بالنسبة للعديد من الأشخاص ، التحليل الرياضي هو مجرد مجموعة من الأرقام غير المفهومة والأيقونات والتعريفات البعيدة عن الحياة الواقعية. ومع ذلك ، فإن العالم الذي نعيش فيه مبني على أنماط عددية ، والتي يساعد تحديدها ليس فقط في التعرف على العالم من حولنا وحل مشاكله المعقدة ، ولكن أيضًا في تبسيط المهام العملية اليومية. ماذا يعني عالم الرياضيات عندما يقول أن متتالية رقمية تتقارب؟ يجب مناقشة هذا بمزيد من التفصيل.
ما هي اللامتناهية في الصغر؟
لنتخيل دمى ماتريوشكا التي تناسب إحداها داخل الأخرى. تشكل أحجامها ، المكتوبة في شكل أرقام ، بدءًا من الأكبر وتنتهي بأصغرها ، تسلسلًا. إذا تخيلت عددًا لا حصر له من هذه الأشكال الساطعة ، فسيكون الصف الناتج طويلًا بشكل مذهل. هذا هو تسلسل رقمي متقارب. وهي تميل إلى الصفر ، لأن حجم كل دمية تعشيش لاحقة ، تتناقص بشكل كارثي ، وتتحول تدريجياً إلى لا شيء. لذا فهو سهليمكن تفسيره: ما هو متناهي الصغر
مثال مشابه هو الطريق المؤدية إلى المسافة. والأبعاد المرئية للسيارة التي تبتعد عن المراقب على طولها ، تتقلص تدريجياً ، وتتحول إلى بقعة بلا شكل تشبه نقطة. وهكذا ، فإن الآلة ، مثل الجسم ، تتحرك بعيدًا في اتجاه غير معروف ، تصبح صغيرة جدًا. لن تكون معلمات الجسم المحدد صفرًا بالمعنى الحرفي للكلمة ، ولكنها تميل دائمًا إلى هذه القيمة في النهاية النهائية. لذلك ، هذا التسلسل يتقارب مرة أخرى إلى الصفر.
حساب كل شيء قطرة قطرة
دعونا نتخيل الآن وضعًا دنيويًا. وصف الطبيب للمريض أن يأخذ الدواء ابتداءً من عشر قطرات في اليوم ويضاف قطرتان في اليوم التالي. ولذلك اقترح الطبيب الاستمرار حتى تنفد محتويات قنينة الدواء التي يبلغ حجمها 190 قطرة. ويترتب على ما سبق أن عدد هؤلاء ، المجدول باليوم ، سيكون سلسلة الأرقام التالية: 10 ، 12 ، 14 وهكذا.
كيف تعرف الوقت لإكمال الدورة كاملة وعدد أعضاء التسلسل؟ هنا ، بالطبع ، يمكن للمرء أن يعدّ القطرات بطريقة بدائية. ولكن من الأسهل كثيرًا ، نظرًا للنمط ، استخدام صيغة مجموع التقدم الحسابي مع الخطوة d=2. وباستخدام هذه الطريقة ، اكتشف أن عدد أعضاء سلسلة الأرقام هو 10. في هذه الحالة ، a10=28. يشير رقم القضيب إلى عدد أيام تناول الدواء ، و 28 يتوافق مع عدد القطرات التي يجب على المريضاستخدم في اليوم الأخير. هل هذا التسلسل تتلاقى؟ لا ، لأنه على الرغم من أنه يقتصر على 10 من أسفل و 28 من أعلى ، فإن مثل هذه السلسلة الرقمية ليس لها حد ، على عكس الأمثلة السابقة.
ما الفرق؟
دعونا الآن نحاول التوضيح: عندما تتحول السلسلة الرقمية إلى تسلسل متقارب. إن تعريفًا من هذا النوع ، كما يمكن استنتاجه مما سبق ، يرتبط ارتباطًا مباشرًا بمفهوم الحد المحدود ، والذي يكشف وجوده عن جوهر القضية. إذن ما هو الاختلاف الأساسي بين الأمثلة المذكورة سابقًا؟ ولماذا في آخرهم ، لا يمكن اعتبار الرقم 28 حد السلسلة الرقمية X =10 + 2 (n-1)؟
لتوضيح هذا السؤال ، ضع في اعتبارك تسلسلًا آخر قدمته الصيغة أدناه ، حيث ينتمي n إلى مجموعة الأعداد الطبيعية.
