في الهندسة ، بعد نقطة ما ، ربما يكون الخط المستقيم هو أبسط عنصر. يتم استخدامه في بناء أي أشكال معقدة على متن الطائرة وفي الفضاء ثلاثي الأبعاد. في هذه المقالة ، سننظر في المعادلة العامة للخط المستقيم ونحل مشكلتين باستخدامها. لنبدأ!
خط مستقيم في الهندسة
يعلم الجميع أن الأشكال مثل المستطيل والمثلث والمنشور والمكعب وما إلى ذلك تتشكل من خلال تقاطع الخطوط المستقيمة. الخط المستقيم في الهندسة هو كائن أحادي البعد يمكن الحصول عليه بنقل نقطة معينة إلى متجه له نفس الاتجاه أو الاتجاه المعاكس. لفهم هذا التعريف بشكل أفضل ، تخيل أن هناك نقطة ما في الفضاء. خذ ناقل تعسفي u¯ في هذا الفضاء. ثم يمكن الحصول على أي نقطة Q من الخط نتيجة للعمليات الحسابية التالية:
Q=P + λu¯.
هنا λ هو رقم عشوائي يمكن أن يكون موجبًا أو سالبًا. إذا كانت المساواةاكتب أعلاه من حيث الإحداثيات ، ثم نحصل على المعادلة التالية للخط المستقيم:
(x، y، z)=(x0 ، y0 ، z0) +(أ ، ب ، ج)
تسمى هذه المساواة معادلة الخط المستقيم في شكل متجه. والمتجه u¯ يسمى دليل.
المعادلة العامة للخط المستقيم في المستوى
يمكن لكل طالب تدوينها دون أي صعوبة. لكن غالبًا ما تتم كتابة المعادلة على النحو التالي:
y=كس + ب
حيث k و b أرقام عشوائية. الرقم ب يسمى العضو المجاني. المعلمة k تساوي ظل الزاوية المتكونة من تقاطع الخط المستقيم مع المحور x.
يتم التعبير عن المعادلة أعلاه فيما يتعلق بالمتغير y. إذا قدمناه بشكل أكثر عمومية ، فسنحصل على الملاحظة التالية:
أس + بص + ج=0.
من السهل إظهار أن هذا الشكل من كتابة المعادلة العامة للخط المستقيم على المستوى يتحول بسهولة إلى الشكل السابق. للقيام بذلك ، يجب قسمة الجزأين الأيمن والأيسر على العامل B والتعبير عن y.
يوضح الشكل أعلاه خطًا مستقيمًا يمر بنقطتين.
خط في الفضاء ثلاثي الأبعاد
دعونا نواصل دراستنا. لقد درسنا مسألة كيفية إعطاء معادلة الخط المستقيم في الصورة العامة على المستوى. إذا طبقنا الترميز الوارد في الفقرة السابقة من المقال للحالة المكانية ، فما الذي سنحصل عليه؟ كل شيء بسيط - لم يعد خطاً مستقيماً ، بل مستوى. في الواقع ، يصف التعبير التالي المستوى الذي يوازي المحور ع:
أس + بص + ج=0.
إذا كانت C=0 ، فإن هذه الطائرة تمرمن خلال المحور z. هذه ميزة مهمة.
كيف تكون إذن مع المعادلة العامة لخط مستقيم في الفضاء؟ لفهم كيفية طرحها ، عليك أن تتذكر شيئًا ما. تتقاطع طائرتان على طول خط مستقيم معين. ماذا يعني هذا؟ فقط هذه المعادلة العامة هي نتيجة حل نظام من معادلتين للمستويات. لنكتب هذا النظام:
- A1 x + B1 y + C1 z + D 1=0 ؛
- A2 x + B2 y + C2 z + D 2=0.
هذا النظام هو المعادلة العامة للخط المستقيم في الفضاء. لاحظ أن المستويات يجب ألا تكون متوازية مع بعضها البعض ، أي يجب أن تميل متجهاتها العادية بزاوية معينة بالنسبة لبعضها البعض. وإلا فلن يكون للنظام حلول.
أعلاه قدمنا الشكل المتجه للمعادلة لخط مستقيم. إنه مناسب للاستخدام عند حل هذا النظام. للقيام بذلك ، تحتاج أولاً إلى إيجاد حاصل الضرب المتجه لقواعد هذه المستويات. ستكون نتيجة هذه العملية متجه اتجاه لخط مستقيم. بعد ذلك ، يجب حساب أي نقطة تنتمي إلى الخط. للقيام بذلك ، تحتاج إلى تعيين أي من المتغيرات يساوي قيمة معينة ، ويمكن العثور على المتغيرين المتبقيين عن طريق حل النظام المصغر.
