقة الأساسية بين المجموعات. في الواقع ، هذا ليس أكثر من تعبير رقمي لعدد الكائنات. بشكل عام ، المجموعة هي بديهية ؛ ليس لها تعريف. وهو يعتمد على أي كائنات ، أو بالأحرى مجموعتها ، والتي يمكن أن تكون فارغة أو محدودة أو لانهائية. بالإضافة إلى أنه يحتوي على أعداد صحيحة أو طبيعية ومصفوفات ومتواليات ومقاطع وخطوط.
حول المتغيرات الحالية
تعتبر المجموعة الفارغة أو الفارغة بدون قيمة جوهرية عنصرًا أساسيًا لأنها مجموعة فرعية. مجموعة كل المجموعات الفرعية لمجموعة غير فارغة S عبارة عن مجموعة من المجموعات. وبالتالي ، فإن مجموعة القوة لمجموعة معينة تعتبر كثيرة ، ويمكن تصورها ، ولكنها فردية. تسمى هذه المجموعة مجموعة قوى S ويشار إليها بـ P (S). إذا كانت S تحتوي على عناصر N ، فإن P (S) تحتوي على 2 ^ n مجموعات فرعية ، نظرًا لأن المجموعة الفرعية من P (S) هي إما ∅ أو مجموعة فرعية تحتوي على عناصر r من S ، r=1 ، 2 ، 3 ، … مكونة من كل شيء لانهائيالمجموعة M تسمى كمية الطاقة ويشار إليها رمزياً بـ P (M).
عناصر نظرية المجموعات
تم تطوير هذا المجال من قبل جورج كانتور (1845-1918). يتم استخدامه اليوم في جميع فروع الرياضيات تقريبًا ويعمل بمثابة الجزء الأساسي منه. في نظرية المجموعات ، يتم تمثيل العناصر في شكل قائمة ويتم تقديمها حسب الأنواع (مجموعة فارغة ، مفردة ، مجموعات محدودة ولانهائية ، متساوية ومكافئة ، عالمية) ، اتحاد ، تقاطع ، فرق ، وإضافة أرقام. في الحياة اليومية ، نتحدث غالبًا عن مجموعة من الأشياء مثل مجموعة من المفاتيح ، وسرب من الطيور ، ومجموعة من البطاقات ، وما إلى ذلك. في الرياضيات الصف الخامس وما بعده ، هناك أرقام طبيعية وأعداد صحيحة وأولية ومركبة.
يمكن اعتبار المجموعات التالية:
- أعداد طبيعية
- أحرف الأبجدية ؛
- احتمالات أولية ؛
- مثلثات ذات جوانب مختلفة.
يمكن ملاحظة أن هذه الأمثلة المحددة هي مجموعات محددة جيدًا من الكائنات. ضع في اعتبارك بعض الأمثلة الأخرى:
- خمسة أشهر علماء في العالم ؛
- سبع فتيات جميلات في المجتمع ؛
- ثلاثة أفضل الجراحين.
هذه الأمثلة الأساسية ليست مجموعات محددة جيدًا من الأشياء ، لأن معايير "الأكثر شهرة" ، "الأجمل" ، "الأفضل" تختلف من شخص لآخر.
مجموعات
هذه القيمة هي عدد محدد جيدًا من الكائنات المختلفة.بافتراض أن:
- مجموعة الكلمات هي مرادف ، مجمع ، فئة وتحتوي على عناصر ؛
- كائنات ، الأعضاء بشروط متساوية ؛
- مجموعات عادة ما يشار إليها بأحرف كبيرة A ، B ، C ؛
- يتم تمثيل عناصر المجموعة بأحرف صغيرة أ ، ب ، ج.
إذا كانت "a" عنصرًا من المجموعة A ، فيُقال إن "a" ينتمي إلى A. دعنا نشير إلى العبارة "ينتمي" بالحرف اليوناني "∈" (إبسيلون). وبالتالي ، يتضح أن a ∈ A. إذا كان 'b' عنصرًا لا ينتمي إلى A ، يتم تمثيله كـ b ∉ A. يتم تمثيل بعض المجموعات المهمة المستخدمة في رياضيات الصف الخامس باستخدام الطرق الثلاثة التالية:
- تطبيقات ؛
- سجلات أو جدول ؛
- قاعدة لإنشاء التشكيل.