مجتمع الأعضاء هذا عبارة عن مجموعة من الكسور المشتركة ، بسطها هو 1 ، والمقام يتزايد باستمرار: 1 ، ½…
علاوة على ذلك ، فإن كل ممثل متتالي لهذه السلسلة يقترب من الصفر أكثر فأكثر من حيث الموقع على خط الأعداد ، وهذا يعني أن مثل هذا الحي يظهر حيث تتجمع النقاط حول الصفر ، وهو الحد الأقصى. وكلما اقتربوا منه ، أصبح تركيزهم على خط الأعداد أكثر كثافة. وانخفضت المسافة بينهما بشكل كارثي ، وتحولت إلى مسافة متناهية الصغر. هذه علامة على أن التسلسل يتقارب.
مماثلوبالتالي ، فإن المستطيلات متعددة الألوان الموضحة في الشكل ، عند التحرك بعيدًا في الفضاء ، تكون أكثر ازدحامًا بصريًا ، في الحد الافتراضي يتحول إلى مهمل.
تسلسلات كبيرة بلا حدود
بعد تحليل تعريف التسلسل المتقارب ، دعنا ننتقل إلى الأمثلة المضادة. كثير منهم معروف للإنسان منذ العصور القديمة. أبسط المتغيرات للتسلسلات المتباينة هي سلسلة الأعداد الطبيعية والزوجية. يطلق عليهم اسم كبير بلا حدود بطريقة مختلفة ، لأن أعضائهم ، في تزايد مستمر ، يقتربون بشكل متزايد من اللانهاية الإيجابية.
مثال على ذلك يمكن أن يكون أيضًا أيًا من التدرجات الحسابية والهندسية ذات الخطوة والمقام ، على التوالي ، أكبر من الصفر. بالإضافة إلى ذلك ، تعتبر السلاسل الرقمية متواليات متباعدة ، والتي ليس لها حد على الإطلاق. على سبيل المثال ، X =(-2) -1
تسلسل فيبوناتشي
الفوائد العملية لسلسلة الأرقام المذكورة سابقًا للبشرية لا يمكن إنكارها. ولكن هناك عدد لا يحصى من الأمثلة الرائعة الأخرى. واحد منهم هو تسلسل فيبوناتشي. كل عضو من أعضائها ، والذي يبدأ بواحد ، هو مجموع الأعضاء السابقة. أول ممثلين له هما 1 و 1. الثالث 1 + 1=2 ، الرابع 1 + 2=3 ، الخامس 2 + 3=5. علاوة على ذلك ، وفقًا لنفس المنطق ، تتبع الأرقام 8 و 13 و 21 وما إلى ذلك.
هذه السلسلة من الأرقام تزداد إلى أجل غير مسمى ولا تحتوي علىالحد النهائي. لكن لها خاصية أخرى رائعة. إن نسبة كل رقم سابق إلى الرقم التالي تقترب أكثر فأكثر في قيمتها من 0.618. هنا يمكنك فهم الفرق بين التسلسل المتقارب والمتشعب ، لأنه إذا قمت بعمل سلسلة من التقسيمات الجزئية المستلمة ، فإن النظام العددي المشار إليه سوف لها حد محدود يساوي 0.618.
تسلسل نسب فيبوناتشي
تُستخدم سلسلة الأرقام الموضحة أعلاه على نطاق واسع لأغراض عملية للتحليل الفني للأسواق. لكن هذا لا يقتصر على قدراتها التي عرفها المصريون واليونانيون وتمكنوا من تطبيقها في العصور القديمة. ثبت ذلك من خلال الأهرامات التي بنوها والبارثينون. بعد كل شيء ، الرقم 0.618 هو معامل ثابت للقسم الذهبي ، معروف جيدًا في الأيام الخوالي. وفقًا لهذه القاعدة ، يمكن تقسيم أي مقطع تعسفي بحيث تتطابق النسبة بين أجزائه مع النسبة بين أكبر المقاطع والطول الإجمالي.
