في الرياضيات والمعالجة ، يعتبر مفهوم الإشارة التحليلية (اختصارًا - C ، AC) دالة معقدة لا تحتوي على مكونات تردد سالبة. الأجزاء الحقيقية والخيالية لهذه الظاهرة هي وظائف حقيقية مرتبطة ببعضها البعض بواسطة تحويل هلبرت. الإشارة التحليلية هي ظاهرة شائعة في الكيمياء ، وجوهرها مشابه للتعريف الرياضي لهذا المفهوم.
عروض
التمثيل التحليلي لوظيفة حقيقية هو إشارة تحليلية تحتوي على الوظيفة الأصلية وتحويل هيلبرت الخاص بها. هذا التمثيل يسهل العديد من التلاعبات الرياضية. الفكرة الرئيسية هي أن مكونات التردد السالب لتحويل فورييه (أو الطيف) لوظيفة حقيقية زائدة عن الحاجة بسبب التناظر الهرمي لمثل هذا الطيف. يمكن التخلص من مكونات التردد السالب بدونهافقدان المعلومات ، بشرط أنك تريد التعامل مع وظيفة معقدة بدلاً من ذلك. هذا يجعل الوصول إلى سمات معينة أكثر سهولة ويسهل اشتقاق تقنيات التعديل وإزالة التشكيل مثل SSB.
المكونات السلبية
طالما أن الوظيفة التي يتم التلاعب بها لا تحتوي على مكونات تردد سالبة (أي أنها لا تزال تحليلية) ، فإن التحويل من المعقد مرة أخرى إلى الواقع هو مجرد مسألة تجاهل الجزء التخيلي. التمثيل التحليلي هو تعميم لمفهوم المتجه: بينما يقتصر المتجه على السعة غير المتغيرة للوقت والطور والتردد ، فإن التحليل النوعي للإشارة التحليلية يسمح بمعلمات متغيرة بمرور الوقت.
يتم استخدام السعة اللحظية والطور اللحظي والتردد في بعض التطبيقات لقياس واكتشاف الميزات المحلية لـ C. يتعلق تطبيق آخر للتمثيل التحليلي بإزالة تشكيل الإشارات المعدلة. تقوم الإحداثيات القطبية بفصل تأثيرات تعديل AM والطور (أو التردد) بشكل ملائم وإزالة تشكيل أنواع معينة بشكل فعال.
ثم مرشح تمرير منخفض بسيط مع معاملات حقيقية يمكن أن يقطع جزء الاهتمام. الدافع الآخر هو خفض الحد الأقصى للتردد ، مما يقلل الحد الأدنى من التردد لأخذ العينات بدون اسم مستعار. لا يقوض تحول التردد الفائدة الرياضية للتمثيل. وبالتالي ، في هذا المعنى ، لا يزال التحويل المقلوب تحليليًا. ومع ذلك ، فإن استعادة التمثيل الحقيقيلم يعد مجرد استخراج المكون الحقيقي مجرد مسألة. قد تكون هناك حاجة للتحويل ، وإذا تم أخذ عينات من الإشارة (وقت منفصل) ، فقد يكون الاستيفاء (الاختزال) مطلوبًا أيضًا لتجنب التشويش.
المتغيرات
المفهوم محدد جيدًا لظاهرة متغيرة مفردة ، والتي عادة ما تكون مؤقتة. تربك هذه الزمنية العديد من علماء الرياضيات المبتدئين. بالنسبة لمتغيرين أو أكثر ، يمكن تعريف C التحليلي بطرق مختلفة ، ويتم تقديم طريقتين أدناه.
الأجزاء الحقيقية والخيالية لهذه الظاهرة تتوافق مع عنصرين من إشارة أحادية الجين ذات قيمة متجهية ، كما تم تعريفها لظواهر مماثلة بمتغير واحد. ومع ذلك ، يمكن تمديد أحادية المنشأ إلى عدد تعسفي من المتغيرات بطريقة بسيطة ، مما يؤدي إلى إنشاء دالة متجهية (n + 1) لحالة الإشارات المتغيرة n.
تحويل الإشارة
يمكنك تحويل إشارة حقيقية إلى إشارة تحليلية عن طريق إضافة مكون وهمي (Q) ، وهو تحويل هلبرت للمكون الحقيقي.
بالمناسبة ، هذا ليس جديدًا على معالجته الرقمية. تتضمن إحدى الطرق التقليدية لإنشاء النطاق الجانبي الفردي (SSB) AM ، وهي طريقة التدرج ، إنشاء إشارات عن طريق توليد تحويل هيلبرت لإشارة صوتية في شبكة مكثف مقاومة تناظرية. نظرًا لأنه يحتوي على ترددات موجبة فقط ، فمن السهل تحويله إلى إشارة RF معدلة بنطاق جانبي واحد فقط.
تعريف الصيغ
التعبير التحليلي للإشارة هو دالة معقدة شاملة محددة على حدود نصف المستوى المركب العلوي. تتطابق حدود نصف المستوى العلوي مع العشوائية ، لذلك يتم إعطاء C من خلال رسم الخرائط fa: R → C. منذ منتصف القرن الماضي ، عندما اقترح دينيس جابور في عام 1946 استخدام هذه الظاهرة لدراسة السعة الثابتة والمرحلة ، وجدت الإشارة العديد من التطبيقات. تم التأكيد على خصوصية هذه الظاهرة [Vak96] ، حيث تبين أن التحليل النوعي فقط للإشارة التحليلية يتوافق مع الظروف المادية للسعة والطور والتردد.
