أعتقد أننا يجب أن نبدأ بتاريخ هذه الأداة الرياضية المجيدة مثل المعادلات التفاضلية. مثل كل التفاضل والتكامل ، اخترع نيوتن هذه المعادلات في نهاية القرن السابع عشر. لقد اعتبر هذا الاكتشاف الخاص به مهمًا للغاية لدرجة أنه حتى قام بتشفير الرسالة ، والتي يمكن ترجمتها اليوم شيئًا كالتالي: "جميع قوانين الطبيعة موصوفة بمعادلات تفاضلية". قد يبدو هذا من قبيل المبالغة ، لكنه صحيح. يمكن وصف أي قانون فيزيائي أو كيمياء أو أحياء بهذه المعادلات.
قدم علماء الرياضيات أويلر ولاجرانج مساهمة كبيرة في تطوير وإنشاء نظرية المعادلات التفاضلية. بالفعل في القرن الثامن عشر ، اكتشفوا وطوروا ما يدرسونه الآن في الدورات العليا بالجامعات.
بدأ معلم جديد في دراسة المعادلات التفاضلية بفضل Henri Poincare. لقد ابتكر "نظرية نوعية للمعادلات التفاضلية" ، والتي ، بالاقتران مع نظرية وظائف المتغير المعقد ، قدمت مساهمة كبيرة في تأسيس الطوبولوجيا - علم الفضاء وعلومه.الخصائص.
ما هي المعادلات التفاضلية؟
كثير من الناس يخافون من عبارة واحدة "المعادلة التفاضلية". ومع ذلك ، في هذه المقالة سنقوم بتفصيل الجوهر الكامل لهذا الجهاز الرياضي المفيد للغاية ، والذي هو في الواقع ليس معقدًا كما يبدو من الاسم. لبدء الحديث عن المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى ، يجب أولاً التعرف على المفاهيم الأساسية المرتبطة بطبيعتها بهذا التعريف. وسنبدأ بالتفاضل
التفاضل
يعرف الكثيرون هذا المفهوم من المدرسة. ومع ذلك ، دعونا نلقي نظرة فاحصة عليها. تخيل رسمًا بيانيًا لدالة. يمكننا زيادته لدرجة أن أي جزء من أجزائه سيأخذ شكل خط مستقيم. في ذلك نأخذ نقطتين قريبتين بشكل لا نهائي من بعضهما البعض. سيكون الفرق بين إحداثياتهم (س أو ص) قيمة متناهية الصغر. يطلق عليه تفاضلًا ويُشار إليه بعلامات dy (تفاضل من y) و dx (تفاضل عن x). من المهم جدا أن نفهم أن التفاضل ليس قيمة محدودة ، وهذا هو معناه ووظيفته الرئيسية.
والآن نحن بحاجة إلى النظر في العنصر التالي ، والذي سيكون مفيدًا لنا في شرح مفهوم المعادلة التفاضلية. هذا هو المشتق.
مشتق
ربما سمعنا جميعًا في المدرسة وهذا المفهوم. المشتق هو معدل نمو أو نقصان دالة. ومع ذلك ، من هذا التعريفيصبح الكثير غير واضح. دعنا نحاول شرح المشتقة بدلالة الاشتقاقات. دعنا نعود إلى المقطع اللامتناهي للدالة بنقطتين على مسافة لا تقل عن بعضهما البعض. ولكن حتى بالنسبة لهذه المسافة ، تمكنت الوظيفة من التغيير بمقدار ما. ولوصف هذا التغيير ، توصلوا إلى مشتق يمكن كتابته كنسبة من الفروق: f (x) '=df / dx.
الآن يجدر النظر في الخصائص الأساسية للمشتق. لا يوجد سوى ثلاثة منهم:
- يمكن تمثيل مشتق المجموع أو الفرق كمجموع أو فرق المشتقات: (a + b) '=a' + b 'and (a-b)'=a'-b '.
- الخاصية الثانية مرتبطة بالضرب. مشتق المنتج هو مجموع حاصل ضرب دالة ومشتق آخر: (أب) '=أ'ب + أب '.
- يمكن كتابة مشتق الاختلاف على أنه المساواة التالية: (أ / ب) '=(أ'ب-أب ') / ب2.
كل هذه الخصائص ستكون مفيدة في إيجاد حلول للمعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى.
هناك أيضًا مشتقات جزئية. لنفترض أن لدينا دالة z تعتمد على المتغيرين x و y. لحساب المشتق الجزئي لهذه الدالة ، على سبيل المثال ، بالنسبة إلى x ، علينا أخذ المتغير y باعتباره ثابتًا والاشتقاق ببساطة.