دعونا نبني سلسلة من العلاقات المشار إليها ونحاول تحليل هذا التسلسل. ستكون سلسلة الأرقام على النحو التالي: 1 ؛ 0.5 ؛ 0.67 ؛ 0.6 ؛ 0.625 ؛ 0.615 ؛ 0 ، 619 وما إلى ذلك. بالاستمرار في هذه الطريقة ، يمكننا التأكد من أن نهاية التسلسل المتقارب ستكون بالفعل 0.618. ومع ذلك ، من الضروري ملاحظة الخصائص الأخرى لهذا الانتظام. هنا يبدو أن الأرقام تسير بشكل عشوائي ، وليس بترتيب تصاعدي أو تنازلي على الإطلاق. هذا يعني أن هذا التسلسل المتقارب ليس رتيبًا. لماذا هذا سيتم مناقشته أكثر.
الرتابة والقيود
يمكن أن يتناقص أعضاء سلسلة الأرقام بوضوح مع زيادة العدد (إذا كان x1>x2>x3>… >x >…) أو زيادة (إذا كان x1<x2<x 3< … <x <…). في هذه الحالة ، يُقال أن التسلسل رتيب تمامًا. يمكن أيضًا ملاحظة الأنماط الأخرى ، حيث ستكون السلسلة العددية غير متناقصة وغير متزايدة (x1≧ x2≧ x3≧… ≧ x ≧… أو x1≦ x2≦ x3≦… ≦ x ≦…) ، إذن فإن التقارب المتتالي هو أيضًا رتيب ، وليس بالمعنى الدقيق للكلمة. خير مثال على أول هذه الخيارات هو سلسلة الأرقام الواردة بالصيغة التالية.
بعد رسم أرقام هذه السلسلة ، يمكنك أن ترى أن أيًا من أعضائها ، يقترب من 1 إلى أجل غير مسمى ، لن يتجاوز هذه القيمة أبدًا. في هذه الحالة ، يُقال أن التسلسل المتقارب محدود. يحدث هذا عندما يكون هناك رقم موجب M ، والذي يكون دائمًا أكبر من أي من شروط مقياس السلسلة. إذا كانت سلسلة الأرقام تحتوي على علامات رتابة ولها حدود ، وبالتالي تتقارب ، فمن الضروري أن تتمتع بمثل هذه الخاصية. والعكس لا يجب أن يكون صحيحًا. يتضح هذا من خلال نظرية الحدود للتسلسل المتقارب.
تطبيق مثل هذه الملاحظات عمليا مفيد جدا. دعنا نعطي مثالًا محددًا من خلال فحص خصائص التسلسل X =n / n + 1 ، وإثبات تقاربها. من السهل إظهار أنه رتيب ، لأن (x + 1- x ) هو رقم موجب لأي قيم n. حد التسلسل يساوي الرقم 1 ، مما يعني استيفاء جميع شروط النظرية أعلاه ، والتي تسمى أيضًا نظرية Weierstrass. تنص النظرية المتعلقة بحدود تسلسل متقارب على أنه إذا كان له حد ، فعندئذٍ على أي حال يتضح أنه مقيد. ومع ذلك ، لنأخذ المثال التالي. سلسلة الأرقام X =(-1) يحدها من الأسفل بـ -1 ومن فوق 1. لكن هذا التسلسل ليس رتيبًا ، وليس له تحد ، وبالتالي لا تتقارب. أي أن وجود الحدود والتقارب لا ينبع دائمًا من التقييد. لكي يعمل هذا ، يجب أن تتطابق الحدود الدنيا والعليا ، كما في حالة نسب فيبوناتشي.