آخر الإنجازات
خلال العقود القليلة الماضية ، كان هناك اهتمام بدراسة الإشارة في العديد من الأبعاد ، مدفوعة بالمشكلات الناشئة في مجالات تتراوح من معالجة الصور / الفيديو إلى العمليات التذبذبية متعددة الأبعاد في الفيزياء ، مثل الزلازل والكهرومغناطيسية و موجات الجاذبية. من المقبول عمومًا أنه من أجل التعميم التحليلي C (التحليل النوعي) بشكل صحيح على حالة الأبعاد المتعددة ، يجب على المرء الاعتماد على بناء جبري يوسع الأعداد المركبة العادية بطريقة مناسبة. عادة ما تسمى مثل هذه الإنشاءات أرقام hypercomplex [SKE].
أخيرًا ، يجب أن يكون من الممكن إنشاء إشارة تحليلية hypercomplex fh: Rd → S ، حيث يتم تمثيل بعض الأنظمة الجبرية العامة شديدة التعقيد ، والتي تعمل بشكل طبيعي على توسيع جميع الخصائص المطلوبة للحصول على سعة لحظية والمرحلة
دراسة
تم تخصيص عدد من الأوراق لقضايا مختلفة تتعلق بالاختيار الصحيح لنظام رقم hypercomplex ، وتعريف تحويل فورييه hypercomplex وتحويلات هلبرت الكسرية لدراسة السعة اللحظية والمرحلة. اعتمد معظم هذا العمل على خصائص مساحات مختلفة مثل إنشاءات Cd و quaternions و Clearon algebras و Cayley-Dixon.
بعد ذلك ، سنقوم بإدراج بعض الأعمال المخصصة فقط لدراسة الإشارة في العديد من الأبعاد. وبقدر ما نعلم ، تم الحصول على الأعمال الأولى للطريقة متعددة المتغيرات في أوائل التسعينيات. وتشمل هذه عمل Ell [Ell92] على تحويلات hypercomplex ؛ عمل بولو على تعميم طريقة التفاعل التحليلي (إشارة تحليلية) على العديد من القياسات [BS01] وعمل فيلسبرغ وسومر على الإشارات أحادية المنشأ.
آفاق أخرى
من المتوقع أن تمد إشارة hypercomplex جميع الخصائص المفيدة التي لدينا في حالة 1D. بادئ ذي بدء ، يجب أن نكون قادرين على استخراج وتعميم السعة اللحظية والمرحلة على القياسات. ثانيًا ، يتم الحفاظ على طيف فورييه لإشارة تحليلية معقدة فقط عند الترددات الموجبة ، لذلك نتوقع أن يكون لتحويل فورييه شديد التعقيد طيفًا عالي القيمة خاصًا به ، والذي سيتم الحفاظ عليه فقط في بعض الربع الموجب من مساحة hypercomplex. لانها مهمة جدا
ثالثًا ، الأجزاء المترافقة لمفهوم معقدمن الإشارة التحليلية مرتبطة بتحويل هيلبرت ، ويمكننا أن نتوقع أن المكونات المترافقة في مساحة hypercomplex يجب أن ترتبط أيضًا ببعض توليفة من تحويلات هلبرت. وأخيرًا ، في الواقع ، يجب تعريف إشارة hypercomplex على أنها امتداد لبعض وظائف hypercomplex holomorphic للعديد من متغيرات hypercomplex المحددة على حدود شكل ما في مساحة hypercomplex.
نحن نعالج هذه القضايا بالترتيب التسلسلي. بادئ ذي بدء ، نبدأ بالنظر إلى صيغة فورييه المتكاملة ونوضح أن تحويل هيلبرت إلى 1-D مرتبط بصيغة فورييه المتكاملة المعدلة. تتيح لنا هذه الحقيقة تحديد السعة اللحظية والطور والتردد دون أي إشارة إلى أنظمة عدد hypercomplex والوظائف الشاملة.
تعديل التكاملات
نواصل من خلال توسيع صيغة فورييه المتكاملة المعدلة إلى عدة أبعاد ، وتحديد جميع المكونات الضرورية التي تم تغيير الطور والتي يمكننا جمعها في السعة والمرحلة اللحظية. ثانيًا ، ننتقل إلى مسألة وجود دوال متعددة الأشكال للعديد من متغيرات hypercomplex. بعد [Sch93] اتضح أن الجبر التبادلي والترابطي المتولد عن مجموعة من المولدات البيضاوية (e2i=−1) هو مساحة مناسبة لتعيش إشارة تحليلية شديدة التعقيد ، ونحن نطلق على مثل هذا الجبر المفرط التعقيد مساحة Schaefers ونشير إليه هو - هيSD
لذلك ، يُعرَّف التعقيد المفرط للإشارات التحليلية على أنه دالة كاملة الشكل على حدود القرص المتعدد / النصف العلوي من المستوى في بعض مساحة hypercomplex ، والتي نسميها مساحة Schaefers العامة ، ويُشار إليها بواسطة Sd. نلاحظ بعد ذلك صلاحية صيغة كوشي المتكاملة للوظائف Sd → Sd ، والتي يتم حسابها على سطح مفرط داخل قرص متعدد في Sd واستنباط تحويلات هيلبرت الكسرية المقابلة التي تتعلق بمكونات اقتران hypercomplex. أخيرًا ، اتضح أن تحويل فورييه بقيم في فضاء شايفر مدعوم فقط عند الترددات غير السالبة. بفضل هذه المقالة ، تعلمت ما هي الإشارة التحليلية.
