تعمل نظرية الاحتمالات مع المتغيرات العشوائية. للمتغيرات العشوائية ، هناك ما يسمى بقوانين التوزيع. يصف مثل هذا القانون متغيره العشوائي بالاكتمال المطلق. ومع ذلك ، عند العمل مع مجموعات حقيقية من المتغيرات العشوائية ، غالبًا ما يكون من الصعب جدًا إنشاء قانون توزيعها على الفور وتكون مقصورة على مجموعة معينة من الخصائص العددية. على سبيل المثال ، غالبًا ما يكون حساب المتوسط والتباين لمتغير عشوائي مفيدًا جدًا.
لماذا هو مطلوب
إذا كان جوهر التوقع الرياضي قريبًا من القيمة المتوسطة للكمية ، ففي هذه الحالة يخبرنا التشتت كيف تنتشر قيم كميتنا حول هذا التوقع الرياضي. على سبيل المثال ، إذا قمنا بقياس معدل الذكاء لمجموعة من الأشخاص وأردنا فحص نتائج القياس (عينة) ، فسوف يُظهر التوقع الرياضي متوسط القيمة التقريبية لحاصل الذكاء لهذه المجموعة من الأشخاص ، وإذا قمنا بحساب تباين العينة ، سوف نكتشف كيف يتم تجميع النتائج حول التوقع الرياضي: مجموعة بالقرب منه (تباين صغير في معدل الذكاء) أو بشكل أكثر توازناً على النطاق الكامل من الحد الأدنى إلى النتيجة القصوى (تباين كبير ، وفي مكان ما في الوسط - توقع رياضي)
لحساب التباين ، تحتاج إلى خاصية جديدة لمتغير عشوائي - انحراف القيمة عن المتغير الرياضيالانتظار.
الانحراف
لفهم كيفية حساب التباين ، يجب أولاً فهم الانحراف. تعريفه هو الفرق بين القيمة التي يأخذها المتغير العشوائي وتوقعه الرياضي. بشكل تقريبي ، من أجل فهم كيفية "تشتت" القيمة ، تحتاج إلى النظر في كيفية توزيع انحرافها. أي أننا نستبدل قيمة القيمة بقيمة انحرافها عن الحصيرة. التوقعات واستكشاف قانون التوزيع الخاص به.
قانون التوزيع المنفصل ، أي المتغير العشوائي الذي يأخذ القيم الفردية ، مكتوب في شكل جدول ، حيث ترتبط قيمة القيمة باحتمالية حدوثها. بعد ذلك ، في قانون توزيع الانحراف ، سيتم استبدال المتغير العشوائي بصيغته ، حيث توجد قيمة (احتفظت باحتمالية وجودها) وحصتها الخاصة. الانتظار.
خصائص قانون توزيع انحراف المتغير العشوائي
لقد كتبنا قانون التوزيع لانحراف متغير عشوائي. من ذلك ، يمكننا حتى الآن استخراج خاصية مثل التوقع الرياضي. للراحة ، من الأفضل أخذ مثال رقمي.
ليكن هناك قانون توزيع لبعض المتغيرات العشوائية: X - القيمة ، p - الاحتمال.
نحسب التوقع الرياضي باستخدام الصيغة والانحراف فورًا.
رسم جدول توزيع انحراف جديد.
نحسب التوقعات هنا أيضًا.
اتضح صفر. يوجد مثال واحد فقط ، لكنه سيظل كذلك دائمًا: ليس من الصعب إثبات ذلك في الحالة العامة. يمكن أن تتحلل معادلة التوقع الرياضي للانحراف إلى الفرق بين التوقعات الرياضية لمتغير عشوائي ، وبغض النظر عن مدى الالتواء الذي قد يبدو عليه ، فإن التوقع الرياضي للرياضيات. التوقعات (العودية ، مع ذلك) ، والتي هي نفسها ، وبالتالي سيكون الفرق بينهم صفر.
هذا متوقع: بعد كل شيء ، يمكن أن تكون الانحرافات في الإشارة موجبة وسالبة ، وبالتالي ، في المتوسط يجب أن تعطي صفرًا.
كيفية حساب التباين في حالة منفصلة. كميات
إذا مات. لا جدوى من حساب توقع الانحراف ، عليك البحث عن شيء آخر. يمكنك ببساطة أن تأخذ القيم المطلقة للانحرافات (modulo) ؛ لكن مع الوحدات ، كل شيء ليس بهذه البساطة ، لذلك يتم تربيع الانحرافات ، ثم يتم حساب توقعاتهم الرياضية. في الواقع ، هذا هو المقصود عندما يتحدثون عن كيفية حساب التباين.
أي أننا نأخذ الانحرافات ، ونقوم بتربيعها ، ونصنع جدولًا للانحرافات والاحتمالات التربيعية التي تتوافق مع المتغيرات العشوائية. هذا قانون توزيع جديد. لحساب التوقع الرياضي ، تحتاج إلى جمع حاصل ضرب مربع الانحراف والاحتمال.
صيغة أسهل
ومع ذلك ، بدأت المقالة بحقيقة أن قانون توزيع المتغير العشوائي الأولي غالبًا ما يكون غير معروف. لذلك هناك حاجة إلى شيء أخف. في الواقع ، هناك معادلة أخرى تسمح لك بحساب تباين العينة باستخدام الحصيرة فقط.الانتظار:
التشتت - الفرق بين الحصيرة. توقع مربع متغير عشوائي ، وعلى العكس من مربع مربع متغيره. الانتظار.
هناك دليل على ذلك ، لكن ليس من المنطقي تقديمه هنا ، لأنه ليس له قيمة عملية (ونحتاج فقط لحساب التباين).
كيفية حساب تباين متغير عشوائي في سلسلة متغيرة
في الإحصائيات الحقيقية ، من المستحيل عكس جميع المتغيرات العشوائية (لأنه ، تقريبًا ، يوجد ، كقاعدة عامة ، عدد لا حصر له منها). لذلك ، ما يدخل في الدراسة هو ما يسمى بالعينة التمثيلية من بعض عامة السكان. وبما أن الخصائص العددية لأي متغير عشوائي من هذا المجتمع العام يتم حسابها من العينة ، فإنها تسمى عينة: متوسط العينة ، على التوالي ، تباين العينة. يمكنك حسابه بنفس الطريقة المعتادة (من خلال الانحرافات التربيعية).
ومع ذلك ، يسمى هذا التشتت متحيز. تبدو صيغة التباين غير المتحيزة مختلفة قليلاً. عادة ما تكون مطلوبة لحسابها
إضافة صغيرة
خاصية عددية أخرى مرتبطة بالتشتت. كما أنه يعمل على تقييم كيفية تشتت المتغير العشوائي حول حصيرةه. التوقعات. لا يوجد فرق كبير في كيفية حساب التباين والانحراف المعياري: الأخير هو الجذر التربيعي للأول.
