مشكلة Goldbach هي واحدة من أقدم المشاكل وأكثرها إثارة في تاريخ جميع الرياضيات.
لقد ثبت أن هذا التخمين صحيح بالنسبة لجميع الأعداد الصحيحة الأقل من 4 × 1018 ، لكنه لا يزال غير مثبت على الرغم من الجهود الكبيرة التي بذلها علماء الرياضيات.
رقم
رقم Goldbach هو عدد صحيح موجب يمثل مجموع زوج من الأعداد الأولية الفردية. شكل آخر من تخمين جولدباخ هو أن جميع الأعداد الصحيحة حتى أكبر من أربعة هي أرقام جولدباخ.
الفصل بين هذه الأرقام يسمى قسم جولدباخ (أو القسم). فيما يلي أمثلة لأقسام متشابهة لبعض الأرقام الزوجية:
6=3 + 38=3 + 510=3 + 7=5 + 512=7 + 5 … 100=3 + 97=11 + 89=17 + 83=29 + 71=41 + 59=47 + 53.
اكتشاف الفرضية
كان لدى غولدباخ زميل اسمه أويلر ، كان يحب العد ويكتب الصيغ المعقدة ويطرح نظريات غير قابلة للحل. في هذا كانوا مشابهين لغولدباخ. صنع أويلر لغزًا رياضيًا مشابهًا حتى قبل جولدباخ ، ومعهالمراسلات المستمرة. ثم اقترح اقتراحًا ثانيًا على هامش مخطوطته ، والذي بموجبه يمكن كتابة عدد صحيح أكبر من 2 كمجموع ثلاثة أعداد أولية. اعتبر 1 عددًا أوليًا.
من المعروف الآن أن الفرضيتين متشابهتان ، لكن لا يبدو أن هذا يمثل مشكلة في ذلك الوقت. تنص النسخة الحديثة من مشكلة جولدباخ على أن كل عدد صحيح أكبر من 5 يمكن كتابته كمجموع ثلاثة أعداد أولية. رد أويلر في رسالة بتاريخ 30 يونيو 1742 ، وذكر غولدباخ بمحادثة سابقة أجروها ("… لذلك نحن نتحدث عن الفرضية الأصلية (وليس الهامشية) الناشئة عن البيان التالي").
مشكلة أويلر-غولدباخ
2 وأرقامها الزوجية يمكن كتابتها كمجموع اثنين من الأعداد الأولية ، وهو أيضًا تخمين جولدباخ. في خطاب بتاريخ 30 يونيو 1742 ، ذكر أويلر أن كل عدد صحيح هو نتيجة إضافة اثنين من الأعداد الأولية ، والتي يعتبرها نظرية واضحة المعالم ، على الرغم من أنه لا يستطيع إثباتها.
الإصدار الثالث
الإصدار الثالث من مشكلة Goldbach (أي ما يعادل النسختين الأخريين) هو الشكل الذي يُعطى فيه التخمين عادة اليوم. يُعرف أيضًا باسم تخمين جولدباخ "القوي" أو "الزوجي" أو "الثنائي" لتمييزه عن الفرضية الأضعف المعروفة اليوم باسم تخمين جولدباخ "الضعيف" أو "الفردي" أو "الثلاثي". ينص التخمين الضعيف على أن جميع الأعداد الفردية الأكبر من 7 هي مجموع ثلاثة أعداد أولية فردية. تم إثبات التخمين الضعيف في عام 2013. الفرضية الضعيفة هينتيجة فرضية قوية. لا تزال النتيجة الطبيعية العكسية وتخمين جولدباخ القوي غير مثبتين حتى يومنا هذا.
تحقق
للقيم الصغيرة لـ n ، يمكن التحقق من مشكلة Goldbach (وبالتالي تخمين Goldbach). على سبيل المثال ، قام Nils Pipping في عام 1938 باختبار الفرضية بعناية حتى n ≦ 105. مع ظهور أجهزة الكمبيوتر الأولى ، تم حساب العديد من قيم n.
أجرى أوليفيرا سيلفا بحثًا موزعًا على الكمبيوتر أكد الفرضية لـ n ≦ 4 × 1018 (والتحقق مرتين حتى 4 × 1017) اعتبارًا من 2013. إدخال واحد من هذا البحث هو أن 3،325،581،707،333،960،528 هو أصغر رقم لا يحتوي على تقسيم Goldbach مع عدد أولي أقل من 9781.