عند الفحص الدقيق ، يعتمد نموذج الطلب على ما يلي. في هذه الحالة ، يتم تقديم وصف واضح لعناصر المجموعة. كلها محاطة بأقواس مجعدة. على سبيل المثال:
- مجموعة من الأعداد الفردية أقل من 7 - مكتوبة كـ {أقل من 7} ؛
- مجموعة من الأرقام أكبر من 30 وأقل من 55 ؛
- عدد الطلاب في الفصل الذي يزيد وزنه عن المعلم
في نموذج التسجيل (الجدول) ، يتم سرد عناصر المجموعة داخل زوج من الأقواس {} ومفصولة بفواصل. على سبيل المثال:
- دع N تشير إلى مجموعة الأرقام الطبيعية الخمسة الأولى. لذلك ، N=→ نموذج التسجيل
- مجموعة من جميع حروف العلة من الأبجدية الإنجليزية. ومن ثم فإن V={a، e، i، o، u، y} → نموذج التسجيل
- مجموعة جميع الأعداد الفردية أقل من 9. لذلك ، X={1، 3، 5، 7} → شكلالتسجيل
- مجموعة من كل الحروف في كلمة "الرياضيات". لذلك ، Z={M، A، T، H، E، I، C، S} → نموذج التسجيل
- W هي مجموعة الأشهر الأربعة الأخيرة من العام. لذلك ، W={سبتمبر ، أكتوبر ، نوفمبر ، ديسمبر} → التسجيل.
لاحظ أن الترتيب الذي يتم سرد العناصر به لا يهم ، ولكن يجب عدم تكرارها. شكل ثابت من البناء ، في حالة معينة ، تتم كتابة قاعدة أو صيغة أو عامل في زوج من الأقواس بحيث يتم تحديد المجموعة بشكل صحيح. في نموذج منشئ المجموعة ، يجب أن يكون لجميع العناصر نفس الخاصية لتصبح عضوًا في القيمة المعنية.
في هذا الشكل من تمثيل المجموعة ، يتم وصف عنصر من المجموعة بالحرف "x" أو أي متغير آخر متبوعًا بنقطتين (يتم استخدام ":" أو "|" للإشارة). على سبيل المثال ، لنفترض أن P هي مجموعة الأرقام القابلة للعد أكبر من 12. تتم كتابة P في نموذج إنشاء المجموعة كـ - {عدد قابل للعد وأكبر من 12}. سوف تقرأ بطريقة معينة. أي ، "P هي مجموعة من عناصر x مثل أن x قابل للعد وأكبر من 12."
مثال محلول باستخدام ثلاث طرق تمثيل للمجموعة: عدد الأعداد الصحيحة بين -2 و 3. فيما يلي أمثلة لأنواع مختلفة من المجموعات:
- مجموعة فارغة أو خالية لا تحتوي على أي عنصر ويشار إليها بالرمز ∅ وتقرأ على أنها فاي. في شكل قائمة ، يتم كتابة ∅ {}. المجموعة المحدودة فارغة ، لأن عدد العناصر هو 0. على سبيل المثال ، مجموعة القيم الصحيحة أقل من 0.
- من الواضح أنه لا ينبغي أن يكون هناك <0. لذلك ، هذامجموعة فارغة.
- المجموعة التي تحتوي على متغير واحد تسمى المجموعة المفردة. ليست بسيطة ولا مركبة.
مجموعة محدودة
المجموعة التي تحتوي على عدد معين من العناصر تسمى مجموعة محدودة أو لانهائية. فارغ يشير إلى الأول. على سبيل المثال ، مجموعة من كل الألوان في قوس قزح.
إنفينيتي هي مجموعة. لا يمكن تعداد العناصر الموجودة فيه. وهذا يعني أن احتواء متغيرات مماثلة يسمى مجموعة لانهائية. أمثلة:
- قوة مجموعة جميع النقاط في المستوى ؛
- مجموعة من جميع الأعداد الأولية.
لكن يجب أن تفهم أن جميع الكاردينالات لاتحاد مجموعة لا يمكن التعبير عنها في شكل قائمة. على سبيل المثال ، الأرقام الحقيقية ، لأن عناصرها لا تتوافق مع أي نمط معين.
الرقم الأساسي للمجموعة هو عدد العناصر المختلفة في كمية معينة أ. ويشار إليه بـ n (A).
على سبيل المثال:
- A {x: x ∈ N، x <5}. أ={1، 2، 3، 4}. لذلك ، n (A)=4.
- B=مجموعة من الحروف في كلمة الجبر
مجموعات مكافئة لمجموعة المقارنة
اثنين من العناصر الأساسية للمجموعة A و B تكون على هذا النحو إذا كان عددهم الأساسي هو نفسه. رمز المجموعة المكافئة هو "↔". على سبيل المثال: أ ↔ ب
مجموعات متساوية: مجموعتان أصليتان من المجموعتين A و B إذا كانتا تحتويان على نفس العناصر. كل معامل من A هو متغير من B ، وكل من B هو القيمة المحددة لـ A.لذلك ، A=B. الأنواع المختلفة من الاتحادات الأساسية وتعريفاتها موضحة باستخدام الأمثلة المقدمة.