كيف تترجم معادلة متجه إلى معادلة عامة؟ الفروق الدقيقة
هذه مشكلة فعلية يمكن أن تنشأ إذا احتجت إلى كتابة المعادلة العامة لخط مستقيم باستخدام الإحداثيات المعروفة لنقطتين.دعونا نوضح كيف يتم حل هذه المشكلة بمثال. دع إحداثيات نقطتين تعرف:
- P=(x1، y1) ؛
- Q=(x2 ، y2).
من السهل جدًا تكوين المعادلة في شكل متجه. إحداثيات متجه الاتجاه هي:
PQ=(x2-x1، y2-y1).
لاحظ أنه لا يوجد فرق إذا طرحنا إحداثيات Q من إحداثيات النقطة P ، فإن المتجه سيغير اتجاهه فقط إلى العكس. الآن يجب أن تأخذ أي نقطة وتكتب معادلة المتجه:
(x، y)=(x1 ، y1) + λ(x2 -x1 ، y2-y1 ).
لكتابة المعادلة العامة للخط المستقيم ، يجب التعبير عن المعلمة λ في كلتا الحالتين. ثم قارن النتائج. لدينا:
x=x1+ λ(x2-x1)=> λ=(x-x1) / (x2-x1) ؛
y=y1+ λ(y2-y1)=> λ=(y-y1) / (y2-y1)=>
(x-x1) / (x2-x1)=(y-y 1 ) / (y2-y1 ).
يبقى فقط فتح الأقواس ونقل جميع شروط المعادلة إلى جانب واحد من المعادلة من أجل الحصول على تعبير عام لخط مستقيم يمر عبر نقطتين معروفتين.
في حالة وجود مشكلة ثلاثية الأبعاد ، يتم الاحتفاظ بخوارزمية الحل ، وستكون نتيجتها فقط نظامًا من معادلتين للطائرات.
مهمة
من الضروري عمل معادلة عامةخط مستقيم يتقاطع مع المحور x عند (-3، 0) ويوازي المحور y.
لنبدأ في حل المشكلة عن طريق كتابة المعادلة في شكل متجه. نظرًا لأن الخط موازٍ لمحور y ، فإن متجه التوجيه سيكون كما يلي:
u¯=(0 ، 1).
ثم يتم كتابة السطر المطلوب كالتالي:
(س ، ص)=(-3 ، 0) +(0 ، 1).
الآن دعونا نترجم هذا التعبير إلى صيغة عامة ، لهذا نعبر عن المعلمة λ:
- س=-3 ؛
- y=λ.
وهكذا ، فإن أي قيمة للمتغير y تنتمي إلى الخط ، ومع ذلك ، فإن القيمة الوحيدة للمتغير x هي التي تتوافق معها. لذلك ، ستأخذ المعادلة العامة الشكل:
س + 3=0.
مشكلة في وجود خط مستقيم في الفضاء
من المعروف أن طائرتين متقاطعتين تعطىهما المعادلات التالية:
- 2س + ص - ض=0 ؛
- س - 2ص + 3=0.
من الضروري إيجاد معادلة المتجه للخط المستقيم الذي تتقاطع فيه هذه المستويات. لنبدأ
كما قيل ، فإن المعادلة العامة للخط المستقيم في الفضاء ثلاثي الأبعاد معطاة بالفعل في شكل نظام من اثنين مع ثلاثة مجاهيل. بادئ ذي بدء ، نحدد متجه الاتجاه الذي تتقاطع معه الطائرات. بضرب إحداثيات المتجهات للقواعد الطبيعية في المستويات ، نحصل على:
u¯=[(2، 1، -1)(1، -2، 0)]=(-2، -1، -5).
بما أن ضرب المتجه برقم سالب يعكس اتجاهه ، يمكننا كتابة:
u¯=-1(- 2 ، -1 ، -5)=(2 ، 1 ، 5).
لللعثور على تعبير متجه لخط مستقيم ، بالإضافة إلى متجه الاتجاه ، يجب أن يعرف المرء نقطة ما من هذا الخط المستقيم. أوجد بما أن إحداثياته يجب أن تفي بنظام المعادلات في حالة المشكلة ، فسنجدها. على سبيل المثال ، لنضع x=0 ، ثم نحصل على:
ص=ض ؛
ص=3/2=1، 5.
وهكذا ، فإن النقطة التي تنتمي إلى الخط المستقيم المطلوب لها إحداثيات:
P=(0 ، 1 ، 5 ، 1 ، 5).
ثم نحصل على إجابة هذه المشكلة ، ستبدو معادلة المتجه للخط المطلوب على النحو التالي:
(س ، ص ، ض)=(0 ، 1 ، 5 ، 1 ، 5) +(2 ، 1 ، 5).
يمكن التحقق من صحة الحل بسهولة. للقيام بذلك ، تحتاج إلى اختيار قيمة عشوائية للمعامل λ واستبدال الإحداثيات التي تم الحصول عليها لنقطة الخط المستقيم في كلتا المعادلتين للمستويات ، وستحصل على هوية في كلتا الحالتين.
