عند التحضير لامتحان الرياضيات ، يتعين على الطلاب تنظيم معرفتهم بالجبر والهندسة. أود أن أجمع جميع المعلومات المعروفة ، على سبيل المثال ، كيفية حساب مساحة الهرم. علاوة على ذلك ، بدءًا من القاعدة والجوانب الجانبية إلى مساحة السطح بأكملها. إذا كان الوضع واضحًا مع الوجوه الجانبية ، لأنها مثلثات ، فالقاعدة تكون دائمًا مختلفة.
كيف تجد مساحة قاعدة الهرم؟
يمكن أن يكون أي شكل على الإطلاق: من مثلث عشوائي إلى n-gon. وهذه القاعدة ، بالإضافة إلى الاختلاف في عدد الزوايا ، يمكن أن تكون شكلًا عاديًا أو غير صحيح. في مهام الاستخدام التي تهم أطفال المدارس ، لا توجد سوى مهام ذات الأرقام الصحيحة في القاعدة. لذلك سنتحدث عنها فقط
مثلث منتظم
هذا متساوي الأضلاع. واحد حيث جميع الأطراف متساوية ويشار إليه بالحرف "أ". في هذه الحالة ، يتم حساب مساحة قاعدة الهرم بالصيغة:
S=(أ2 √3) / 4.
مربع
معادلة حساب مساحتها هي الأبسط ،هنا "أ" هو الجانب مرة أخرى:
S=أ2.
التعسفي العادي n-gon
جانب المضلع له نفس التسمية. لعدد الزوايا ، يتم استخدام الحرف اللاتيني n
S=(na2) / (4tg (180º / n)).
كيفية حساب مساحة السطح الجانبية والإجمالية؟
بما أن القاعدة هي شكل عادي ، فإن جميع جوانب الهرم متساوية. علاوة على ذلك ، كل واحد منهم هو مثلث متساوي الساقين ، لأن الحواف الجانبية متساوية. بعد ذلك ، من أجل حساب المساحة الجانبية للهرم ، تحتاج إلى صيغة تتكون من مجموع المونوميرات المتطابقة. يتم تحديد عدد الحدود من خلال عدد جوانب القاعدة.
يتم حساب مساحة المثلث متساوي الساقين بالصيغة التي يتم فيها ضرب نصف حاصل ضرب القاعدة في الارتفاع. هذا الارتفاع في الهرم يسمى apothem. تعيينها هو "أ". الصيغة العامة لمساحة السطح الجانبي هي:
S=½ PA ، حيث P هو محيط قاعدة الهرم.
هناك حالات عندما لا تكون جوانب القاعدة معروفة ، ولكن يتم إعطاء الحواف الجانبية (ج) والزاوية المسطحة عند رأسها (α). ثم من المفترض استخدام هذه الصيغة لحساب المساحة الجانبية للهرم:
S=n / 2في2sin α.
المشكلة رقم 1
الحالة. أوجد المساحة الكلية للهرم إذا كانت قاعدته مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه 4 سم وكان طوله 3 سم.
القرار. لهعليك أن تبدأ بحساب محيط القاعدة. نظرًا لأن هذا مثلث عادي ، إذن P \u003d 34 \u003d 12 سم. نظرًا لأن apothem معروف ، يمكنك على الفور حساب مساحة السطح الجانبي بالكامل: ½12√3=6 √3 سم2.
بالنسبة لمثلث في القاعدة ، تحصل على قيمة المنطقة التالية: (42 √3) / 4=4√3 سم2.
لتحديد المساحة الإجمالية ، تحتاج إلى إضافة القيمتين الناتجتين: 6√3 + 4√3=10√3 سم2.
إجابة. 10√3 سم2.
المشكلة رقم 2
الحالة. يوجد هرم رباعي الزوايا منتظم. طول جانب القاعدة 7 مم ، الحافة الجانبية 16 مم. تحتاج إلى معرفة مساحة سطحه.
القرار. نظرًا لأن متعدد السطوح رباعي الزوايا ومنتظم ، فإن قاعدته مربعة. بعد معرفة مناطق القاعدة والجوانب الجانبية ، سيكون من الممكن حساب مساحة الهرم. صيغة المربع معطاة أعلاه. وفي الوجوه الجانبية ، جميع جوانب المثلث معروفة. لذلك ، يمكنك استخدام صيغة هيرون لحساب مناطقهم.
الحسابات الأولى بسيطة وتؤدي إلى هذا الرقم: 49 مم2. بالنسبة للقيمة الثانية ، ستحتاج إلى حساب نصف المحيط: (7 + 162): 2=19.5 مم. يمكنك الآن حساب مساحة مثلث متساوي الساقين: √ (19.5(19.5-7)(19.5-16)2)=√2985.9375=54.644 ملم2. لا يوجد سوى أربعة مثلثات من هذا القبيل ، لذلك عند حساب الرقم النهائي ، ستحتاج إلى ضربه في 4.
اتضح: 49 + 454، 644=267، 576 ملم2.
إجابة. القيمة المرغوبة 267 ، 576مم2.
المشكلة رقم 3
الحالة. للحصول على هرم رباعي الزوايا منتظم ، تحتاج إلى حساب المنطقة. يعرف ضلع المربع - 6 سم والارتفاع - 4 سم
القرار. أسهل طريقة هي استخدام الصيغة مع حاصل ضرب المحيط والنقطة. من السهل العثور على القيمة الأولى. والثاني أصعب بقليل.
علينا أن نتذكر نظرية فيثاغورس وننظر في مثلث قائم الزاوية. يتشكل من ارتفاع الهرم و apothem ، وهو الوتر. الضلع الثاني يساوي نصف ضلع المربع ، لأن ارتفاع متعدد السطوح يقع في وسطه.
القطعة المرغوبة (وتر المثلث الأيمن) هي √ (32+ 42)=5 (سم)
الآن يمكنك حساب القيمة المطلوبة: ½(46)5 + 62=96 (انظر2)
إجابة. 96 سم2.
المشكلة رقم 4
الحالة. إعطاء هرم سداسي منتظم. جوانب قاعدتها 22 مم ، الأضلاع الجانبية 61 مم. ما هي مساحة السطح الجانبي لهذا متعدد السطوح؟
القرار. المنطق فيه هو نفسه الموصوف في المشكلة رقم 2. فقط هناك تم إعطاء هرم به مربع في القاعدة ، والآن أصبح شكل سداسي.
بادئ ذي بدء ، يتم حساب مساحة القاعدة باستخدام الصيغة أعلاه: (6222) / (4tg (180º / 6))=726 / (tg30º)=726 √3 سم2.
الآن أنت بحاجة لمعرفة نصف محيط مثلث متساوي الساقين ، وهو الوجه الجانبي. (22 + 612): 2=72 سم ويبقى حساب مساحة كل منهامثلث ، ثم اضربه في ستة وأضفه إلى المثلث الذي ظهر للقاعدة.
الحساب بواسطة صيغة هيرون: √ (72(72-22)(72-61)2)=√435600=660 سم2. الحسابات التي ستعطي مساحة السطح الجانبي: 6606=3960 سم2. يبقى إضافتها لمعرفة السطح بالكامل: 5217 ، 47-5217 سم2.
إجابة. القاعدة - 726√3 سم2، السطح الجانبي - 3960 سم2، المساحة الإجمالية - 5217 سم2.
