في الرياضيات ، الحساب النمطي هو نظام حساب للأعداد الصحيحة ، وبمساعدتها "تنقلب" عندما تصل إلى قيمة معينة - الوحدة (أو جمعها). تم تطوير النهج الحديث لهذا النوع من العلم بواسطة Carl Friedrich Gauss في كتابه Disquisitiones Arithmeticae الذي نُشر عام 1801. علماء الكمبيوتر مغرمون جدًا باستخدام هذه الطريقة ، لأنها مثيرة جدًا للاهتمام وتفتح إمكانيات جديدة معينة في العمليات بالأرقام.
جوهر
نظرًا لأن عدد الساعات يبدأ مرة أخرى بعد أن يصل إلى 12 ، فهو مقياس حسابي 12. وفقًا للتعريف أدناه ، لا يتوافق العدد 12 مع 12 فقط ، ولكن أيضًا مع 0 ، لذلك يمكن أيضًا تسمية الوقت المسمى " 12:00 ". "0:00". بعد كل شيء ، 12 هو نفس 0 modulo 12.
يمكن معالجة الحساب النمطي رياضيًا عن طريق إدخال علاقة متطابقة مع الأعداد الصحيحة التي تتوافق مع العمليات على الأعداد الصحيحةالأعداد: الجمع والطرح والضرب. بالنسبة لعدد صحيح موجب n ، يُقال إن العددين a و b متطابقان مع n إذا كان الاختلاف بينهما a - b هو مضاعف n (أي ، إذا كان هناك عدد صحيح k بحيث أن a - b=kn).
استقطاعات
في الرياضيات النظرية ، يعد الحساب النمطي أحد أسس نظرية الأعداد ، ويؤثر على جميع جوانب دراستها تقريبًا ، ويستخدم أيضًا على نطاق واسع في نظرية المجموعات والحلقات والعقد والجبر المجرد. في مجال الرياضيات التطبيقية ، يتم استخدامه في الجبر الحاسوبي والتشفير وعلوم الكمبيوتر والكيمياء والفنون البصرية والموسيقى.
الممارسة
تطبيق عملي للغاية هو حساب المجاميع الاختبارية في معرفات الرقم التسلسلي. على سبيل المثال ، تستخدم بعض معايير الكتاب الشائعة النموذج الحسابي 11 (إذا تم إصداره قبل 1 يناير 2007) أو النموذج 10 (إذا تم إصداره قبل أو بعد 1 يناير 2007). وبالمثل ، على سبيل المثال ، في أرقام الحسابات المصرفية الدولية (IBANs). يستخدم هذا الأسلوب الحسابي 97 للكشف عن أخطاء إدخال المستخدم في أرقام الحسابات المصرفية.
في الكيمياء ، الرقم الأخير من رقم تسجيل CAS (رقم التعريف الفريد لكل مركب كيميائي) هو رقم التحقق. يتم حسابه بأخذ الرقم الأخير من أول جزأين من رقم تسجيل CAS مضروبًا في 1 ، والرقم السابق مرتين ، والرقم السابق 3 مرات ، وما إلى ذلك ، وإضافته بالكامل وحساب مقياس الجمع 10.
ما هو التشفير؟ الحقيقة انهيرتبط ارتباطًا وثيقًا بالموضوع قيد المناقشة. في علم التشفير ، تكمن قوانين الحساب المعياري في الأساس المباشر لأنظمة المفاتيح العامة مثل RSA و Diffie-Hellman. يوفر هنا الحقول المحدودة التي تكمن وراء المنحنيات الناقصية. تستخدم في العديد من خوارزميات المفاتيح المتماثلة ، بما في ذلك معيار التشفير المتقدم (AES) وخوارزمية تشفير البيانات الدولية و RC4.
التطبيق
تُستخدم هذه الطريقة في المناطق التي تحتاج فيها إلى قراءة الأرقام. تم تطويره من قبل علماء الرياضيات ، ويستخدمه الجميع ، وخاصة علماء الكمبيوتر. تم توثيق هذا جيدًا في كتب مثل "الحساب المعياري للدمى". ومع ذلك ، يوصي عدد من الخبراء بعدم أخذ مثل هذه الأدبيات على محمل الجد.
في علوم الكمبيوتر ، غالبًا ما يتم استخدام الحساب المعياري في عمليات البت والعمليات الأخرى التي تتضمن هياكل بيانات دائرية ذات عرض ثابت. يحب المحللون استخدامه. يتم تنفيذ عملية modulo في العديد من لغات البرمجة والآلات الحاسبة. في هذه الحالة ، هو أحد الأمثلة على مثل هذا التطبيق. يتم استخدام مقارنة Modulo والقسمة مع الباقي وحيل أخرى في البرمجة.
