كيفية العثور على الحد الأدنى والحد الأقصى لنقاط الوظيفة: الميزات والأساليب والأمثلة

2024 مؤلف: Angel Austin | [email protected]. آخر تعديل: 2024-01-02 17:40

الوظيفة ودراسة خصائصها من الفصول الرئيسية في الرياضيات الحديثة. المكون الرئيسي لأي وظيفة هو الرسوم البيانية التي تصور ليس فقط خصائصها ، ولكن أيضًا معلمات مشتق هذه الوظيفة. دعنا نلقي نظرة على هذا الموضوع الصعب. إذن ما هي أفضل طريقة لإيجاد الحد الأقصى والحد الأدنى من نقاط دالة؟

الوظيفة: التعريف

أي متغير يعتمد بطريقة ما على قيم قيمة أخرى يمكن أن يسمى دالة. على سبيل المثال ، الدالة f (x²) تربيعية وتحدد قيم المجموعة بأكملها x. لنفترض أن x=9 ، ثم قيمة وظيفتنا ستكون مساوية لـ 9^2=81.

تأتي الوظائف في العديد من الأنواع المختلفة: المنطقية والمتجهية واللوغاريتمية والمثلثية والأرقام وغيرها. كانت عقول بارزة مثل لاكروا ولاجرانج ولايبنيز وبرنولي منخرطة في دراستهم. تعمل كتاباتهم بمثابة حصن في الطرق الحديثة لدراسة الوظائف. قبل إيجاد الحد الأدنى من النقاط ، من المهم جدًا فهم معنى الوظيفة ومشتقاتها.

المشتق ودوره

جميع الوظائف فياعتمادًا على قيمهم المتغيرة ، مما يعني أنه يمكنهم تغيير قيمتها في أي وقت. على الرسم البياني ، سيتم تصوير ذلك على أنه منحنى ينخفض أو يرتفع على طول المحور الصادي (هذه هي المجموعة الكاملة لأرقام "y" على طول العمود الرأسي للرسم البياني). وبالتالي فإن تعريف نقطة الحد الأقصى والحد الأدنى من الوظيفة مرتبط بهذه "التذبذبات". دعونا نشرح ما هي هذه العلاقة.

يتم رسم مشتق أي دالة على الرسم البياني لدراسة خصائصها الرئيسية وحساب مدى سرعة تغير الوظيفة (أي تغير قيمتها حسب المتغير "x"). في الوقت الذي تزداد فيه الوظيفة ، سيزداد الرسم البياني لمشتقها أيضًا ، ولكن في أي ثانية قد تبدأ الوظيفة في الانخفاض ، ثم ينخفض الرسم البياني للمشتق. تلك النقاط التي ينتقل عندها المشتق من سالب إلى زائد تسمى الحد الأدنى من النقاط. من أجل معرفة كيفية إيجاد الحد الأدنى من النقاط ، يجب أن تفهم بشكل أفضل مفهوم المشتق.

كيف تحسب المشتق

تعريف وحساب مشتق دالة يتضمن عدة مفاهيم من حساب التفاضل. بشكل عام ، يمكن التعبير عن تعريف المشتق على النحو التالي: هذه هي القيمة التي توضح معدل تغير الوظيفة.

الطريقة الرياضية لتحديد ذلك بالنسبة للعديد من الطلاب تبدو معقدة ، ولكن في الواقع كل شيء أبسط بكثير. أنت فقط بحاجة للمتابعةخطة قياسية لإيجاد مشتق أي دالة. فيما يلي وصف لكيفية إيجاد الحد الأدنى للدالة دون تطبيق قواعد التفاضل ودون حفظ جدول المشتقات.

1. يمكنك حساب مشتق دالة باستخدام الرسم البياني. للقيام بذلك ، تحتاج إلى تصوير الوظيفة نفسها ، ثم تأخذ نقطة واحدة عليها (النقطة A في الشكل.) ارسم خطًا عموديًا لأسفل إلى محور الإحداثي (النقطة x_{0) ، و عند النقطة أ ارسم ظلًا لوظيفة الرسم. يشكل محور الإحداثية والماس زاوية أ. لحساب قيمة سرعة زيادة الدالة ، تحتاج إلى حساب ظل هذه الزاوية أ}
2. اتضح أن ظل الزاوية بين المماس واتجاه المحور السيني هو مشتق للدالة في منطقة صغيرة بالنقطة أ. تعتبر هذه الطريقة طريقة هندسية لتحديد المشتق

