طائرة في الفضاء. موقع الطائرات في الفضاء

2024 مؤلف: Angel Austin | [email protected]. آخر تعديل: 2024-01-02 17:40

المستوى هو كائن هندسي تُستخدم خصائصه عند إنشاء إسقاطات للنقاط والخطوط ، وكذلك عند حساب المسافات والزوايا ثنائية الأضلاع بين عناصر الأشكال ثلاثية الأبعاد. لننظر في هذه المقالة في المعادلات التي يمكن استخدامها لدراسة موقع الطائرات في الفضاء.

تعريف الطائرة

يتخيل الجميع بشكل حدسي الشيء الذي سيتم مناقشته. من وجهة نظر هندسية ، المستوى هو مجموعة من النقاط ، أي متجهات يجب أن تكون متعامدة مع متجه واحد. على سبيل المثال ، إذا كانت هناك م نقاط مختلفة في الفضاء ، فيمكن صنع متجهات مختلفة م(م -1) / 2 منها ، وربط النقاط في أزواج. إذا كانت جميع المتجهات متعامدة مع اتجاه واحد ، فهذا شرط كافٍ أن جميع النقاط m تنتمي إلى نفس المستوى.

المعادلة العامة

في الهندسة المكانية ، يتم وصف المستوى باستخدام المعادلات التي تحتوي بشكل عام على ثلاثة إحداثيات غير معروفة تقابل محاور x و y و z. لاحصل على المعادلة العامة في إحداثيات المستوى في الفضاء ، افترض أن هناك متجه n¯ (A ؛ B ؛ C) ونقطة M (x₀؛ y₀؛ z_{0). باستخدام هذين الكائنين ، يمكن تعريف المستوى بشكل فريد.}

في الواقع ، افترض أن هناك نقطة ثانية P (x ؛ y ؛ z) إحداثياتها غير معروفة. وفقًا للتعريف الوارد أعلاه ، يجب أن يكون المتجه MP¯ عموديًا على n¯ ، أي أن المنتج القياسي لهما يساوي صفرًا. ثم نكتب التعبير التالي:

(n¯MP¯)=0 أو

A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀₎₌₀

فتح الأقواس وإدخال المعامل الجديد D ، نحصل على التعبير:

Ax + By + Cz + D=0 حيث D=-1(Ax₀+ By₀+ Cz₀₎

يسمى هذا التعبير المعادلة العامة للمستوى. من المهم أن تتذكر أن المعاملات الموجودة أمام x و y و z تشكل إحداثيات المتجه n¯ (A ؛ B ؛ C) المتعامد على المستوى. إنه يتزامن مع الوضع الطبيعي وهو دليل للطائرة. لتحديد المعادلة العامة ، لا يهم أين يتم توجيه هذا المتجه. وهذا يعني أن الطائرات المبنية على المتجهين n¯ و -n¯ ستكون هي نفسها.

يوضح الشكل أعلاه مستويًا ، ومتجهًا عاديًا لها ، وخطًا عموديًا على المستوى.

المقاطع مقطوعة بالمستوى على المحاور والمعادلة المقابلة

تسمح المعادلة العامة باستخدام عمليات حسابية بسيطة لتحديد ، فيفي أي نقاط سيتقاطع المستوى مع محاور الإحداثيات. من المهم معرفة هذه المعلومات من أجل الحصول على فكرة عن الموضع في فضاء الطائرة ، وكذلك عند تصويرها في الرسومات.

لتحديد نقاط التقاطع المسماة ، يتم استخدام معادلة في المقاطع. يطلق عليه ذلك لأنه يحتوي بشكل صريح على قيم أطوال المقاطع المقطوعة بواسطة المستوى على محاور الإحداثيات ، عند العد من النقطة (0 ؛ 0 ؛ 0). دعونا نحصل على هذه المعادلة

اكتب التعبير العام للطائرة على النحو التالي:

Ax + By + Cz=-D

يمكن تقسيم الجزأين الأيمن والأيسر بواسطة -D دون المساس بالمساواة. لدينا:

A / (- D)x + B / (- D)y + C / (- D)z=1 أو

x / (- D / A) + y / (- D / B) + z / (- D / C)=1

صمم قواسم كل مصطلح برمز جديد ، نحصل على:

p=-D / A ؛ ف=-د / ب ؛ r=-D / C ثم

x / p + y / q + z / r=1

هذه هي المعادلة المذكورة أعلاه في المقاطع. ويترتب على ذلك أن قيمة مقام كل مصطلح تشير إلى إحداثيات التقاطع مع المحور المقابل للمستوى. على سبيل المثال ، يتقاطع مع المحور y عند النقطة (0 ؛ q ؛ 0). يسهل فهم ذلك إذا قمت باستبدال إحداثيات الصفر x و z في المعادلة.

