القياس المجسم هو دراسة خصائص الأشكال الهندسية ثلاثية الأبعاد. أحد الأشكال الحجمية المعروفة التي تظهر في مسائل الهندسة هو المنشور المستقيم. لنفكر في هذا المقال في ماهيته ، ونصف أيضًا بالتفصيل منشورًا بقاعدة مثلثة.
المنشور وانواعه
المنشور هو شكل يتكون نتيجة ترجمة متوازية لمضلع في الفضاء. نتيجة لهذه العملية الهندسية ، يتم تكوين شكل يتكون من عدة متوازي أضلاع ومضلعين متطابقين متوازيين مع بعضهما البعض. متوازيات الأضلاع هي جوانب المنشور ، والمضلعات هي قواعده.
أي منشور له n + 2 جوانب ، 3n حواف و 2n رؤوس ، حيث n هو عدد زوايا أو جوانب القاعدة المضلعة. الصورة توضح منشور خماسي له 7 جوانب و 10 رؤوس و 15 حافة.
يتم تمثيل فئة الأشكال المدروسة بعدة أنواع من المناشير.نذكرهم بإيجاز:
- مقعر ومحدب ؛
- مائل ومستقيم ؛
- خطأ وصحيح.
ينتمي كل رقم إلى أحد أنواع التصنيف الثلاثة المدرجة. عند حل المشكلات الهندسية ، يكون من الأسهل إجراء حسابات للمنشورات المنتظمة والمستقيمة. سيتم مناقشة هذا الأخير بمزيد من التفصيل في الفقرات التالية من المقال.
ما هو المنشور المستقيم؟
المنشور المستقيم هو موشور مقعر أو محدب ، منتظم أو غير منتظم ، حيث يتم تمثيل جميع الجوانب بواسطة رباعي الأضلاع بزوايا 90 درجة. إذا لم يكن أحد مربعات الأضلاع على الأقل مستطيلًا أو مربعًا ، فإن المنشور يسمى مائل. يمكن أيضًا تقديم تعريف آخر: المنشور المستقيم هو شكل لفئة معينة تكون فيها أي حافة جانبية مساوية للارتفاع. تحت ارتفاع h للمنشور ، يتم افتراض المسافة بين قاعدته.
كلا التعريفين المعينين أنه منشور مباشر متساويان ومكتفيان ذاتيًا. ويترتب على ذلك أن جميع الزوايا ثنائية الأضلاع بين أي قاعدة وكل جانب 90 درجة.
قيل أعلاه أنه من الملائم العمل بأرقام مستقيمة عند حل المشكلات. هذا يرجع إلى حقيقة أن الارتفاع يطابق طول الضلع الجانبي. الحقيقة الأخيرة تسهل عملية حساب حجم الشكل ومساحة سطحه الجانبي.
حجم المنشور المباشر
الحجم - قيمة متأصلة في أي شكل مكاني ، والتي تعكس عدديًا جزء المساحة المحاطة بين أسطح المعنونةهدف. يمكن حساب حجم المنشور باستخدام الصيغة العامة التالية:
V=So h.
أي أن ناتج الارتفاع ومساحة القاعدة سيعطي القيمة المرغوبة V. نظرًا لأن قواعد المنشور المستقيم متساوية ، عندئذٍ لتحديد المنطقة Soيمكنك أن تأخذ أي منهم.
ميزة استخدام الصيغة أعلاه تحديدًا للمنشور المستقيم مقارنة بأنواعه الأخرى هي أنه من السهل جدًا العثور على ارتفاع الشكل ، لأنه يتزامن مع طول الحافة الجانبية.
منطقة جانبية
من المريح حساب ليس فقط الحجم للحصول على رقم مستقيم للفئة قيد الدراسة ، ولكن أيضًا سطحه الجانبي. في الواقع ، أي جانب منه إما مستطيل أو مربع. يعرف كل طالب كيفية حساب مساحة هذه الأشكال المسطحة ، لذلك من الضروري ضرب الأضلاع المتجاورة ببعضها البعض.
افترض أن قاعدة المنشور تعسفية n-gon تساوي جوانبهاi. يتم تشغيل الفهرس i من 1 إلى n. يتم حساب مساحة المستطيل على النحو التالي:
Si=ai h.
من السهل حساب مساحة السطح الجانبي Sbإذا أضفت جميع المناطق Siمستطيلات. في هذه الحالة ، نحصل على الصيغة النهائية لـ Sbمنشور مستقيم:
Sb=h∑i=1(ai)=hPo.
وهكذا ، لتحديد مساحة السطح الجانبي لمنشور مستقيم ، يجب عليك مضاعفة ارتفاعه في محيط قاعدة واحدة.
مشكلة في المنشور الثلاثي
افترض أنه تم إعطاء منشور مستقيم. القاعدة مثلث قائم الزاوية. طول أرجل هذا المثلث 12 سم و 8 سم من الضروري حساب حجم الشكل ومساحته الكلية إذا كان ارتفاع المنشور 15 سم
أولاً ، لنحسب حجم المنشور المستقيم. المثلث (المستطيل) الموجود في قاعدته له مساحة:
So=a1 a2/ 2=128/2=48 سم2.
كما قد تتخيل ، فإن1و2هي أرجل في هذه المعادلة. بمعرفة مساحة القاعدة والارتفاع (انظر حالة المشكلة) ، يمكنك استخدام صيغة V:
V=So h=4815=720 سم3.
المساحة الإجمالية للشكل مكونة من جزأين: مساحات القواعد والسطح الجانبي. مناطق القاعدتين هي:
S2o=2So=482=96 سم2.
لحساب مساحة السطح الجانبي ، تحتاج إلى معرفة محيط المثلث القائم. احسب من خلال نظرية فيثاغورس وترته a3، لدينا:
a3=√ (a12+ a2 2 )=√ (122+ 82 )=14.42 سم.
ثم محيط مثلث قاعدة المنشور الأيمن سيكون:
P=أ1+ a2+ a3=12 + 8 + 14 ، 42=34 ، 42 سم.
تطبيق صيغة Sb، التي كتبت في الفقرة السابقة ،الحصول على:
Sb=hP=1534، 42=516، 3 سم.
إضافة مناطق S2oو Sb، نحصل على المساحة الإجمالية للشكل الهندسي المدروس:
S=S2o+ Sb=96 + 516 ، 3=612 ، 3 سم2.
المنشور الثلاثي ، المصنوع من أنواع خاصة من الزجاج ، يستخدم في البصريات لدراسة أطياف الأجسام الباعثة للضوء. هذه المناشير قادرة على تحلل الضوء إلى ترددات مكونة بسبب ظاهرة التشتت.