لا يتجزأ
مفهوم آخر مهم هو التكامل. في الواقع ، هذا هو العكس المباشر للمشتقة. هناك عدة أنواع من التكاملات ، ولكن لحل أبسط المعادلات التفاضلية ، نحتاج إلى أبسط التكاملات غير المحددة.
إذن ما هو التكامل؟ لنفترض أن لدينا بعض التبعية fمن x. نأخذ التكامل منه ونحصل على الدالة F (x) (تسمى غالبًا المشتقة العكسية) ، مشتقها يساوي الوظيفة الأصلية. وبالتالي F (x) '=f (x). ويترتب على ذلك أيضًا أن تكامل المشتق يساوي الوظيفة الأصلية.
عند حل المعادلات التفاضلية ، من المهم جدًا فهم معنى ووظيفة التكامل ، حيث سيتعين عليك تناولهم كثيرًا للعثور على الحل.
تختلف المعادلات حسب طبيعتها. في القسم التالي ، سننظر في أنواع المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى ، ثم نتعلم كيفية حلها.
أصناف المعادلات التفاضلية
"Diffury" مقسمة حسب ترتيب المشتقات الداخلة فيها. وبالتالي ، هناك الترتيب الأول والثاني والثالث والمزيد. يمكن أيضًا تقسيمها إلى عدة فئات: المشتقات العادية والجزئية.
في هذه المقالة سننظر في المعادلات التفاضلية العادية من الدرجة الأولى. سنناقش أيضًا الأمثلة وطرق حلها في الأقسام التالية. سننظر فقط في معادلات ODE ، لأن هذه هي أكثر أنواع المعادلات شيوعًا. تنقسم الأنواع العادية إلى سلالات: ذات متغيرات قابلة للفصل ومتجانسة وغير متجانسة. بعد ذلك ، سوف تتعلم كيف تختلف عن بعضها البعض ، وتتعلم كيفية حلها.
بالإضافة إلى ذلك ، يمكن دمج هذه المعادلات ، بحيث نحصل بعد ذلك على نظام المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى. سننظر أيضًا في مثل هذه الأنظمة ونتعلم كيفية حلها.
لماذا نفكر في الترتيب الأول فقط؟ لأنك تحتاج إلى البدء بواحد بسيط ، ووصف كل ما يتعلق بالتفاضلالمعادلات في مقال واحد هو ببساطة مستحيل.
المعادلات المتغيرة القابلة للفصل
ربما تكون هذه أبسط المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى. تتضمن هذه الأمثلة التي يمكن كتابتها على النحو التالي: y '=f (x)f (y). لحل هذه المعادلة ، نحتاج إلى صيغة لتمثيل المشتق كنسبة من التفاضل: y '=dy / dx. باستخدامه ، نحصل على المعادلة التالية: dy / dx=f (x)f (y). الآن يمكننا أن ننتقل إلى طريقة حل الأمثلة القياسية: سنقسم المتغيرات إلى أجزاء ، أي سننقل كل شيء بالمتغير y إلى الجزء الذي يوجد فيه dy ، وسنفعل الشيء نفسه مع المتغير x. نحصل على معادلة بالصيغة: dy / f (y)=f (x) dx ، والتي يتم حلها بأخذ تكاملات كلا الجزأين. لا تنسى الثابت الذي يجب ضبطه بعد أخذ التكامل.
حل أي "اختلاف" هو دالة لاعتماد x على y (في حالتنا) أو ، إذا كان هناك شرط رقمي ، فإن الإجابة تكون في شكل رقم. دعنا نحلل المسار الكامل للحل باستخدام مثال محدد:
y '=2ysin (x)
نقل المتغيرات في اتجاهات مختلفة:
dy / y=2sin (x) dx
الآن نأخذ التكاملات. يمكن العثور عليها جميعًا في جدول خاص للتكاملات. ونحصل على:
ln (y)=-2cos (x) + C
إذا لزم الأمر ، يمكننا التعبير عن "y" كدالة لـ "x". يمكننا الآن القول إن معادلتنا التفاضلية قد تم حلها إذا لم يتم إعطاء أي شرط. يمكن إعطاء شرط ، على سبيل المثال ، y (n / 2)=e. ثم نعوض بقيمة هذه المتغيرات في الحل وأوجد قيمة الثابت. في مثالنا ، تساوي 1.
