مفارقة برتراند هي مشكلة في التفسير الكلاسيكي لنظرية الاحتمالات. قدمها جوزيف في عمله Calcul des probabilités (1889) كمثال على أن الاحتمالات لا يمكن تحديدها جيدًا إذا كانت آلية أو طريقة تنتج متغيرًا عشوائيًا.
بيان المشكلة
مفارقة برتراند كالتالي
أولاً ، ضع في اعتبارك مثلث متساوي الأضلاع محاط بدائرة. في هذه الحالة ، يتم اختيار القطر بشكل عشوائي. ما هو احتمال أن يكون أطول من ضلع المثلث؟
قدم برتراند ثلاث حجج ، وكلها تبدو صحيحة ، لكنها تعطي نتائج مختلفة.
طريقة نقطة النهاية العشوائية
تحتاج إلى تحديد مكانين على الدائرة ورسم قوس يربط بينهما. للحساب ، تم أخذ مفارقة احتمالية برتراند بعين الاعتبار. من الضروري أن نتخيل أن المثلث مستدير بحيث يتطابق رأسه مع إحدى نقاط نهاية الوتر. يستحق الدفعلاحظ أنه إذا كان الجزء الآخر على قوس بين مكانين ، فإن الدائرة أطول من ضلع المثلث. طول القوس هو ثلث الدائرة ، لذا فإن احتمال أن يكون الوتر العشوائي أطول هو 1 / 3.
طريقة التحديد
من الضروري تحديد نصف قطر الدائرة ونقطة عليها. بعد ذلك ، تحتاج إلى بناء وتر من خلال هذا المكان ، عموديًا على القطر. لحساب التناقض المدروس لبرتراند في نظرية الاحتمالات ، يجب على المرء أن يتخيل أن المثلث مستدير بحيث يكون الجانب عموديًا على نصف القطر. يكون الوتر أطول من الساق إذا كانت النقطة المحددة أقرب إلى مركز الدائرة. وفي هذه الحالة ، يقسم ضلع المثلث نصف القطر إلى نصفين. لذلك ، فإن احتمال أن يكون الوتر أطول من جانب الشكل المدرج هو 1 / 2.
الحبال العشوائية
طريقة نقطة المنتصف. من الضروري اختيار مكان في الدائرة وإنشاء وتر مع وسط معين. المحور أطول من حافة المثلث المحيط ، إذا كان الموقع المحدد داخل دائرة متحدة المركز نصف قطرها 1/2. مساحة الدائرة الأصغر تساوي ربع الشكل الأكبر. لذلك ، فإن احتمال وجود وتر عشوائي أطول من جانب المثلث المحفور ويساوي 1/4.
كما هو موضح أعلاه ، تختلف طرق الاختيار في الوزن الذي تعطيه لأوتار معينة ، وهي أقطار. في الطريقة 1 ، يمكن اختيار كل وتر بطريقة واحدة بالضبط ، سواء كان قطرًا أم لا.
في الطريقة 2 ، يمكن تحديد كل خط مستقيم بطريقتين. في حين سيتم اختيار أي وتر آخرواحد فقط من الاحتمالات.
في الطريقة 3 ، يحتوي كل تحديد نقطة وسط على معلمة واحدة. باستثناء مركز الدائرة ، وهو نقطة المنتصف لجميع الأقطار. يمكن تجنب هذه المشاكل عن طريق "ترتيب" جميع الأسئلة لاستبعاد المعلمات دون التأثير على الاحتمالات الناتجة.
يمكن أيضًا تصور طرق التحديد على النحو التالي. يتم تحديد الوتر الذي ليس بقطر بشكل فريد من خلال نقطة المنتصف. تنتج كل طريقة من طرق الاختيار الثلاثة المذكورة أعلاه توزيعًا مختلفًا للوسط. ويقدم الخياران 1 و 2 قسمين مختلفين غير منتظمين ، بينما تعطي الطريقة 3 توزيعًا موحدًا.