أرقام وقوانين الكون
أبسط المتغيرات للتسلسل المتقارب والمتشعب ربما تكون السلسلة العددية X =n و X =1 / n. أولها سلسلة طبيعية من الأرقام. إنه ، كما ذكرنا سابقًا ، كبير بشكل لا نهائي. التسلسل المتقارب الثاني محدود ، وشروطه قريبة من متناهية الصغر في الحجم. تجسد كل من هذه الصيغ أحد جوانب الكون متعدد الأوجه ، مما يساعد الشخص على تخيل وحساب شيء غير معروف ، لا يمكن الوصول إليه من قبل الإدراك المحدود في لغة الأرقام والعلامات.
قوانين الكون ، التي تتراوح من ضئيل إلى كبير بشكل لا يصدق ، تعبر أيضًا عن النسبة الذهبية 0.618. العلماءيعتقدون أنها أساس جوهر الأشياء وتستخدمها الطبيعة لتشكيل أجزائها. إن العلاقات بين العضوين التاليين والسابقين من سلسلة فيبوناتشي ، والتي ذكرناها بالفعل ، لا تكمل عرض الخصائص المذهلة لهذه السلسلة الفريدة. إذا أخذنا في الاعتبار حاصل قسمة الحد السابق على المصطلح التالي على واحد ، فسنحصل على سلسلة من 0.5 ؛ 0.33 ؛ 0.4 ؛ 0.375 ؛ 0.384 ؛ 0.380 ؛ 0 ، 382 وما إلى ذلك. من المثير للاهتمام أن هذا التسلسل المحدود يتقارب ، فهو ليس رتيبًا ، لكن نسبة الأرقام المجاورة المتطرفة من عضو معين تساوي دائمًا تقريبًا 0.382 ، والتي يمكن استخدامها أيضًا في الهندسة المعمارية والتحليل الفني والصناعات الأخرى.
هناك معاملات أخرى مثيرة للاهتمام لسلسلة فيبوناتشي ، تلعب جميعها دورًا خاصًا في الطبيعة ، ويستخدمها الإنسان أيضًا لأغراض عملية. علماء الرياضيات على يقين من أن الكون يتطور وفقًا لـ "لولب ذهبي" معين ، يتكون من المعاملات المشار إليها. بمساعدتهم ، من الممكن حساب العديد من الظواهر التي تحدث على الأرض وفي الفضاء ، من النمو في عدد بعض البكتيريا إلى حركة المذنبات البعيدة. كما اتضح ، كود الحمض النووي يخضع لقوانين مماثلة.
تراجع التقدم الهندسي
هناك نظرية تؤكد تفرد حد التسلسل المتقارب. هذا يعني أنه لا يمكن أن يكون لها حدين أو أكثر ، وهو أمر مهم بلا شك لإيجاد خصائصه الرياضية.
دعونا نلقي نظرة على البعضحالات. أي سلسلة عددية تتكون من أعضاء في التقدم الحسابي تكون متشعبة ، باستثناء الحالة ذات الدرجة الصفرية. الأمر نفسه ينطبق على التقدم الهندسي ، الذي يكون المقام أكبر من 1. حدود هذه السلسلة العددية هي "زائد" أو "ناقص" اللانهاية. إذا كان المقام أقل من -1 ، فلا يوجد حد على الإطلاق. الخيارات الأخرى ممكنة.
ضع في اعتبارك سلسلة الأرقام التي تقدمها الصيغة X =(1/4) -1. للوهلة الأولى ، من السهل أن ترى أن هذا التسلسل المتقارب محدود لأنه يتناقص بشكل صارم ولا يمكنه بأي حال من الأحوال أخذ القيم السالبة.
دعونا نكتب عدد أعضائها على التوالي.
سيظهر: 1 ؛ 0.25 ؛ 0.0625 ؛ 0.015625 ؛ 0 ، 00390625 وهلم جرا. تكفي العمليات الحسابية البسيطة لفهم مدى سرعة تناقص هذا التقدم الهندسي من المقامات 0<q<1. بينما يزيد مقام المصطلحات إلى أجل غير مسمى ، فإنها تصبح هي نفسها متناهية الصغر. هذا يعني أن حد سلسلة الأرقام هو 0. يوضح هذا المثال مرة أخرى الطبيعة المحدودة للتسلسل المتقارب.