المعادلات التفاضلية المتجانسة من الدرجة الأولى
الآن إلى الجزء الأكثر صعوبة. يمكن كتابة المعادلات التفاضلية المتجانسة من الدرجة الأولى بشكل عام على النحو التالي: y '=z (x، y). وتجدر الإشارة إلى أن الوظيفة الصحيحة لمتغيرين متجانسة ، ولا يمكن تقسيمها إلى تبعيتين: z على x و z على y. التحقق مما إذا كانت المعادلة متجانسة أم لا أمر بسيط للغاية: نجعل الاستبدال x=kx و y=ky. الآن نقوم بإلغاء كل k. إذا تم تقليل كل هذه الأحرف ، فستكون المعادلة متجانسة ويمكنك المتابعة بأمان لحلها. بالنظر إلى المستقبل ، دعنا نقول: مبدأ حل هذه الأمثلة بسيط جدًا أيضًا.
نحتاج إلى إجراء استبدال: y=t (x)x ، حيث t هي دالة تعتمد أيضًا على x. ثم يمكننا التعبير عن المشتق: y '=t' (x)x + t. بالتعويض بكل هذا في المعادلة الأصلية وتبسيطها ، نحصل على مثال بمتغيرين منفصلين t و x. نحلها ونحصل على الاعتماد t (x). عندما حصلنا عليها ، نعوض ببساطة بـ y=t (x)x في البديل السابق. ثم نحصل على اعتماد y على x
لتوضيح الأمر ، دعنا نلقي نظرة على مثال: xy '=y-xey / x.
عند التحقق من الاستبدال ، يتم تقليل كل شيء. لذا فإن المعادلة متجانسة حقًا. الآن نجري تعويضًا آخر تحدثنا عنه: y=t (x)x and y '=t' (x)x + t (x). بعد التبسيط ، نحصل على المعادلة التالية: t '(x)x=-et. نحل المثال الناتج بمتغيرات منفصلة ونحصل على: e-t=ln (Cx). نحتاج فقط إلى استبدال t بـ y / x (بعد كل شيء ، إذا كانت y=tx ، ثم t=y / x) ، ونحصل علىالإجابة: e-y / x=ln (xC).
المعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى
حان الوقت لموضوع كبير آخر. سنقوم بتحليل المعادلات التفاضلية غير المتجانسة من الدرجة الأولى. كيف تختلف عن السابقتين؟ دعونا نفهم ذلك. يمكن كتابة المعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى بشكل عام على النحو التالي: y '+ g (x)y=z (x). يجدر توضيح أن z (x) و g (x) يمكن أن يكونا ثوابت.
والآن مثال: y '- yx=x2.
هناك طريقتان لحلها وسنتعامل معهما بالترتيب. الأول هو طريقة اختلاف الثوابت التعسفية.
من أجل حل المعادلة بهذه الطريقة ، يجب أولاً مساواة الجانب الأيمن بالصفر وحل المعادلة الناتجة ، والتي بعد تحريك الأجزاء ستأخذ الشكل:
y '=yx ؛
dy / dx=yx ؛
dy / y=xdx ؛
ln | y |=x2/ 2 + C ؛
y=ex2 / 2 yC=C1 ex2 / 2.
الآن نحن بحاجة إلى استبدال الثابت C1بالدالة v (x) التي يجب أن نجدها.
y=vex2 / 2.
لنغير المشتق:
y '=v'ex2 / 2-xvex2 / 2.
واستبدل هذه التعبيرات في المعادلة الأصلية:
v ' ex2 / 2- xvex2 / 2+ xvex2 / 2=x2.
يمكنك أن ترى إلغاء المصطلحين على الجانب الأيسر. إذا لم يحدث هذا في بعض الأمثلة ، فهذا يعني أنك فعلت شيئًا خاطئًا.تابع:
v ' ex2 / 2=x2.
الآن نحل المعادلة المعتادة التي نحتاج فيها إلى فصل المتغيرات:
dv / dx=x2/ ex2 / 2؛
dv=x2 e-x2 / 2dx.
لاستخراج التكامل ، علينا تطبيق التكامل بالأجزاء هنا. ومع ذلك ، هذا ليس موضوع مقالتنا. إذا كنت مهتمًا ، فيمكنك تعلم كيفية القيام بهذه الإجراءات بنفسك. الأمر ليس صعبًا ، وبالمهارة الكافية والاهتمام لا يستغرق الكثير من الوقت.
دعنا ننتقل إلى الطريقة الثانية لحل المعادلات غير المتجانسة: طريقة برنولي. أي نهج أسرع وأسهل متروك لك
لذا ، عند حل المعادلة بهذه الطريقة ، نحتاج إلى إجراء بديل: y=kn. هنا k و n بعض الدوال التي تعتمد على x. ثم سيبدو المشتق كما يلي: y '=k'n + kn '. استبدل كلا الاستبداليين في المعادلة:
k ' n + kn' + xkn=x2.
المجموعة:
k ' n + k(n' + xn)=x2.