تعتمد المفارقة الكلاسيكية لحل مشكلة برتراند على الطريقة التي يتم بها اختيار الكورد "عشوائياً". اتضح أنه إذا تم تحديد طريقة الاختيار العشوائي مسبقًا ، فإن المشكلة لها حل محدد جيدًا. هذا لأن كل طريقة فردية لها توزيعها الخاص للأوتار. تتوافق الأحكام الثلاثة التي أظهرها برتراند مع أنماط مختلفة للاختيار ، وفي غياب مزيد من المعلومات ، لا يوجد سبب لتفضيل أحدها على الآخر. وعليه فإن المشكلة المذكورة ليس لها حل واحد.
مثال على كيفية جعل إجابة عامة فريدة من نوعها هو تحديد أن نقاط نهاية الوتر متباعدة بالتساوي بين 0 و c ، حيث c هو محيط الدائرة. هذا التوزيع هو نفسه كما في الوسيطة الأولى لبرتراند والاحتمال الفريد الناتج سيكون 1 / 3.
هذه مفارقة برتراند راسل وتفردات أخرى كلاسيكيةتفسيرات الاحتمالية تبرر صيغ أكثر صرامة. بما في ذلك تردد الاحتمال ونظرية بايز الذاتية.
ما الذي يكمن وراء مفارقة برتراند
في مقالته عام 1973 بعنوان "المشكلة المطروحة بشكل جيد" ، قدم إدوين جاينز حلاً فريدًا من نوعه. وأشار إلى أن مفارقة برتراند تقوم على فرضية تقوم على مبدأ "أقصى قدر من الجهل". هذا يعني أنه لا يجب عليك استخدام أي معلومات لم يتم توفيرها في بيان المشكلة. وأشار جاينز إلى أن مشكلة برتراند لا تحدد موضع الدائرة أو حجمها. وجادل بأن أي قرار محدد وموضوعي يجب أن يكون "غير مبال" بالحجم والموقف.
لأغراض التوضيح
بافتراض أن جميع الأوتار موضوعة بشكل عشوائي على دائرة 2 سم ، فأنت الآن بحاجة إلى رمي القش عليها من بعيد.
ثم عليك أن تأخذ دائرة أخرى بقطر أصغر (على سبيل المثال ، 1 سم) ، والتي تتناسب مع شكل أكبر. ثم يجب أن يكون توزيع الأوتار على هذه الدائرة الصغيرة هو نفسه على الحد الأقصى. إذا تحرك الشكل الثاني أيضًا داخل الأول ، فإن الاحتمال ، من حيث المبدأ ، لا ينبغي أن يتغير. من السهل جدًا ملاحظة أنه بالنسبة للطريقة الثالثة ، سيحدث التغيير التالي: سيكون توزيع الحبال على الدائرة الحمراء الصغيرة مختلفًا نوعياً عن التوزيع على الدائرة الكبيرة.
يحدث الشيء نفسه بالنسبة للطريقة الأولى. بالرغم من صعوبة رؤيته في العرض الرسومي.
الطريقة 2 هي الوحيدةوالتي تبين أنها مقياس وترجمة ثابتة.
الطريقة رقم 3 يبدو أنها قابلة للتوسيع.
الطريقة 1 ليست كذلك.
ومع ذلك ، لم تستخدم جينس الثوابت بسهولة لقبول هذه الطرق أو رفضها. هذا من شأنه أن يترك احتمال وجود طريقة أخرى غير موصوفة تناسب جوانبها ذات المعنى المعقول. طبق جاينز معادلات تكاملية تصف الثوابت. لتحديد توزيع الاحتمالات مباشرة. في مشكلته ، المعادلات المتكاملة لها بالفعل حل فريد ، وهذا بالضبط ما كان يسمى طريقة نصف القطر العشوائي الثانية أعلاه.
