دراسة الوظائف والرسوم البيانية الخاصة بها موضوع يحظى باهتمام خاص في إطار منهج المدرسة الثانوية. يتم تضمين بعض أساسيات التحليل الرياضي - التمايز - في مستوى الملف الشخصي لامتحان الرياضيات. يواجه بعض تلاميذ المدارس مشاكل مع هذا الموضوع ، حيث يخلطون بين الرسوم البيانية للدالة والمشتق ، كما ينسون الخوارزميات. ستغطي هذه المقالة الأنواع الرئيسية للمهام وكيفية حلها.
ما هي قيمة الدالة؟
وظيفة الرياضيات معادلة خاصة. يؤسس علاقة بين الأرقام. تعتمد الدالة على قيمة الوسيطة.
يتم حساب قيمة الوظيفة وفقًا للصيغة المقدمة. للقيام بذلك ، استبدل أي وسيطة تتوافق مع نطاق القيم الصالحة في هذه الصيغة بدلاً من x وقم بإجراء العمليات الحسابية اللازمة. ماذا
كيف يمكنك العثور على أصغر قيمة للدالة ،باستخدام وظيفة الرسم البياني؟
يسمى التمثيل الرسومي لاعتماد دالة على وسيطة بالرسم البياني للوظيفة. إنه مبني على مستوى بقطعة وحدة معينة ، حيث يتم رسم قيمة متغير أو وسيطة على طول محور الإحداثي الأفقي ، وقيمة الوظيفة المقابلة على طول المحور الإحداثي العمودي.
كلما زادت قيمة الوسيطة ، زادت جهة اليمين على الرسم البياني. وكلما زادت قيمة الوظيفة نفسها ، زادت النقطة.
ماذا يقول هذا؟ ستكون أصغر قيمة للدالة هي النقطة التي تقع في أدنى مستوى على الرسم البياني. من أجل العثور عليه في مقطع الرسم البياني ، تحتاج إلى:
1) ابحث عن نهايات هذا المقطع وحددها.
2) حدد بصريًا أي نقطة على هذا المقطع تقع في أدنى مستوى
3) رداً على ذلك ، اكتب قيمتها الرقمية ، والتي يمكن تحديدها من خلال إسقاط نقطة على المحور الصادي.
نقاط Extremum على مخطط المشتقات. أين تبحث
ومع ذلك ، عند حل المشكلات ، في بعض الأحيان لا يتم إعطاء الرسم البياني للدالة ، ولكن من مشتقها. من أجل تجنب ارتكاب خطأ غبي عرضيًا ، من الأفضل قراءة الشروط بعناية ، لأنها تعتمد على المكان الذي تحتاج إلى البحث فيه عن النقاط القصوى.
إذن ، المشتق هو معدل الزيادة اللحظية للدالة. وفقًا للتعريف الهندسي ، يتوافق المشتق مع ميل المماس ، والذي يتم رسمه مباشرة إلى النقطة المحددة.
من المعروف أنه عند النقاط القصوى يكون الظل موازيًا لمحور الثور.هذا يعني أن ميله يساوي 0.
من هذا يمكننا أن نستنتج أنه عند النقاط القصوى ، يقع المشتق على المحور x أو يتلاشى. لكن بالإضافة إلى ذلك ، في هذه النقاط ، تغير الوظيفة اتجاهها. أي بعد فترة من الزيادة ، يبدأ في الانخفاض ، وبالتالي يتغير المشتق من الموجب إلى السالب. او العكس
إذا أصبح المشتق سالب من موجب ، فهذه هي النقطة العظمى. إذا كان من السالب يصبح موجب - الحد الأدنى للنقطة
هام: إذا كنت بحاجة إلى تحديد حد أدنى أو أقصى نقطة في المهمة ، فحينئذٍ يجب عليك ، استجابةً لذلك ، كتابة القيمة المقابلة على طول محور الإحداثي. ولكن إذا كنت بحاجة إلى إيجاد قيمة الوظيفة ، فأنت بحاجة أولاً إلى استبدال القيمة المقابلة للوسيطة في الدالة وحسابها.
كيفية إيجاد النقاط القصوى باستخدام المشتق؟
تشير الأمثلة المدروسة بشكل أساسي إلى المهمة رقم 7 للاختبار ، والتي تتضمن العمل مع رسم بياني لمشتق أو مشتق عكسي. لكن المهمة 12 من الاستخدام - للعثور على أصغر قيمة لدالة على مقطع (في بعض الأحيان الأكبر) - يتم تنفيذها بدون أي رسومات وتتطلب مهارات أساسية في التحليل الرياضي.
للقيام بذلك ، يجب أن تكون قادرًا على إيجاد النقاط القصوى باستخدام المشتق. خوارزمية إيجادهم كالتالي:
- أوجد مشتق التابع.
- اضبطه على الصفر.
- أوجد جذور المعادلة.
- تحقق مما إذا كانت النقاط التي تم الحصول عليها هي نقاط الحد الأقصى أو نقاط انعطاف.
للقيام بذلك ، ارسم مخططًا ثم قم بتشغيلهتحدد الفواصل الزمنية الناتجة علامات المشتق عن طريق استبدال الأرقام التي تنتمي إلى المقاطع في المشتق. إذا حصلت ، عند حل المعادلة ، على جذور تعدد مضاعف ، فهذه نقاط انعطاف.