الاستدلال
إصدار الشكل القوي لتخمين جولدباخ هو كما يلي: نظرًا لأن الكمية تميل إلى اللانهاية مع زيادة n ، نتوقع أن كل عدد صحيح زوجي كبير يحتوي على أكثر من تمثيل كمجموع اثنين من الأعداد الأولية. لكن في الواقع ، هناك الكثير من هذه التأكيدات. من حل مشكلة جولدباخ؟ للأسف ، ما زال لا أحد.
هذه الحجة الاستكشافية غير دقيقة إلى حد ما ، لأنها تفترض أن m مستقلة إحصائيًا عن n. على سبيل المثال ، إذا كانت m فردية ، فإن n - m هي أيضًا فردية ، وإذا كانت m زوجية ، فإن n - m تكون زوجية ، وهذه علاقة غير تافهة (معقدة) ، لأنه بصرف النظر عن الرقم 2 ، تكون فردية فقط يمكن أن تكون الأعداد أولية. وبالمثل ، إذا كانت n قابلة للقسمة على 3 وكانت m بالفعل أولية بخلاف 3 ، فإن n - m تكون أيضًا متبادلةأولي مع 3 ، فمن المرجح أن يكون عددًا أوليًا بدلاً من العدد الإجمالي. عند إجراء هذا النوع من التحليل بعناية أكبر ، قام هاردي وليتلوود في عام 1923 ، كجزء من تخمينهم الشهير هاردي ليتلوود البسيط في الصفوف ، بإجراء التنقيح السابق للنظرية بأكملها. لكنها لم تساعد في حل المشكلة حتى الآن
فرضية قوية
تخمين جولدباخ القوي أكثر تعقيدًا بكثير من تخمين جولدباخ الضعيف. أثبت Shnirelman لاحقًا أن أي عدد طبيعي أكبر من 1 يمكن كتابته كمجموع في معظم الأعداد الأولية C ، حيث C هو ثابت قابل للحساب بشكل فعال. حاول العديد من علماء الرياضيات حلها ، عد وضرب الأرقام ، وتقديم صيغ معقدة ، إلخ. لكنهم لم ينجحوا أبدًا ، لأن الفرضية معقدة للغاية. لم تساعد أي صيغ.
لكن الأمر يستحق الابتعاد قليلاً عن مسألة إثبات مشكلة جولدباخ. ثابت Shnirelman هو أصغر رقم C بهذه الخاصية. Shnirelman نفسه حصل على C <800000. تم استكمال هذه النتيجة من قبل العديد من المؤلفين ، مثل Olivier Ramaret ، الذي أظهر في عام 1995 أن كل عدد زوجي n ≧ 4 هو في الواقع مجموع ستة أعداد أولية على الأكثر. النتيجة الأكثر شهرة المرتبطة حاليًا بنظرية Goldbach بواسطة Harald Helfgott.
مزيد من التطوير
في عام 1924 ، تولى هاردي وليتلوود مهمة ج. أظهر أن عدد الأرقام الزوجية حتى X ، منتهكة مشكلة Goldbach الثنائية ، أقل بكثير من c الصغيرة.
في عام 1973 Chen Jingyunحاولت حل هذه المشكلة لكنها لم تنجح. كان أيضًا عالم رياضيات ، لذلك كان مغرمًا جدًا بحل الألغاز وإثبات النظريات.
في عام 1975 ، أظهر اثنان من علماء الرياضيات الأمريكيين أن هناك ثوابت موجبة c و C - تلك التي يكون فيها N كبيرًا بدرجة كافية. كل هذا كان مفيدًا للعمل على حل مشكلة Goldbach الثلاثية ، والتي ستحدث في المستقبل.
في عام 1951 ، أثبت Linnik وجود K ثابت بحيث أن كل عدد زوجي كبير بما فيه الكفاية هو نتيجة إضافة عدد أولي واحد ورقم أولي آخر لبعضهما البعض. وجد روجر هيث براون وجان كريستوف شلاج بوتشتا في عام 2002 أن K=13 يعمل. هذا ممتع جدًا لجميع الأشخاص الذين يرغبون في الإضافة إلى بعضهم البعض ، وإضافة أرقام مختلفة ومعرفة ما سيحدث.