في ورقة بحثية عام 2015 ، يجادل ألون دروري بأن مبدأ جاينز يمكن أن يسفر أيضًا عن حلين آخرين من برتراند. يؤكد المؤلف أن التنفيذ الرياضي لخصائص الثبات المذكورة أعلاه ليس فريدًا ، ولكنه يعتمد على إجراء الاختيار العشوائي الأساسي الذي يقرر الشخص استخدامه. ويوضح أنه يمكن الحصول على كل حل من حلول برتراند الثلاثة باستخدام ثبات التناوب والقياس والترجمة. في الوقت نفسه ، استنتاج أن مبدأ جاينز يخضع للتفسير تمامًا مثل وضع اللامبالاة نفسه.
تجارب فيزيائية
الطريقة 2 هي الحل الوحيد الذي يلبي ثوابت التحويل الموجودة في مفاهيم فسيولوجية محددة مثل الميكانيكا الإحصائية وبنية الغاز. أيضا في المقترحتجربة جينس لرمي القش من دائرة صغيرة
ومع ذلك ، يمكن تصميم تجارب عملية أخرى تقدم إجابات وفقًا للطرق الأخرى. على سبيل المثال ، للوصول إلى حل لطريقة نقطة النهاية العشوائية الأولى ، يمكنك إرفاق عداد بمركز المنطقة. ودع نتائج دورتين مستقلتين تبرز المواضع النهائية للوتر. للوصول إلى حل للطريقة الثالثة ، يمكن للمرء تغطية الدائرة بدبس السكر ، على سبيل المثال ، ووضع علامة على النقطة الأولى التي تهبط فيها الذبابة على أنها الوتر الأوسط. أنشأ العديد من المتأملين دراسات لاستخلاص استنتاجات مختلفة وأكدوا النتائج تجريبياً.
آخر الأحداث
في مقالته عام 2007 بعنوان "مفارقة برتراند ومبدأ اللامبالاة" ، يجادل نيكولاس شاكل بأنه بعد أكثر من قرن من الزمان ، لا تزال المشكلة دون حل. تمضي في دحض مبدأ اللامبالاة. علاوة على ذلك ، في بحثه لعام 2013 ، "إعادة النظر في مفارقة برتراند راسل: لماذا كل الحلول ليست عملية" ، يوضح داريل ر. روبوتوم أن جميع الأحكام المقترحة لا علاقة لها بسؤاله. لذلك اتضح أن حل التناقض سيكون أكثر صعوبة مما كان يُعتقد سابقًا.
يؤكد شاكل أنه حتى الآن العديد من العلماء والأشخاص البعيدين عن العلم حاولوا حل مفارقة برتراند. لا يزال يتم التغلب عليه بمساعدة طريقتين مختلفتين.
تلك التي تم فيها النظر في الفرق بين المشاكل غير المتكافئة ، وتلك التي اعتبرت فيها المشكلة دائمًا صحيحة. يقتبس شاكل عن لويس في كتبهمارينوف (كدافع نموذجي لاستراتيجية التمايز) وإدوين جاينز (كمؤلف لنظرية مدروسة جيدًا).
ومع ذلك ، في عملهم الأخير حل مشكلة معقدة ، يعتقد Diederik Aerts و Massimiliano Sassoli de Bianchi أنه من أجل حل مفارقة برتراند ، يجب البحث عن المقدمات في إستراتيجية مختلطة. وفقًا لهؤلاء المؤلفين ، تتمثل الخطوة الأولى في حل المشكلة من خلال توضيح طبيعة الكيان الذي يتم اختياره بشكل عشوائي. وفقط بعد القيام بذلك ، يمكن اعتبار أي مشكلة صحيحة. هذا ما تعتقده جينس.
لذا يمكن استخدام مبدأ الجهل الأقصى لحلها. تحقيقا لهذه الغاية ، وبما أن المشكلة لا تحدد كيفية اختيار الوتر ، فإن المبدأ لا يتم تطبيقه على مستوى الاحتمالات المختلفة ، ولكن على مستوى أعمق بكثير.
