صيغ لمساحة قطاع من دائرة وطول قوسها

2024 مؤلف: Angel Austin | [email protected]. آخر تعديل: 2023-12-17 05:16

الدائرة هي الشكل الرئيسي في الهندسة ، وتعتبر خصائصها في المدرسة في الصف الثامن. تتمثل إحدى المشكلات النموذجية المرتبطة بالدائرة في العثور على مساحة جزء منها ، وهو ما يسمى بالقطاع الدائري. توفر المقالة الصيغ الخاصة بمنطقة القطاع وطول قوسه ، بالإضافة إلى مثال على استخدامها لحل مشكلة معينة.

مفهوم الدائرة والدائرة

قبل إعطاء صيغة مساحة قطاع الدائرة ، دعنا نفكر في الشكل المشار إليه. وفقًا للتعريف الرياضي ، تُفهم الدائرة على أنها شكل على مستوى ، وجميع نقاطها متساوية البعد عن نقطة واحدة (مركز).

عند التفكير في دائرة ، يتم استخدام المصطلحات التالية:

• Radius - مقطع مرسوم من النقطة المركزية إلى منحنى الدائرة. يُشار إليه عادةً بالحرف R.
• القطر عبارة عن مقطع يربط بين نقطتين من الدائرة ، ولكنه يمر أيضًا بمركز الشكل.يُشار إليه عادةً بالحرف D
• القوس جزء من دائرة منحنية. يقاس إما بوحدات الطول أو باستخدام الزوايا.

الدائرة هي شكل هندسي مهم آخر ، وهي عبارة عن مجموعة من النقاط تحدها دائرة منحنية.

منطقة الدائرة ومحيطها

يتم حساب القيم المذكورة في عنوان العنصر باستخدام صيغتين بسيطتين. تم سردها أدناه:

• المحيط: L=2piR.
• مساحة الدائرة: S=piR².

في هذه الصيغ ، pi هو ثابت يسمى Pi. إنه غير منطقي ، أي لا يمكن التعبير عنه بالضبط ككسر بسيط. Pi تساوي 3.1416 تقريبًا.

كما ترى من التعابير أعلاه ، من أجل حساب المساحة والطول ، يكفي معرفة نصف قطر الدائرة فقط.

مساحة قطاع الدائرة وطول قوسها

قبل النظر في الصيغ المقابلة ، نتذكر أن الزاوية في الهندسة يتم التعبير عنها عادةً بطريقتين رئيسيتين:

• بالدرجات الستين ، والدوران الكامل حول محوره 360^o؛
• بالراديان ، معبرًا عنها ككسور من pi وترتبط بالدرجات بالمعادلة التالية: 2pi=360^o.

قطاع الدائرة هو شكل يحده ثلاثة خطوط: قوس من دائرة ونصف قطر يقعان في نهايات هذا القوس. يظهر مثال على قطاع دائري في الصورة أدناه.

الحصول على فكرة عن ماهية قطاع الدائرة ، إنه أمر سهلفهم كيفية حساب مساحتها وطول القوس المقابل. يتضح من الشكل أعلاه أن قوس القطاع يتوافق مع الزاوية θ. نحن نعلم أن الدائرة الكاملة تقابل 2pi راديان ، وبالتالي فإن صيغة مساحة القطاع الدائري ستأخذ الشكل: S₁=Sθ / (2pi)=piR 2 ^{θ / (2pi)=θR}2^{/ 2. هنا يتم التعبير عن الزاوية بالراديان. صيغة مماثلة لمنطقة القطاع ، إذا تم قياس الزاوية θ بالدرجات ، ستبدو كما يلي: S}1_=piθR2 / 360.

يتم حساب طول القوس الذي يشكل قطاعًا بواسطة الصيغة: L₁=θ2piR / (2pi)=θR. وإذا كانت θ معروفة بالدرجات ، إذن: L₁=piθR / 180.

مثال على حل المشكلات

لنستخدم مثال مشكلة بسيطة لتوضيح كيفية استخدام الصيغ لمساحة قطاع من الدائرة وطول قوسها.

من المعروف أن العجلة بها 12 سماعة. عندما تقوم العجلة بدورة واحدة كاملة ، فإنها تغطي مسافة 1.5 متر. ما هي المساحة المحاطة بين اثنين من البرامق المتجاورة وما هو طول القوس بينهما؟

كما ترى من الصيغ المقابلة ، من أجل استخدامها ، تحتاج إلى معرفة كميتين: نصف قطر الدائرة وزاوية القوس. يمكن حساب نصف القطر من معرفة محيط العجلة ، لأن المسافة التي قطعتها في دورة واحدة تتوافق معها تمامًا. لدينا: 2Rpi=1.5 ، ومن أين: R=1.5 / (2pi)=0.2387 متر. يمكن تحديد الزاوية بين أقرب المتحدث من خلال معرفة عددهم.بافتراض أن جميع المتحدثين الاثني عشر يقسمون الدائرة بالتساوي إلى قطاعات متساوية ، نحصل على 12 قطاعًا متطابقًا. وفقًا لذلك ، فإن القياس الزاوي للقوس بين المتحدثين هو: θ=2pi / 12=pi / 6=0.5236 راديان.

لقد وجدنا جميع القيم الضرورية ، والآن يمكن استبدالها في الصيغ وحساب القيم التي تتطلبها حالة المشكلة. نحصل على: S₁=0.5236(0.2387)²/ 2=0.0149 م^{2 ،}أو 149cm²؛ L₁=0.52360.2387=0.125 م أو 12.5 سم.