حل مشكلة جولدباخ
كما هو الحال مع العديد من التخمينات المعروفة في الرياضيات ، هناك عدد من البراهين المزعومة لتخمين جولدباخ ، والتي لم يتم قبول أي منها من قبل المجتمع الرياضي.
على الرغم من أن تخمين جولدباخ يشير إلى أن كل عدد صحيح موجب أكبر من واحد يمكن كتابته كمجموع ثلاثة أعداد أولية على الأكثر ، فليس من الممكن دائمًا العثور على مثل هذا المجموع باستخدام خوارزمية جشعة تستخدم أكبر عدد أولي ممكن في كل خطوة. يتتبع تسلسل بيلاي الأرقام التي تتطلب عددًا أكبر من الأعداد الأولية في تمثيلاتهم الجشعة. لذلك ، حل مشكلة جولدباخلا يزال في السؤال. ومع ذلك ، من المرجح أن يتم حلها عاجلاً أم آجلاً.
هناك نظريات مشابهة لمشكلة Goldbach حيث يتم استبدال الأعداد الأولية بمجموعات محددة أخرى من الأرقام ، مثل المربعات.
كريستيان جولدباخ
كريستيان جولدباخ عالم رياضيات ألماني درس القانون أيضًا. يتذكره اليوم تخمين جولدباخ.
عمل عالم رياضيات طوال حياته - كان مغرمًا جدًا بإضافة الأرقام ، وابتكار صيغ جديدة. كان يعرف أيضًا عدة لغات ، احتفظ في كل منها بمذكراته الشخصية. كانت هذه اللغات هي الألمانية والفرنسية والإيطالية والروسية. أيضًا ، وفقًا لبعض المصادر ، كان يتحدث الإنجليزية واللاتينية. كان معروفًا كعالم رياضيات مشهور إلى حد ما خلال حياته. كان غولدباخ أيضًا مرتبطًا ارتباطًا وثيقًا بروسيا ، لأنه كان لديه العديد من الزملاء الروس والمصالح الشخصية للعائلة المالكة.
واصل العمل في أكاديمية سانت بطرسبرغ للعلوم التي افتتحت حديثًا في عام 1725 كأستاذ للرياضيات ومؤرخ للأكاديمية. في عام 1728 ، عندما أصبح بيتر الثاني قيصر روسيا ، أصبح غولدباخ معلمه. في عام 1742 التحق بوزارة الخارجية الروسية. أي أنه عمل بالفعل في بلدنا. في ذلك الوقت ، جاء العديد من العلماء والكتاب والفلاسفة والعسكريين إلى روسيا ، لأن روسيا في ذلك الوقت كانت بلد الفرص مثل أمريكا. لقد صنع الكثير منهم مهنة هنا. وبطلنا ليس استثناء.
كان كريستيان جولدباخ متعدد اللغات - كتب مذكرات بالألمانية واللاتينية ، رسائلهكانت مكتوبة بالألمانية واللاتينية والفرنسية والإيطالية ، وبالنسبة للوثائق الرسمية استخدم الروسية والألمانية واللاتينية.
توفي في 20 نوفمبر 1764 عن عمر يناهز 74 عامًا في موسكو. سيكون اليوم الذي يتم فيه حل مشكلة جولدباخ تكريمًا مناسبًا لذكراه.
الخلاصة
كان غولدباخ عالم رياضيات عظيمًا أعطانا أحد أعظم الألغاز في هذا العلم. من غير المعروف ما إذا كان سيتم حلها أم لا. نحن نعلم فقط أن حلها المفترض ، كما في حالة نظرية فيرما ، سيفتح آفاقًا جديدة للرياضيات. علماء الرياضيات مغرمون جدًا بحلها وتحليلها. إنه ممتع للغاية وفضولي من وجهة نظر إرشادية. حتى طلاب الرياضيات يحبون حل مشكلة جولدباخ. و إلا كيف؟ بعد كل شيء ، ينجذب الشباب باستمرار إلى كل شيء مشرق وطموح وغير محلول ، لأنه من خلال التغلب على الصعوبات يمكن للمرء أن يؤكد نفسه. دعونا نأمل أن يتم حل هذه المشكلة قريبًا بواسطة عقول شابة وطموحة وفضولية.