اختيار الأجزاء
يتطلب هذا الجزء من المشكلة حساب المتوسط الفوقي لجميع الطرق الممكنة ، والتي يسميها المؤلفون المتوسط العام. للتعامل مع هذا ، يستخدمون طريقة التقدير. مستوحى من ما يتم عمله لتحديد قانون الاحتمالات في عمليات وينر. تتوافق نتيجتهم مع النتيجة الطبيعية العددية لـ Jaynes ، على الرغم من اختلاف مشكلتهم المطروحة جيدًا عن مشكلة المؤلف الأصلي.
في الاقتصاد والتجارة ، تصف مفارقة برتراند ، التي سميت على اسم مبتكرها جوزيف برتراند ، موقفًا يصل فيه لاعبان (شركتان) إلى توازن ناش. عندما تحدد كلتا الشركتين سعرًا مساويًا للتكلفة الحدية(MS)
مفارقة برتراند مبنية على فرضية. يكمن في حقيقة أنه في نماذج مثل منافسة Cournot ، ترتبط الزيادة في عدد الشركات بتقارب الأسعار مع التكاليف الهامشية. في هذه النماذج البديلة ، تكمن مفارقة برتراند في احتكار القلة لعدد صغير من الشركات التي تحقق أرباحًا إيجابية من خلال فرض أسعار أعلى من التكلفة.
بادئ ذي بدء ، يجدر افتراض أن شركتين A و B تبيعان منتجًا متجانسًا ، ولكل منهما نفس تكلفة الإنتاج والتوزيع. ويترتب على ذلك أن المشترين يختارون المنتج على أساس السعر فقط. هذا يعني أن الطلب مرن للغاية للسعر. لن يحدد أي من "أ" ولا "ب" سعراً أعلى من الآخرين ، لأن ذلك سيؤدي إلى انهيار مفارقة برتراند برمتها. سوف يسلم أحد المشاركين في السوق لمنافسه. إذا حددوا نفس السعر ، ستشارك الشركات في الأرباح.
من ناحية أخرى ، إذا خفضت أي شركة سعرها بشكل طفيف ، فستحصل على السوق بالكامل وعائد أعلى بشكل ملحوظ. نظرًا لأن (أ) و (ب) يعرفون ذلك ، فسيحاول كل منهما تقويض المنافس حتى يتم بيع المنتج بدون ربح اقتصادي.
أظهر العمل الأخير أنه قد يكون هناك توازن إضافي في مفارقة إستراتيجية برتراند المختلطة ، مع أرباح اقتصادية إيجابية ، بشرط أن يكون مبلغ الاحتكار غير محدود. بالنسبة لحالة الربح النهائي ، فقد تبين أن الزيادة الإيجابية في ظل المنافسة السعرية مستحيلة في التوازن المختلط وحتى في الحالة العامةالأنظمة المترابطة.
في الواقع ، نادرًا ما تُرى مفارقة برتراند في الاقتصاد في الممارسة العملية ، لأن المنتجات الحقيقية غالبًا ما تكون متمايزة بطريقة أخرى غير السعر (على سبيل المثال ، دفع مبالغ زائدة للحصول على ملصق). الشركات لديها قيود على قدرتها على الإنتاج والتوزيع. لهذا السبب نادرًا ما يكون لشركتين نفس التكاليف.
نتيجة برتراند متناقضة لأنه إذا زاد عدد الشركات من واحدة إلى اثنتين ، ينخفض السعر من الاحتكار إلى المنافسة ويظل عند نفس مستوى عدد الشركات التي تزداد بعد ذلك. هذا ليس واقعيًا للغاية ، لأنه في الواقع ، تميل الأسواق التي بها عدد قليل من الشركات ذات القوة السوقية إلى فرض أسعار أعلى من التكلفة الحدية. يُظهر التحليل التجريبي أن معظم الصناعات التي يوجد بها متنافسان تحقق أرباحًا إيجابية.
