الحجم هو سمة لأي شكل له أبعاد غير صفرية في جميع أبعاد الفضاء الثلاثة. في هذه المقالة ، من وجهة نظر القياس الفراغي (هندسة الأشكال المكانية) ، سننظر في المنشور ونبين كيفية العثور على أحجام المناشير بأنواعها المختلفة.
ما هو المنشور؟
القياس المجسم لديه الإجابة الدقيقة على هذا السؤال. يُفهم المنشور الموجود فيه على أنه شكل يتكون من وجهين متطابقين ومتوازي الأضلاع. الصورة أدناه توضح أربعة مناشير مختلفة.
يمكن الحصول على كل منها على النحو التالي: تحتاج إلى أخذ مضلع (مثلث ، رباعي الأضلاع ، وما إلى ذلك) وقطعة بطول معين. ثم يجب نقل كل رأس للمضلع باستخدام مقاطع متوازية إلى مستوى آخر. في المستوى الجديد ، الذي سيكون موازيًا للمستوى الأصلي ، سيتم الحصول على مضلع جديد ، مشابه للمضلع الذي تم اختياره في البداية.
يمكن أن تكون المنشورات من أنواع مختلفة. لذلك ، يمكن أن تكون مستقيمة ومائلة وصحيحة. إذا كانت الحافة الجانبية للمنشور (قطعة ،ربط رؤوس القواعد) عموديًا على قواعد الشكل ، ثم الأخير عبارة عن خط مستقيم. وفقًا لذلك ، إذا لم يتم استيفاء هذا الشرط ، فإننا نتحدث عن منشور مائل. الشكل العادي هو منشور صحيح ذو قاعدة متساوية الزوايا ومتساوية الأضلاع
لاحقًا في المقالة سنعرض كيفية حساب حجم كل نوع من هذه الأنواع من المنشورات.
حجم المنشور العادي
لنبدأ بأبسط حالة. نعطي صيغة حجم المنشور العادي ذي القاعدة n-gonal. صيغة الحجم V لأي رقم من الفئة قيد الدراسة هي كما يلي:
V=So h.
أي لتحديد الحجم ، يكفي حساب مساحة إحدى القواعد Soوضربها في الارتفاع h من الشكل.
في حالة المنشور العادي ، دعنا نشير إلى طول ضلع قاعدته بالحرف a ، والارتفاع ، الذي يساوي طول الحافة الجانبية ، بالحرف h. إذا كانت قاعدة n-gon صحيحة ، فإن أسهل طريقة لحساب مساحتها هي استخدام الصيغة العامة التالية:
S=n / 4a2 ctg (pi / n).
استبدال قيمة عدد الأضلاع n وطول جانب واحد a في المساواة ، يمكنك حساب مساحة القاعدة n-gonal. لاحظ أن دالة ظل التمام هنا محسوبة للزاوية pi / n ، والتي يتم التعبير عنها بالراديان.
نظرًا للمساواة المكتوبة لـ S، نحصل على الصيغة النهائية لحجم المنشور العادي:
V=n / 4a2 hctg (pi / n).
لكل حالة محددة ، يمكنك كتابة الصيغ المقابلة لـ V ، لكنها جميعًايتبع بشكل فريد من التعبير العام المكتوب. على سبيل المثال ، بالنسبة للمنشور الرباعي الزوايا العادي ، والذي يكون في الحالة العامة متوازي خط مستطيل ، نحصل على:
V4=4/4a2 hctg (pi / 4)=a2 ح.
إذا أخذنا h=a في هذا التعبير ، فسنحصل على صيغة حجم المكعب.
حجم المنشور المباشر
نلاحظ على الفور أنه بالنسبة للأرقام المستقيمة ، لا توجد صيغة عامة لحساب الحجم ، والتي تم تقديمها أعلاه للمنشورات العادية. عند البحث عن القيمة المعنية ، يجب استخدام التعبير الأصلي:
V=So h.
هنا h هو طول الحافة الجانبية ، كما في الحالة السابقة. بالنسبة لمنطقة الأساس So، يمكن أن تأخذ مجموعة متنوعة من القيم. يتم تقليل مهمة حساب المنشور المستقيم للحجم لإيجاد مساحة قاعدته.
يجب أن يتم حساب قيمة Soبناءً على خصائص القاعدة نفسها. على سبيل المثال ، إذا كان مثلثًا ، فيمكن حساب المنطقة على النحو التالي:
So3=1/2aha.
هنا haهو حاضنة المثلث ، أي ارتفاعه انخفض إلى القاعدة أ.
إذا كانت القاعدة رباعية ، فيمكن أن تكون شبه منحرف أو متوازي أضلاع أو مستطيل أو نوعًا عشوائيًا تمامًا. لجميع هذه الحالات ، يجب عليك استخدام صيغة قياس المخطط المناسبة لتحديد المنطقة. على سبيل المثال ، بالنسبة لشبه المنحرف ، تبدو هذه الصيغة كما يلي:
So4=1/2(a1+ a2)ha.
حيث haهو ارتفاع شبه المنحرف ، و1و2هي الأطوال من أضلاعه المتوازية
لتحديد مساحة المضلعات ذات الترتيب الأعلى ، يجب تقسيمها إلى أشكال بسيطة (مثلثات ، رباعي الزوايا) وحساب مجموع مساحات الأخيرة.
حجم المنشور المائل
هذه أصعب حالة لحساب حجم المنشور. تنطبق الصيغة العامة لهذه الأرقام أيضًا:
V=So h.
ومع ذلك ، نظرًا لتعقيد العثور على مساحة القاعدة التي تمثل نوعًا عشوائيًا من المضلع ، تتم إضافة مشكلة تحديد ارتفاع الشكل. دائمًا ما يكون أقل من طول الحافة الجانبية في منشور مائل.
أسهل طريقة لإيجاد هذا الارتفاع هي معرفة أي زاوية للشكل (مسطح أو ثنائي السطوح). إذا أعطيت مثل هذه الزاوية ، فيجب على المرء أن يستخدمها لبناء مثلث قائم الزاوية داخل المنشور ، والذي سيحتوي على الارتفاع h كأحد الأضلاع ، وباستخدام الدوال المثلثية ونظرية فيثاغورس ، أوجد القيمة h.
مشكلة الحجم الهندسي
بمنشور منتظم بقاعدة مثلثة ارتفاعها 14 سم وطول ضلعها 5 سم ما هو حجم المنشور المثلث؟
بما أننا نتحدث عن الشكل الصحيح ، فلدينا الحق في استخدام الصيغة المعروفة. لدينا:
V3=3/4a2 hctg (pi / 3)=3/452 141 / √3=√3 / 42514=151.55 سم3.
المنشور الثلاثي هو شكل متماثل إلى حد ما ، حيث يتم صنع الهياكل المعمارية المختلفة في كثير من الأحيان. يستخدم هذا المنشور الزجاجي في البصريات.