لاحظ أنه إذا لم يكن هناك متغير في المعادلة في المقاطع ، فهذا يعني أن المستوى لا يتقاطع مع المحور المقابل. على سبيل المثال ، بالنظر إلى التعبير:

x / p + y / q=1

هذا يعني أن المستوى سيقطع المقاطع p و q على محوري x و y ، على التوالي ، لكنه سيكون موازٍ لمحور z.

استنتاج حول سلوك الطائرة متىإن غياب بعض المتغيرات في معادلتها صحيح أيضًا بالنسبة لتعبير النوع العام ، كما هو موضح في الشكل أدناه.

المعادلة حدودي المتجه

هناك نوع ثالث من المعادلات التي تسمح بوصف مستوى في الفضاء. يطلق عليه متجه حدودي لأنه يتم إعطاؤه بواسطة متجهين مستلقين في المستوى ومعلمتين يمكن أن تأخذ قيمًا مستقلة تعسفية. دعونا نوضح كيف يمكن الحصول على هذه المعادلة

افترض أن هناك متجهين معروفين u ¯ (أ₁؛ ب₁؛ ج_{1) و v¯ (أ}2_{؛ ب}2_{؛ ج}2 _{). إذا لم تكن متوازية ، فيمكن استخدامها لتعيين مستوى معين عن طريق تحديد بداية أحد هذه المتجهات عند نقطة معروفة M (x}0_{؛ y}0_{؛ z}0 _{). إذا كان من الممكن تمثيل المتجه التعسفي MP¯ كمجموعة من المتجهات الخطية u¯ و v¯ ، فهذا يعني أن النقطة P (x ؛ y ؛ z) تنتمي إلى نفس المستوى مثل u¯ ، v¯. هكذا نكتب المساواة:}

MP¯=αu¯ + βv¯

أو كتابة هذه المساواة من حيث الإحداثيات نحصل على:

(x ؛ y ؛ z)=(x₀؛ y₀؛ z_{0) + α(أ}1_{؛ ب}1_{؛ ج}1 _{) + β(أ}2_{؛ ب}2_{؛ ج}2 ₎

المساواة المعروضة هي معادلة متجه حدودي للمستوى. فيمساحة المتجه على المستوى u¯ و v¯ تسمى المولدات.

بعد ذلك ، عند حل المشكلة ، سيظهر كيف يمكن اختزال هذه المعادلة إلى شكل عام للمستوى.

الزاوية بين الطائرات في الفضاء

بشكل حدسي ، يمكن أن تتقاطع الطائرات في الفضاء ثلاثي الأبعاد أم لا. في الحالة الأولى ، من المهم إيجاد الزاوية بينهما. حساب هذه الزاوية أصعب من الزاوية بين السطور ، لأننا نتحدث عن جسم هندسي ثنائي الوجوه. ومع ذلك ، فإن ناقل الدليل المذكور بالفعل للطائرة يأتي للإنقاذ.

ثبت هندسيًا أن الزاوية ثنائية الأضلاع بين مستويين متقاطعين تساوي تمامًا الزاوية بين متجهات التوجيه الخاصة بهم. دعونا نشير إلى هذه المتجهات كـ n₁¯ (a₁؛ b₁؛ c_{1) و n}2_{¯ (أ}2_{؛ ب}2_{؛ ج}2 _{). يتم تحديد جيب التمام للزاوية بينهما من الناتج القياسي. أي أن الزاوية نفسها في المسافة بين المستويين يمكن حسابها بالصيغة:}

φ=arccos (| (n₁¯n₂¯) | / (| n₁¯ || n_{2¯ |))}

هنا يتم استخدام المعامل في المقام لتجاهل قيمة الزاوية المنفرجة (بين المستويات المتقاطعة يكون دائمًا أقل من أو يساوي 90o).

في تنسيق التنسيق ، يمكن إعادة كتابة هذا التعبير على النحو التالي:

φ=arccos (| a₁ a₂+ b₁ b 2_+c1 _c2_{| / (√ (a}12^{+ b}12^{+ c}12 ^{)√ (a}22^{+ b}22^{+ c}22 ⁾⁾⁾

المستويات المتعامدة والمتوازية

إذا تقاطعت الطائرات وكانت الزاوية ثنائية الأضلاع المكونة لها 90o، فستكون عمودية. مثال على هذه الطائرات هو منشور مستطيل أو مكعب. تتكون هذه الأشكال من ست طائرات. في كل رأس من الأشكال المحددة هناك ثلاث مستويات متعامدة مع بعضها البعض.

لمعرفة ما إذا كانت المستويات المدروسة متعامدة ، يكفي حساب المنتج القياسي لمتجهاتها العادية. الشرط الكافي للعمودي في مساحة الطائرات هو القيمة الصفرية لهذا المنتج.

الموازية تسمى الطائرات غير المتقاطعة. في بعض الأحيان يقال أيضًا أن الطائرات المتوازية تتقاطع عند اللانهاية. تتطابق حالة التوازي في فضاء المستويات مع هذا الشرط لمتجهات الاتجاه n₁¯ و n_{2¯. يمكنك التحقق منه بطريقتين:}