في العالم الحديث ، يحاول العلماء إيجاد حلول للمفارقة تكون أكثر اتساقًا مع نموذج Cournot للمنافسة. عندما تحقق شركتان في السوق أرباحًا إيجابية تقع في مكان ما بين مستويات المنافسة الكاملة والاحتكار.
بعض الأسباب التي تجعل مفارقة برتراند غير مرتبطة مباشرة بالاقتصاد:
- حدود السعة. في بعض الأحيان لا تمتلك الشركات القدرة الكافية لتلبية كل الطلب. أثار فرانسيس إيدجوورث هذه النقطة لأول مرة وأدت إلى ظهور نموذج برتراند إيدجوورث.
- أسعار عدد صحيح. تُستثنى الأسعار فوق MC لأن إحدى الشركات يمكن أن تقوض شركة أخرى بشكل عشوائي.كمية قليلة. إذا كانت الأسعار منفصلة (على سبيل المثال ، يجب أن تأخذ قيمًا صحيحة) ، فيجب على شركة واحدة أن تقوض الأخرى بروبل واحد على الأقل. هذا يعني أن قيمة العملة الصغيرة أعلى من MC. إذا حددت شركة أخرى سعرها أعلى ، يمكن لشركة أخرى خفضه والاستيلاء على السوق بالكامل ، ومفارقة برتراند تكمن في هذا تحديدًا. لن يجلب لها أي ربح. ستفضل هذه الشركة مشاركة المبيعات بنسبة 50/50 مع شركة أخرى والحصول على إيرادات إيجابية بحتة.
- تمايز المنتج. إذا كانت منتجات الشركات المختلفة تختلف عن بعضها البعض ، فقد لا يتحول المستهلكون تمامًا إلى المنتجات ذات السعر المنخفض.
- المنافسة الديناميكية. يمكن أن يؤدي التفاعل المتكرر أو المنافسة السعرية المتكررة إلى توازن في القيمة.
- المزيد من العناصر مقابل مبلغ أعلى. هذا يتبع من التفاعل المتكرر. إذا حددت إحدى الشركات سعرها أعلى قليلاً ، فستظل تحصل على نفس عدد المشتريات تقريبًا ، ولكن ربحًا أكبر لكل عنصر. لذلك ، ستزيد الشركة الأخرى من ترميزها ، وما إلى ذلك (فقط في الإعادة ، وإلا فإن الديناميكيات تسير في الاتجاه الآخر).
احتكار القلة
إذا تمكنت شركتان من الاتفاق على سعر ما ، فمن مصلحتهما على المدى الطويل الحفاظ على الاتفاقية: تقل إيرادات خفض القيمة عن ضعف الإيرادات من الامتثال للاتفاقية وتستمر فقط حتى تقوم الشركة الأخرى بتخفيضها الاسعار الخاصة.
نظريةالاحتمالات (مثل باقي الرياضيات) هي في الواقع اختراع حديث. والتنمية لم تكن سلسة. تم إجراء المحاولات الأولى لإضفاء الطابع الرسمي على حساب التفاضل والتكامل من قبل ماركيز دي لابلاس ، الذي اقترح تعريف المفهوم على أنه نسبة عدد الأحداث التي تؤدي إلى نتيجة.
هذا ، بالطبع ، يكون منطقيًا فقط إذا كان عدد جميع الأحداث الممكنة محدودًا. وإلى جانب ذلك ، فإن جميع الأحداث متساوية في الاحتمال.
وهكذا ، في ذلك الوقت ، بدا أن هذه المفاهيم ليس لها أساس متين. أدت محاولات توسيع التعريف ليشمل حالة عدد لا حصر له من الأحداث إلى صعوبات أكبر. مفارقة برتراند هي واحدة من هذه الاكتشافات التي جعلت علماء الرياضيات حذرين من المفهوم الكامل للاحتمال.