طرق البحث عن وظيفة

في المناهج المدرسية للرياضيات ، من الممكن العثور على الحد الأدنى للدالة بطريقتين. لقد حللنا بالفعل الطريقة الأولى باستخدام الرسم البياني ، ولكن كيف نحدد القيمة العددية للمشتق؟ للقيام بذلك ، سوف تحتاج إلى تعلم العديد من الصيغ التي تصف خصائص المشتق وتساعد في تحويل المتغيرات مثل "x" إلى أرقام. الطريقة التالية عالمية ، لذا يمكن تطبيقها على جميع أنواع الوظائف تقريبًا (الهندسية واللوغاريتمية).

1. من الضروري مساواة الدالة بالدالة المشتقة ، ثم تبسيط التعبير باستخدام القواعدالتمايز.
2. اقسم على صفر).
3. بعد ذلك ، يجب عليك تحويل الصيغة الأصلية للدالة إلى معادلة بسيطة ، معادلة التعبير بالكامل بالصفر. على سبيل المثال ، إذا بدت الوظيفة على النحو التالي: f (x)=2x³+ 38x ، فوفقًا لقواعد الاشتقاق ، فإن مشتقها يساوي f '(x)=3x^{2 + 1. ثم نقوم بتحويل هذا التعبير إلى معادلة بالصيغة التالية: 3x}2^{+ 1=0.}
4. بعد حل المعادلة وإيجاد النقاط "x" ، يجب رسمها على المحور x وتحديد ما إذا كان المشتق في هذه المناطق بين النقاط المحددة موجبًا أم سالبًا. بعد التعيين ، سيتضح عند أي نقطة تبدأ الوظيفة في الانخفاض ، أي أنها تغير الإشارة من ناقص إلى عكس ذلك. وبهذه الطريقة يمكنك إيجاد كل من الحد الأدنى والحد الأقصى للنقاط.

قواعد التمايز

الجزء الأساسي من تعلم الوظيفة ومشتقاتها هو معرفة قواعد التفاضل. فقط بمساعدتهم يمكن تحويل التعبيرات المرهقة والوظائف المعقدة الكبيرة. دعنا نتعرف عليهم ، هناك الكثير منهم ، لكنهم جميعًا بسيطون جدًا بسبب الخصائص العادية لكل من وظائف الطاقة واللوغاريتمية.

1. مشتق أي ثابت هو صفر (f (x)=0). أي أن المشتق f (x)=x⁵+ x - 160 سيأخذ الشكل التالي: f '(x)=5x^{4+ 1.}
2. مشتق مجموع فترتين: (f + w) '=f'w + fw'.
3. مشتق من دالة لوغاريتمية: (log_{ad) '=d / ln ad. تنطبق هذه الصيغة على جميع أنواع اللوغاريتمات.}
4. مشتق من الدرجة: (x ) '=nx^n-1. على سبيل المثال ، (9x^{2) '=92x=18x.}
5. مشتق دالة جيبية: (sin a) '=cos a. إذا كانت قيمة sin الزاوية a تساوي 0.5 ، فإن مشتقها هو √3 / 2.

نقاط اكستريموم

لقد توصلنا بالفعل إلى كيفية العثور على الحد الأدنى من النقاط ، ومع ذلك ، هناك مفهوم الحد الأقصى لنقاط الوظيفة. إذا كان الحد الأدنى يشير إلى تلك النقاط التي تنتقل عندها الدالة من سالب إلى زائد ، فإن الحد الأقصى للنقاط هي تلك النقاط على المحور السيني التي يتغير عندها مشتق الوظيفة من موجب إلى العكس - ناقص.

يمكنك إيجاد الحد الأقصى من النقاط باستخدام الطريقة الموضحة أعلاه ، فقط يجب أن يؤخذ في الاعتبار أنها تشير إلى تلك المناطق التي تبدأ فيها الوظيفة في الانخفاض ، أي أن المشتق سيكون أقل من الصفر.

في الرياضيات ، من المعتاد تعميم كلا المفهومين ، واستبدالهما بعبارة "النقاط القصوى". عندما تطلب المهمة تحديد هذه النقاط ، فهذا يعني أنه من الضروري حساب مشتق هذه الوظيفة وإيجاد الحد الأدنى والحد الأقصى من النقاط.