تطبيق النظريات ، وتحديد النقاط الدنيا والحد الأقصى
احسب أصغر قيمة للدالة باستخدام مشتق
ومع ذلك ، بعد تنفيذ كل هذه الإجراءات ، سنجد قيم الحد الأدنى والحد الأقصى للنقاط على طول المحور السيني. ولكن كيف يمكن العثور على أصغر قيمة لدالة في مقطع ما؟
ما الذي يجب القيام به للعثور على الرقم الذي يتوافق مع الوظيفة في نقطة معينة؟ تحتاج إلى استبدال قيمة الوسيطة في هذه الصيغة.
نقاط الحد الأدنى والحد الأقصى تتوافق مع أصغر وأكبر قيمة للدالة في المقطع. لذلك ، للعثور على قيمة الوظيفة ، تحتاج إلى حساب الدالة باستخدام قيم x التي تم الحصول عليها.
هام! إذا كانت المهمة تتطلب منك تحديد الحد الأدنى أو الحد الأقصى للنقطة ، فيجب أن تكتب القيمة المقابلة على طول المحور السيني استجابةً لذلك. ولكن إذا كنت بحاجة إلى العثور على قيمة الوظيفة ، فيجب عليك أولاً استبدال القيمة المقابلة للوسيطة في الدالة وتنفيذ العمليات الحسابية اللازمة.
ماذا علي أن أفعل إذا لم تكن هناك قيعان في هذا الجزء؟
لكن كيف تجد أصغر قيمة لدالة في مقطع بدون نقاط قصوى؟
هذا يعني أن الوظيفة تتناقص أو تزيد بشكل رتيب. ثم تحتاج إلى استبدال قيمة النقاط القصوى لهذا المقطع في الدالة. هناك طريقتان
1) بعد الحسابالمشتق والفترات التي يكون فيها موجبًا أو سالبًا ، لاستنتاج ما إذا كانت الوظيفة تتناقص أو تتزايد في مقطع معين.
وفقًا لها ، استبدل قيمة أكبر أو أقل من الوسيطة في الوظيفة.
2) ببساطة استبدل كلتا النقطتين في الدالة وقارن بين قيم الدالة الناتجة.
في أي مهام يكون العثور على المشتق أمرًا اختياريًا
كقاعدة عامة ، في مهام الاستخدام ، ما زلت بحاجة إلى إيجاد المشتق. هناك استثناءان فقط.
1) القطع المكافئ
تم العثور على رأس القطع المكافئ بواسطة الصيغة.
إذا كان الرقم < 0 ، فإن فروع القطع المكافئ يتم توجيهها لأسفل. وذروته هي النقطة العظمى
إذا كان > 0 ، فإن فروع القطع المكافئ موجهة لأعلى ، والرأس هو الحد الأدنى للنقطة.
بعد حساب نقطة رأس القطع المكافئ ، يجب استبدال قيمتها في الدالة وحساب القيمة المقابلة للدالة.
2) الوظيفة y=tg x. أو y=ctg x.
هذه الوظائف تتزايد بشكل رتيب. لذلك ، كلما زادت قيمة الوسيطة ، زادت قيمة الوظيفة نفسها. بعد ذلك ، سننظر في كيفية العثور على أكبر وأصغر قيمة للدالة في مقطع ما باستخدام الأمثلة.
أنواع المهام الرئيسية
المهمة: أكبر أو أصغر قيمة للدالة. مثال على الرسم البياني
في الصورة ترى الرسم البياني لمشتق الوظيفة f (x) على الفترة [-6؛ 6]. في أي نقطة من المقطع [-3 ؛ 3] f (x) تأخذ أصغر قيمة؟
إذن ، بالنسبة للمبتدئين ، يجب عليك تحديد المقطع المحدد. على ذلك ، تأخذ الوظيفة مرة واحدة قيمة صفرية وتغير علامتها - هذه هي النقطة القصوى. بما أن المشتق من السالب يصبح موجبًا ، فهذا يعني أن هذه هي النقطة الدنيا للدالة. هذه النقطة تقابل قيمة الوسيطة 2.
الجواب: 2.
استمر في النظر إلى الأمثلة. المهمة: ابحث عن أكبر وأصغر قيمة للدالة في المقطع
أوجد أصغر قيمة للدالة y=(x - 8) ex-7على الفترة [6؛ 8].
1. خذ مشتق دالة معقدة.
y '(x)=(x - 8) ex-7=(x - 8)' (ex-7) + (x - 8) (ex-7) '=1(ex-7) + (x - 8) (ex-7 )=(1 + x - 8) (ex-7 )=(x - 7) (ex-7 )
2. يساوي المشتق الناتج بالصفر وحل المعادلة.
y '(x)=0
(x - 7) (ex-7)=0
x - 7=0 ، أو ex-7=0
س=7 ؛ ex-7≠ 0 ، لا جذور
3. عوض بقيمة النقاط القصوى في الدالة ، وكذلك الجذور التي تم الحصول عليها من المعادلة.
y (6)=(6-8) e6-7=-2e-1
y (7)=(7-8) e7-7=-1e0=-11=- 1
y (8)=(8-8) e8-7=0e1=0
الجواب: -1.
لذلك ، في هذه المقالة ، تم النظر في النظرية الرئيسية حول كيفية العثور على أصغر قيمة لدالة في مقطع ما ، وهو أمر ضروري لحل مهام الاستخدام بنجاح في الرياضيات المتخصصة. أيضا عناصر رياضيةيتم استخدام التحليل عند حل المهام من الجزء C من الامتحان ، ولكن من الواضح أنها تمثل مستوى مختلفًا من التعقيد ، ومن الصعب أن تتلاءم خوارزميات حلولها مع إطار عمل مادة واحدة.