التسلسلات الأساسية
اكتشف العالم الفرنسي أوغستين لويس كوشي للعالم العديد من الأعمال المتعلقة بالتحليل الرياضي. قدم تعريفات لمفاهيم مثل التفاضلية والتكامل والحد والاستمرارية. كما درس الخصائص الأساسية للتتابعات المتقاربة. من أجل فهم جوهر أفكاره ،يجب تلخيص بعض التفاصيل المهمة.
في بداية المقال ، تبين أن هناك مثل هذه التسلسلات التي يوجد بها حي حيث تبدأ النقاط التي تمثل أعضاء سلسلة معينة على الخط الحقيقي في التجمع ، وتصطف أكثر وأكثر بكثافة. في الوقت نفسه ، تقل المسافة بينهما مع زيادة عدد الممثل التالي ، فتتحول إلى رقم صغير للغاية. وهكذا ، اتضح أنه في حي معين يتم تجميع عدد لا حصر له من ممثلي سلسلة معينة ، بينما يوجد خارجها عدد محدود منهم. تسمى هذه التسلسلات أساسية.
معيار كوشي الشهير ، الذي وضعه عالم رياضيات فرنسي ، يشير بوضوح إلى أن وجود مثل هذه الخاصية كافٍ لإثبات أن التسلسل يتقارب. والعكس صحيح أيضًا.
وتجدر الإشارة إلى أن هذا الاستنتاج الذي توصل إليه عالم الرياضيات الفرنسي هو في الغالب ذا أهمية نظرية بحتة. يعتبر تطبيقه في الممارسة العملية مسألة معقدة إلى حد ما ، لذلك ، من أجل توضيح تقارب السلاسل ، من المهم للغاية إثبات وجود حد محدود للتسلسل. خلاف ذلك ، يعتبر متشعب.
عند حل المشكلات ، يجب أيضًا مراعاة الخصائص الأساسية للمتواليات المتقاربة. وهي موضحة أدناه.
مبالغ لانهائية
استخدم علماء العصور القديمة المشهورون مثل أرخميدس وإقليدس وإيودوكسوس مجاميع سلاسل الأرقام اللانهائية لحساب أطوال المنحنيات وأحجام الأجسامومجالات الشخصيات. على وجه الخصوص ، بهذه الطريقة كان من الممكن معرفة منطقة الجزء المكافئ. لهذا ، تم استخدام مجموع السلسلة العددية للتقدم الهندسي مع q=1/4. تم العثور على أحجام ومساحات الأرقام التعسفية الأخرى بطريقة مماثلة. هذا الخيار كان يسمى طريقة "الاستنفاد". كانت الفكرة أن الجسم المدروس ، معقد الشكل ، تم تقسيمه إلى أجزاء ، والتي كانت عبارة عن أشكال ذات معلمات سهلة القياس. لهذا السبب ، لم يكن من الصعب حساب مساحاتهم وأحجامهم ، ثم قاموا بجمعها.
بالمناسبة ، المهام المماثلة مألوفة جدًا لأطفال المدارس الحديثة وتوجد في مهام الاستخدام. الطريقة الفريدة ، التي وجدها أسلاف بعيدون ، هي إلى حد بعيد الحل الأبسط. حتى لو كان هناك جزءان أو ثلاثة أجزاء فقط يتم تقسيم الشكل العددي إليهما ، فإن إضافة مناطقهم تظل مجموع سلسلة الأرقام.
بعد فترة طويلة من تعلم العلماء اليونانيين القدماء لايبنيز ونيوتن ، بناءً على تجربة أسلافهم الحكماء ، أنماط الحساب المتكامل. ساعدتهم معرفة خصائص المتتاليات في حل المعادلات التفاضلية والجبرية. في الوقت الحاضر ، تتيح نظرية السلسلة ، التي تم إنشاؤها بجهود أجيال عديدة من العلماء الموهوبين ، فرصة لحل عدد كبير من المشكلات الرياضية والعملية. وكانت دراسة المتتاليات العددية هي المشكلة الرئيسية التي حلها التحليل الرياضي منذ نشأته.