جوهر المحدودية واللانهاية
ما هي الاختلافات بين أصل مجموعة محدودة ومجموعة لا نهائية؟
القيمة الأولى لها الاسم التالي إذا كانت فارغة أو بها عدد محدد من العناصر. في مجموعة محدودة ، يمكن تحديد متغير إذا كان له عدد محدود. على سبيل المثال ، باستخدام العدد الطبيعي 1 ، 2 ، 3. وتنتهي عملية الإدراج عند بعض N. عدد العناصر المختلفة المحسوبة في المجموعة المحدودة S يُرمز إليها بـ n (S). ويسمى أيضًا الأمر أو الكاردينال. يُشار إليها رمزياً وفقًا للمبدأ القياسي. وبالتالي ، إذا كانت المجموعة S هي الأبجدية الروسية ، فإنها تحتوي على 33 عنصرًا. من المهم أيضًا أن تتذكر أن العنصر لا يحدث أكثر من مرة في مجموعة
لانهائي في المجموعة
تسمى المجموعة لانهائية إذا كان لا يمكن تعداد العناصر. إذا كان يحتوي على عدد طبيعي غير محدود (أي غير معدود) 1 ، 2 ، 3 ، 4 لأي ن. المجموعة غير المحدودة تسمى اللانهائية. يمكننا الآن مناقشة أمثلة على القيم العددية قيد الدراسة. خيارات القيمة النهائية:
- دع Q={الأعداد الطبيعية أقل من 25}. إذن Q هي مجموعة محدودة و n (P)=24.
- Let R={أعداد صحيحة بين 5 و 45}. ثم R هي مجموعة محدودة و n (R)=38.
- دع S={عدد الوحدات النمطية 9}. ثم S={-9، 9} هي مجموعة محدودة و n (S)=2.
- مجموعة من كل الناس
- عدد كل الطيور
أمثلة لانهائية:
- عدد النقاط الموجودة على الطائرة ؛
- عدد جميع النقاط في المقطع المستقيم ؛
- مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة القابلة للقسمة على 3 لانهائية ؛
- جميع الأعداد الصحيحة والطبيعية.
وهكذا ، من المنطق أعلاه ، من الواضح كيفية التمييز بين المجموعات المحدودة واللانهائية.
قوة مجموعة الاستمرارية
إذا قارنا المجموعة والقيم الأخرى الموجودة ، فسيتم إرفاق إضافة بالمجموعة. إذا كانت عالمية وكانت A مجموعة فرعية من ξ ، فإن تكملة A هي عدد جميع عناصر التي ليست عناصر من A. رمزًا ، فإن تكملة A بالنسبة إلى هي A '. على سبيل المثال ، 2 ، 4 ، 5 ، 6 هي العناصر الوحيدة لـ ξ التي لا تنتمي إلى A. لذلك ، A '={2، 4، 5، 6}
المجموعة ذات السلسلة المتصلة بها السمات التالية:
- تكملة الكمية العالمية هي القيمة الفارغة المعنية ؛
- متغير المجموعة الفارغة هذا عالمي ؛
- المبلغ ومكمله مفككون
على سبيل المثال:
- اجعل عدد الأعداد الطبيعية مجموعة عالمية ويكون A زوجيًا. إذن A '{x: x مجموعة فردية بنفس الأرقام}.
- اسمحوا ξ=مجموعة من الحروف في الأبجدية. أ=مجموعة من الحروف الساكنة. ثم A '=عدد حروف العلة.
- تكملة المجموعة الشاملة هي الكمية الفارغة. يمكن أن تدل عليها ξ. ثم ξ '=مجموعة تلك العناصر غير المدرجة في ξ. المجموعة الفارغة φ مكتوبة ومحددة. لذلك ξ=φ. وبالتالي ، فإن تكملة المجموعة الشاملة فارغة.
في الرياضيات ، تُستخدم كلمة "متصلة" أحيانًا لتمثيل خط حقيقي. وبشكل أعم ، لوصف الأشياء المتشابهة:
- الاستمرارية (في نظرية المجموعة) - الخط الحقيقي أو الرقم الأصلي المقابل ؛
- خطي - أي مجموعة مرتبة تشترك في خصائص معينة لخط حقيقي ؛
- استمرارية (في الطوبولوجيا) - مساحة مترية متصلة غير فارغة (في بعض الأحيان Hausdorff) ؛
- الفرضية القائلة بأنه لا توجد مجموعات لانهائية أكبر من الأعداد الصحيحة ولكنها أصغر من الأعداد الحقيقية ؛
- قوة الاستمرارية هي رقم أساسي يمثل حجم مجموعة الأعداد الحقيقية.