الآن علينا أن نساوي الصفر بين الأقواس. الآن ، إذا جمعت المعادلتين الناتجتين ، فستحصل على نظام من المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى التي تحتاج إلى حلها:
n '+ xn=0 ؛
k ' n=x2.
يتم حل المساواة الأولى مثل المعادلة العادية. للقيام بذلك ، تحتاج إلى فصل المتغيرات:
dn / dx=xv ؛
dn / n=xdx.
خذ التكامل واحصل على: ln (n)=x2/ 2. ثم ، إذا عبرنا عن n:
n=ex2 / 2.
الآن نستبدل المساواة الناتجة في المعادلة الثانية للنظام:
k ' ex2 / 2=x2.
والتحويل ، نحصل على نفس المساواة كما في الطريقة الأولى:
dk=x2/ ex2 / 2.
لن نخوض في خطوات أخرى أيضًا. تجدر الإشارة إلى أن حل المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى يسبب صعوبات كبيرة في البداية. ومع ذلك ، كلما تعمقت في التعمق في الموضوع ، يبدأ في التحسن.
أين تستخدم المعادلات التفاضلية؟
تُستخدم المعادلات التفاضلية بنشاط كبير في الفيزياء ، نظرًا لأن جميع القوانين الأساسية تقريبًا مكتوبة في شكل تفاضلي ، والصيغ التي نراها هي حل هذه المعادلات. في الكيمياء ، يتم استخدامها للسبب نفسه: القوانين الأساسية مشتقة منها. في علم الأحياء ، تُستخدم المعادلات التفاضلية لنمذجة سلوك الأنظمة ، مثل الفريسة المفترسة. يمكن استخدامها أيضًا لإنشاء نماذج تكاثر ، على سبيل المثال ، مستعمرة من الكائنات الحية الدقيقة.
كيف ستساعد المعادلات التفاضلية في الحياة؟
الجواب على هذا السؤال بسيط: مستحيل. إذا لم تكن عالمًا أو مهندسًا ، فمن غير المرجح أن تكون مفيدة لك. ومع ذلك ، بالنسبة للتطوير العام ، لا يضر معرفة ماهية المعادلة التفاضلية وكيفية حلها. ثم سؤال الابن أو الابنة ما هي المعادلة التفاضلية؟ لن يربكك. حسنًا ، إذا كنت عالمًا أو مهندسًا ، فأنت نفسك تدرك أهمية هذا الموضوع في أي علم. لكن الشيء الأكثر أهمية هو أن السؤال الآن "كيف نحل معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى؟" يمكنك دائما الإجابة. موافق ، إنه لطيف دائمًاعندما تفهم ما يخشى الناس حتى فهمه
مشاكل التعلم الرئيسية
المشكلة الرئيسية في فهم هذا الموضوع هي ضعف مهارة دمج الوظائف وتمييزها. إذا كنت سيئًا في أخذ المشتقات والتكاملات ، فمن المحتمل أن تتعلم المزيد ، وتتقن طرقًا مختلفة للتكامل والتفاضل ، وعندها فقط تبدأ في دراسة المادة التي تم وصفها في المقالة.
يتفاجأ بعض الأشخاص عندما يكتشفون أنه يمكن نقل dx ، لأنه في وقت سابق (في المدرسة) ذكر أن الكسر dy / dx غير قابل للتجزئة. هنا تحتاج إلى قراءة الأدبيات حول المشتق وفهم أن نسبة الكميات اللامتناهية في الصغر هي التي يمكن معالجتها عند حل المعادلات.
لا يدرك الكثيرون على الفور أن حل المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى غالبًا ما يكون دالة أو جزء لا يتجزأ لا يمكن أخذه ، وهذا الوهم يسبب لهم الكثير من المتاعب.
ما الأشياء الأخرى التي يمكن دراستها من أجل فهم أفضل؟
من الأفضل أن تبدأ الانغماس في عالم التفاضل التفاضلي باستخدام كتب مدرسية متخصصة ، على سبيل المثال ، في حساب التفاضل والتكامل للطلاب من التخصصات غير الرياضية. ثم يمكنك الانتقال إلى المزيد من الأدبيات المتخصصة.
يجب أن يقال أنه بالإضافة إلى المعادلات التفاضلية ، هناك أيضًا معادلات متكاملة ، لذلك سيكون لديك دائمًا ما تسعى إليه وشيء ما للدراسة.
الخلاصة
نتمنى ان يكون بعد القراءةأعطتك هذه المقالة فكرة عن ماهية المعادلات التفاضلية وكيفية حلها بشكل صحيح.
على أي حال ، ستكون الرياضيات مفيدة لنا بطريقة ما في الحياة. يطور المنطق والانتباه ، وبدونه يكون كل إنسان مثل بلا يد
