الهرم شكل مكاني هندسي ، تدرس خصائصه في المدرسة الثانوية في سياق الهندسة الصلبة. في هذه المقالة سوف ننظر في الهرم المثلثي وأنواعه وكذلك الصيغ لحساب مساحة سطحه.
ما الهرم الذي نتحدث عنه
الهرم المثلثي هو شكل يمكن الحصول عليه من خلال ربط جميع رؤوس المثلث العشوائي بنقطة واحدة لا تقع في مستوى هذا المثلث. وفقًا لهذا التعريف ، يجب أن يتكون الهرم قيد النظر من مثلث أولي يسمى قاعدة الشكل ، وثلاثة مثلثات ضلع مشتركة مع القاعدة ومتصلة ببعضها البعض عند نقطة ما. هذا الأخير يسمى قمة الهرم.
الصورة أعلاه توضح هرمًا مثلثًا عشوائيًا.
يمكن أن يكون الشكل قيد النظر منحرفًا أو مستقيمًا. في الحالة الأخيرة ، يجب أن يتقاطع الخط العمودي المنحدر من أعلى الهرم إلى قاعدته عند المركز الهندسي. المركز الهندسي لأيالمثلث هو نقطة تقاطع متوسطاته. المركز الهندسي يتزامن مع مركز كتلة الشكل في الفيزياء.
إذا كان مثلث منتظم (متساوي الأضلاع) يقع في قاعدة هرم مستقيم ، فإنه يسمى المثلث المنتظم. في الهرم المنتظم ، جميع الأضلاع متساوية مع بعضها البعض ومثلثات متساوية الأضلاع.
إذا كان ارتفاع الهرم العادي بحيث تصبح مثلثاته الجانبية متساوية الأضلاع ، فإنه يسمى رباعي السطوح. في رباعي الوجوه ، جميع الوجوه الأربعة متساوية مع بعضها البعض ، لذلك يمكن اعتبار كل منها أساسًا.
عناصر الهرم
تشمل هذه العناصر وجوه أو جوانب الشكل ، وحوافه ، ورؤوسه ، وارتفاعه ، وخطواته.
كما هو موضح ، كل جوانب الهرم المثلث مثلثات. عددهم 4 (3 جوانب وواحد في القاعدة)
القمم هي نقاط تقاطع الأضلاع المثلثية الثلاثة. ليس من الصعب تخمين أنه بالنسبة للهرم قيد الدراسة هناك 4 منهم (3 تنتمي إلى القاعدة و 1 إلى أعلى الهرم).
يمكن تعريف الحواف على أنها خطوط تتقاطع مع جانبين مثلثين ، أو كخطوط تربط كل رأسين. يتوافق عدد الحواف مع ضعف عدد رؤوس القاعدة ، أي بالنسبة للهرم المثلثي ، فهو 6 (3 حواف تنتمي إلى القاعدة و 3 حواف من الوجوه الجانبية).
الارتفاع ، كما هو مذكور أعلاه ، هو طول العمود الرأسي المرسوم من أعلى الهرم إلى قاعدته. إذا رسمنا ارتفاعات من هذا الرأس إلى كل جانب من قاعدة المثلث ،ثم سوف يطلق عليهم apotems (أو apothems). وهكذا ، فإن الهرم المثلثي له ارتفاع واحد وثلاثة أبوتيم. الأخيرون متساوون لبعضهم البعض لهرم منتظم.
قاعدة الهرم ومساحته
بما أن قاعدة الشكل قيد النظر هي بشكل عام مثلث ، لحساب مساحته يكفي إيجاد ارتفاعه hoوطول جانب القاعدة أ ، التي تم إنزالها عليها. صيغة المنطقة Soمن القاعدة هي:
So=1/2ho a
إذا كان مثلث القاعدة متساوي الأضلاع ، فسيتم حساب مساحة قاعدة الهرم الثلاثي باستخدام الصيغة التالية:
So=√3 / 4a2
أي المنطقة Soيتم تحديدها بشكل فريد من خلال طول الضلع أ للقاعدة المثلثية.
الجانب والمساحة الإجمالية للشكل
قبل التفكير في مساحة الهرم الثلاثي ، من المفيد إظهار تطوره. هي في الصورة أدناه.
مساحة هذا المسح المكونة من أربعة مثلثات هي المساحة الكلية للهرم. يتوافق أحد المثلثات مع القاعدة ، وكُتبت معادلة القيمة المدروسة أعلاه. ثلاثة وجوه جانبية مثلثة تشكل معًا المنطقة الجانبية للشكل. لذلك ، لتحديد هذه القيمة ، يكفي تطبيق الصيغة أعلاه لمثلث تعسفي لكل منهم ، ثم إضافة النتائج الثلاث.
إذا كان الهرم صحيحا فالحسابيتم تسهيل مساحة السطح الجانبي ، لأن جميع الوجوه الجانبية هي مثلثات متساوية الأضلاع متطابقة. أشر إلى hbطول العرش ، ثم مساحة السطح الجانبي Sbيمكن تحديدها على النحو التالي:
Sb=3/2ahb
تتبع هذه الصيغة التعبير العام لمساحة المثلث. ظهر الرقم 3 في البسط لأن الهرم له ثلاثة وجوه جانبية.
Apotema hbفي الهرم العادي يمكن حسابها إذا كان ارتفاع الشكل h معروفًا. بتطبيق نظرية فيثاغورس نحصل على:
hb=√ (h2+ a2/ 12)
من الواضح أن المساحة الكلية S لسطح الشكل تساوي مجموع جوانبها ومساحات قاعدتها:
S=So+ Sb
للهرم العادي ، باستبدال جميع القيم المعروفة ، نحصل على الصيغة:
S=√3 / 4a2+ 3/2a√ (h2+ a2/ 12)
مساحة الهرم المثلث تعتمد فقط على طول ضلع قاعدته وعلى ارتفاعه.
مثال على المشكلة
من المعروف ان الضلع الجانبي للهرم المثلث طوله 7 سم و ضلع القاعدة 5 سم، تحتاج لايجاد مساحة الشكل اذا علمت ان الهرم عادي
استخدم المساواة العامة:
S=So+ Sb
المنطقة Soتساوي:
So=√3 / 4a2=√3 / 452 ≈10، 825cm2.
لتحديد مساحة السطح الجانبي ، تحتاج إلى إيجاد apotema. ليس من الصعب إظهار أنه من خلال طول الحافة الجانبية abيتم تحديدها بواسطة الصيغة:
hb=√ (ab2- a2/ 4)=√ (72- 52/ 4) ≈ 6.538 سم.
ثم مساحة Sbهي:
Sb=3/2ahb=3/256، 538=49.035 سم 2.
إجمالي مساحة الهرم:
S=So+ Sb=10.825 + 49.035=59.86 سم2.
لاحظ أنه عند حل المشكلة ، لم نستخدم قيمة ارتفاع الهرم في الحسابات.