بشكل أساسي ، سلسلة متصلة (قياس) أو نظريات أو نماذج تشرح التحولات التدريجية من حالة إلى أخرى دون أي تغيير مفاجئ.
مشاكل الاتحاد والتقاطع
من المعروف أن تقاطع مجموعتين أو أكثر هو الرقم الذي يحتوي على جميع العناصر المشتركة في هذه القيم. يتم حل مهام Word في المجموعات للحصول على أفكار أساسية حول كيفية استخدام خصائص الاتحاد والتقاطع للمجموعات. حل المشاكل الرئيسية للكلماتتبدو المجموعات كما يلي:
لنفترض أن A و B مجموعتين محدودتين. هي أن n (A)=20 ، n (B)=28 و n (A ∪ B)=36 ، أوجد n (A ∩ B)
العلاقة في مجموعات باستخدام مخطط فين:
- يمكن تمثيل اتحاد مجموعتين بمساحة مظللة تمثل A ∪ B. A ∪ B عندما تكون A و B مجموعتين منفصلتين.
- يمكن تمثيل تقاطع مجموعتين من خلال مخطط Venn. بمساحة مظللة تمثل A ∩ B.
- يمكن تمثيل الفرق بين المجموعتين بواسطة مخططات Venn. بمساحة مظللة تمثل A - B.
- العلاقة بين ثلاث مجموعات باستخدام مخطط فين. إذا كانت تمثل كمية عالمية ، فإن A ، B ، C هي ثلاث مجموعات فرعية. هنا جميع المجموعات الثلاث متداخلة.
تلخيص معلومات المجموعة
يتم تعريف أصل مجموعة على أنها العدد الإجمالي للعناصر الفردية في المجموعة. ويتم وصف آخر قيمة محددة على أنها عدد جميع المجموعات الفرعية. عند دراسة مثل هذه القضايا والأساليب والأساليب والحلول مطلوبة. لذلك ، بالنسبة إلى أصل مجموعة ، يمكن أن تكون الأمثلة التالية بمثابة:
Let A={0، 1، 2، 3} | |=4 ، أين | أ | يمثل أصل المجموعة أ.
الآن يمكنك العثور على حزمة الطاقة الخاصة بك. الأمر بسيط جدًا أيضًا. كما ذكرنا سابقًا ، يتم تعيين مجموعة الطاقة من جميع المجموعات الفرعية لرقم معين. لذلك يجب على المرء أن يحدد بشكل أساسي جميع المتغيرات والعناصر والقيم الأخرى لـ A ،وهي {0} ، {0} ، {1} ، {2} ، {3} ، {0 ، 1} ، {0 ، 2} ، {0 ، 3} ، {1 ، 2} ، {1 ، 3} ، {2 ، 3} ، {0 ، 1 ، 2} ، {0 ، 1 ، 3} ، {1 ، 2 ، 3} ، {0 ، 2 ، 3} ، {0 ، 1 ، 2 ، 3}.
معرفة القوة الآن P={{} ، {0} ، {1} ، {2} ، {3} ، {0 ، 1} ، {0 ، 2} ، {0 ، 3} ، { 1 ، 2} ، {1 ، 3} ، {2 ، 3} ، {0 ، 1 ، 2} ، {0 ، 1 ، 3} ، {1 ، 2 ، 3} ، {0 ، 2 ، 3} ، { 0، 1، 2، 3}} الذي يحتوي على 16 عنصرًا. وبالتالي ، فإن العلاقة الأساسية للمجموعة A=16. من الواضح أن هذه طريقة مملة ومرهقة لحل هذه المشكلة. ومع ذلك ، هناك معادلة بسيطة يمكنك بواسطتها ، مباشرة ، معرفة عدد العناصر في مجموعة الطاقة لرقم معين. | ص |=2 ^ N ، حيث N هو عدد العناصر في بعض A. يمكن الحصول على هذه الصيغة باستخدام التوافقية البسيطة. إذن السؤال هو 2 ^ 11 لأن عدد العناصر في المجموعة A هو 11.
إذن ، المجموعة هي أي كمية معبر عنها عدديًا ، والتي يمكن أن تكون أي كائن محتمل. على سبيل المثال ، السيارات ، الناس ، الأرقام. بالمعنى الرياضي ، هذا المفهوم أوسع وأكثر عمومية. إذا تم فرز الأرقام والخيارات لحلها في المراحل الأولية ، تكون الشروط والمهام معقدة في المراحل الوسطى والعليا. في الواقع ، يتم تحديد العلاقة الأساسية لاتحاد مجموعة من خلال انتماء الكائن إلى أي مجموعة. أي أن عنصرًا واحدًا ينتمي إلى فئة ، ولكن يحتوي على متغير واحد أو أكثر.