في الموسيقى ، يتم استخدام المقياس الحسابي 12 عند التفكير في نظام من المزاج المتساوي المكون من اثني عشر نغمة ، حيث يكون الأوكتاف والإنهارمونيك متكافئين. بمعنى آخر ، المفاتيح في النسبة 1-2 أو 2-1 متكافئة. في الموسيقى والعلوم الإنسانية الأخرى ، يلعب الحساب دورًا مهمًا إلى حد ما ، ولكن في الكتب المدرسيةلا يكتب علماء الكمبيوتر عادة عن ذلك
طريقة اختزال التسعة
تقدم طريقة التحويل 9s فحصًا سريعًا للحسابات الحسابية العشرية اليدوية. يعتمد على المقياس الحسابي المعياري 9 وعلى وجه الخصوص على الخاصية الحاسمة 10 10 1.
هناك أمثلة أخرى. يستخدم الأسلوب الحسابي 7 في الخوارزميات التي تحدد يوم الأسبوع لتاريخ معين. على وجه الخصوص ، فإن تطابق Zeller وخوارزمية Doomsday تستخدمان بشكل مكثف للنمط الحسابي 7.
تطبيقات أخرى
لقد قيل بالفعل عن الحساب النمطي في التشفير. في هذا المجال ، هي ببساطة لا يمكن الاستغناء عنها. بشكل عام ، يجد الحساب النمطي أيضًا تطبيقات في تخصصات مثل القانون والاقتصاد (مثل نظرية الألعاب) ومجالات أخرى من العلوم الاجتماعية. بمعنى آخر ، حيث يلعب التقسيم النسبي وتوزيع الموارد دورًا رئيسيًا.
نظرًا لأن الحساب النمطي له نطاق واسع من الاستخدامات ، فمن المهم معرفة مدى صعوبة حل نظام المقارنات. يمكن حل نظام خطي من التطابقات في زمن كثير الحدود في شكل حذف غاوسي. هذا موصوف بمزيد من التفصيل من خلال نظرية التطابق الخطي. توجد أيضًا خوارزميات مثل تقليل مونتغمري للسماح بإجراء عمليات حسابية بسيطة بكفاءة. على سبيل المثال ، طريقة الضرب والأس ، للأعداد الكبيرة. من المهم جدًا معرفة ذلك لفهم ماالتشفير. بعد كل شيء ، إنها تعمل فقط مع عمليات مماثلة.
التطابق
بعض العمليات ، مثل العثور على اللوغاريتم المنفصل أو التطابق التربيعي ، تبدو معقدة مثل عامل العدد الصحيح ، وبالتالي فهي نقطة البداية لخوارزميات التشفير والتشفير. قد تكون هذه المشاكل NP وسيطة.
أمثلة
فيما يلي ثلاث وظائف C سريعة إلى حد ما - اثنتان لأداء الضرب النمطي وواحدة للرفع إلى الأرقام المعيارية للأعداد الصحيحة غير الموقعة حتى 63 بت ، دون تجاوز عابر.
بعد وقت قصير من اكتشاف الأعداد الصحيحة (1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 …) يتضح أنها مقسمة إلى مجموعتين:
- حتى: يقبل القسمة على 2 (0، 2، 4، 6..).
- فردي: لا يقبل القسمة على 2 (1، 3، 5، 7…).
لماذا هذا التمييز مهم؟ هذه بداية التجريد. نلاحظ خصائص الرقم (على سبيل المثال ، زوجي أو فردي) وليس فقط الرقم نفسه ("37").
هذا يسمح لنا باستكشاف الرياضيات على مستوى أعمق وإيجاد علاقات بين أنواع الأرقام بدلاً من أنواع محددة.
خصائص الرقم
كونك "ثلاثة" هو مجرد خاصية أخرى للعدد. ربما ليس مفيدًا على الفور مثل الزوجي / الفردي ، لكنه موجود. يمكننا إنشاء قواعد مثل "ثلاثة عشر × ثلاثة وريد=ثلاثة عشر" وهكذا. لكن هذا جنون. لا يمكننا ابتكار كلمات جديدة طوال الوقت.
عملية modulo (الوضع المختصر أو "٪" في العديد من لغات البرمجة) هي الباقي عندماقطاع. على سبيل المثال ، "5 mod 3=2" ، مما يعني أن 2 هو الباقي عند قسمة 5 على 3.
عند تحويل المصطلحات اليومية إلى رياضيات ، يكون "الرقم الزوجي" حيث يكون "0 mod 2" ، مما يعني أن الباقي يكون 0 عند القسمة على 2. الرقم الفردي هو "1 mod 2" (به الباقي من 1).
الأرقام الزوجية والفردية
ما هو زوجي x زوجي x فردي x فردي؟ حسنًا ، إنه 0 × 0 × 1 × 1=0. في الواقع ، يمكنك معرفة ما إذا كان العدد الزوجي قد تم ضربه في أي مكان ، حيث ستكون النتيجة كلها صفرًا.
الحيلة في الرياضيات المعيارية هي أننا استخدمناها بالفعل لتخزين الوقت - يطلق عليه أحيانًا "حساب الساعة".
على سبيل المثال: 7:00 صباحًا (صباحًا / مساءً - لا يهم). أين سيكون عقرب الساعة بعد 7 ساعات؟
التحويرات
(7 + 7) mod 12=(14) mod 12=2 mod 12 [2 هو الباقي عند قسمة 14 على 12. المعادلة 14 mod 12=2 mod 12 تعني 14 ساعة و 2 hours look the نفس الشيء في نظام 12 ساعة. إنها متطابقة ، يشار إليها بعلامة المساواة الثلاثية: 14 ≡ 2 mod 12.
مثال آخر: الساعة 8:00 صباحًا. أين ستكون اليد الكبيرة خلال 25 ساعة؟
بدلاً من إضافة 25 إلى 8 ، يمكنك أن تفهم أن 25 ساعة هي مجرد "يوم واحد + ساعة واحدة". الجواب بسيط. لذا ، ستنتهي الساعة قبل ساعة واحدة - الساعة 9:00.
(8 + 25) mod 12 ≡ (8) mod 12 + (25) mod 12 ≡ (8) mod 12 + (1) mod 12 ≡ 9 mod 12. لقد حولت حدسيًا 25 إلى 1 وأضفت هذا إلى 8.
باستخدام الساعة كقياس ، يمكننا معرفة ما إذا كانقواعد الحساب النمطي وهي تعمل.
الجمع / الطرح
دعنا نقول أن مرتين تبدو متشابهة على ساعتنا ("2:00" و "14:00"). إذا أضفنا نفس x ساعة لكليهما ، ماذا يحدث؟ حسنًا ، يتغيرون بنفس المقدار على مدار الساعة! 2:00 + 5 ساعات ≡ 14:00 + 5 ساعات - كلاهما سيظهر 7:00.
لماذا؟ يمكننا ببساطة إضافة 5 إلى الباقيين اللذين يمتلكهما كلاهما ويتقدمان بنفس الطريقة. لجميع الأعداد المتطابقة (2 و 14) ، الجمع والطرح لهما نفس النتيجة.
من الصعب معرفة ما إذا كانت عملية الضرب تبقى كما هي. إذا كان 14 ≡ 2 (تعديل 12) ، فهل يمكننا ضرب كلا العددين والحصول على نفس النتيجة؟ دعونا نرى ما يحدث عندما نضرب في 3.
حسنًا ، 2:003 × 6:00. لكن ما هو 14:003؟
تذكر ، 14=12 + 2. يمكننا القول
143=(12 + 2)3=(123) + (23)
الجزء الأول (123) يمكن تجاهله! فائض 12 ساعة الذي يحمل 14 يكرر نفسه ببساطة عدة مرات. لكن من يهتم؟ نحن نتجاهل الفائض على أي حال.
الضرب
عند الضرب ، لا يهم سوى الباقي ، أي نفس الساعتين في الساعة 14:00 و 2:00. حدسيًا ، هذه هي الطريقة التي أرى بها الضرب لا يغير العلاقة مع الرياضيات المعيارية (يمكنك ضرب كلا طرفي العلاقة المعيارية والحصول على نفس النتيجة).
نفعل ذلك بشكل حدسي ، لكن من الجيد تسميته. لديك رحلة تصل الساعة 3 مساءً. هوتأخر 14 ساعة. في أي وقت ستهبط؟
14 ≡ 2 mod 12. لذا ، فكر في الأمر على أنه الساعة 2 ، لذلك ستهبط الطائرة في الساعة 5 صباحًا. الحل بسيط: 3 + 2=5 صباحًا. هذا أكثر تعقيدًا قليلاً من عملية modulo البسيطة ، لكن المبدأ هو نفسه.
